Сложение конечной последовательности чисел
В математике , суммирование является дополнением из последовательности любого вида чисел , называемых аддендов или слагаемых ; результат - их сумма или итог . Помимо чисел, можно суммировать и другие типы значений: функции , векторы , матрицы , полиномы и, в общем, элементы любого типа математических объектов, для которых определена операция, обозначенная знаком «+».
Суммирования бесконечных последовательностей называются сериями . Они связаны с концепцией лимита и не рассматриваются в этой статье.
Суммирование явной последовательности обозначается как последовательность сложений. Например, суммирование [1, 2, 4, 2] обозначается 1 + 2 + 4 + 2 и дает 9, то есть 1 + 2 + 4 + 2 = 9 . Поскольку сложение является ассоциативным и коммутативным , скобки не нужны, и результат один и тот же независимо от порядка слагаемых. Суммирование последовательности только одного элемента приводит к получению самого этого элемента. Суммирование пустой последовательности (последовательности без элементов) по соглашению приводит к 0.
Очень часто элементы последовательности определяются с помощью регулярного шаблона в зависимости от их места в последовательности. Для простых шаблонов суммирование длинных последовательностей может быть представлено с заменой большинства слагаемых эллипсами. Например, суммирование первых 100 натуральных чисел может быть записано как 1 + 2 + 3 + 4 + + 99 + 100 . В противном случае суммирование обозначается с использованием обозначения Σ , где - увеличенная заглавная греческая буква сигма . Например, сумму первых n натуральных чисел можно обозначить как
Для длинных суммирований и суммирований переменной длины (определяемых с помощью эллипсов или обозначений Σ) поиск выражений результата в замкнутой форме является общей проблемой . Например,
Хотя такие формулы не всегда существуют, было обнаружено множество формул суммирования, при этом некоторые из наиболее распространенных и элементарных из них перечислены в оставшейся части этой статьи.
Обозначение
Обозначение заглавной буквы
Математические обозначения используется символ , который компактно представляет суммирование многих подобных слагаемых: символ суммирования , , увеличенный вид вертикального капитала греческой буквы сигма . Это определяется как
где i - индекс суммирования ; a i - индексированная переменная, представляющая каждый член суммы; m - нижняя граница суммирования , а n - верхняя граница суммирования . « I = m » под символом суммирования означает, что индекс i начинается равным m . Индекс i увеличивается на единицу для каждого последующего члена, останавливаясь, когда i = n .
Это читается как «сумма a i от i = m до n ».
Вот пример суммирования квадратов:
В целом, в то время как любая переменная может быть использована в качестве индекса суммирования ( при условии , что никакой неоднозначности не понесены), некоторые из наиболее распространенных из них включают в себя буквы , такие как , , , и ; последнее также часто используется для оценки сверху суммирования.
В качестве альтернативы, индекс и границы суммирования иногда не включаются в определение суммирования, если контекст достаточно ясен. Это особенно актуально, когда индекс работает от 1 до n . Например, можно написать так:
Часто встречаются обобщения этой нотации, в которых предоставляется произвольное логическое условие, и предполагается, что сумма берется по всем значениям, удовлетворяющим условию. Например:
является суммой всех ( целых чисел ) в указанном диапазоне,
является суммой всех элементов в наборе , а
это сумма по всем натуральным числам делящихся .
Есть также способы обобщить использование многих сигма-знаков. Например,
такой же как
Аналогичное обозначение применяется, когда дело доходит до обозначения произведения последовательности , которое похоже на его суммирование, но которое использует операцию умножения вместо сложения (и дает 1 для пустой последовательности вместо 0). Используется та же основная структура с увеличенной формой греческой заглавной буквы пи , заменяющей .
Особые случаи
Можно суммировать менее 2 чисел:
- Если в суммировании есть одно слагаемое , то оцененная сумма равна .
- Если в суммировании нет слагаемых, то оцененная сумма равна нулю , потому что ноль - это тождество для сложения. Это называется пустой суммой .
Эти вырожденные случаи обычно используются только тогда, когда обозначение суммирования дает вырожденный результат в частном случае. Например, если в приведенном выше определении имеется только один член в сумме; если , то нет.
Формальное определение
Суммирование может быть определено рекурсивно следующим образом:
-
, для b < a ;
-
, при b ≥ a .
Обозначения теории меры
В обозначениях теории меры и интегрирования сумма может быть выражена в виде определенного интеграла ,
где - подмножество целых чисел от до , а где - счетная мера .
Исчисление конечных разностей
Для функции f , определенной над целыми числами в интервале [ m , n ] , выполняется следующее уравнение:
Это аналог основной теоремы исчисления в исчислении конечных разностей , которая гласит, что:
куда
- производная от f .
Пример применения вышеуказанного уравнения следующий:
Используя биномиальную теорему , это можно переписать как:
Вышеупомянутая формула чаще используется для инвертирования разностного оператора , определяемого следующим образом:
где f - функция, определенная на неотрицательных целых числах. Таким образом, при такой функции F , проблема в том , чтобы вычислить antidifference из F , функции такой , что . То есть
эта функция определена с точностью до константы и может быть выбрана как
Не всегда существует выражение в замкнутой форме для такого суммирования, но формула Фаульхабера обеспечивает замкнутую форму в случае, когда и, по линейности , для каждой полиномиальной функции от n .
Аппроксимация определенными интегралами
Многие такие приближения могут быть получены с помощью следующей связи между суммами и интегралами , которая имеет место для любой возрастающей функции f :
и для любой убывающей функции f :
Для более общих приближений см. Формулу Эйлера – Маклорена .
Для суммирования, в котором слагаемое задается (или может быть интерполировано) интегрируемой функцией индекса, суммирование можно интерпретировать как сумму Римана, входящую в определение соответствующего определенного интеграла. Поэтому можно ожидать, например, что
так как правая часть по определению является пределом для левой части. Однако для данного суммирования n фиксировано, и мало что можно сказать об ошибке в приведенном выше приближении без дополнительных предположений относительно f : очевидно, что для сильно осциллирующих функций сумма Римана может быть сколь угодно далека от интеграла Римана.
Идентичности
В приведенных ниже формулах используются конечные суммы; для бесконечного суммирования или конечного суммирования выражений, включающих тригонометрические функции или другие трансцендентные функции , см. список математических рядов .
Общая идентичность
-
( распределенность )
-
( коммутативность и ассоциативность )
-
(сдвиг индекса)
-
для биекции σ из конечного множества A на множество B (смена индекса); это обобщает предыдущую формулу.
-
(разбиение суммы с использованием ассоциативности )
-
(вариант предыдущей формулы)
-
(сумма от первого до последнего члена равна сумме от последнего до первого)
-
(частный случай формулы выше)
-
(снова коммутативность и ассоциативность)
-
(еще одно приложение коммутативности и ассоциативности)
-
(разбиение суммы на нечетную и четную части для четных индексов)
-
(разбиение суммы на нечетные и четные части, для нечетных индексов)
-
( распределенность )
-
(дистрибутивность допускает факторизацию)
-
( логарифм продукта - это сумма логарифмов факторов)
-
( экспонента суммы является произведением экспоненты слагаемых)
Степени и логарифм арифметических прогрессий
-
для любого c , не зависящего от i
-
(Сумма простейшей арифметической прогрессии , состоящей из первых n натуральных чисел.)
-
(Сумма первых нечетных натуральных чисел)
-
(Сумма первых четных натуральных чисел)
-
(Сумма логарифмов - это логарифм произведения)
-
(Сумма первых квадратов , см. Квадрат пирамидального числа .)
-
( Теорема Никомаха )
В более общем смысле, есть формула Фаульхабера для
где обозначает число Бернулли , а - биномиальный коэффициент .
Индекс суммирования в показателях
В следующих суммированиях предполагается , что a отличается от 1.
-
(сумма геометрической прогрессии )
-
(частный случай для a = 1/2 )
-
( a, умноженное на производную геометрической прогрессии по a )
-
- (сумма арифметико-геометрической последовательности )
Биномиальные коэффициенты и факториалы
Существует очень много тождеств суммирования, включающих биномиальные коэффициенты (целая глава Конкретной математики посвящена только основным методам). Вот некоторые из самых основных.
Используя биномиальную теорему
-
бином Ньютона
-
частный случай, когда a = b = 1
-
, частный случай, когда p = a = 1 - b , что для выражает сумму биномиального распределения
-
значение в виде = Ь = 1 в производной по отношению к биномиальным теоремам
-
значение в виде = Ь = 1 из первообразной относительно биномиального теоремы
Вовлечение чисел перестановки
В следующих суммах - количество k -перестановок n .
-
, где и обозначает функцию пола .
Другие
Гармонические числа
-
(это номер n- й гармоники )
-
(это обобщенное гармоническое число )
Темпы роста
Ниже приведены полезные приближения (с использованием тета-записи ):
-
для действительного c больше -1
-
(См. Число гармоник )
-
для действительного c больше 1
-
для неотрицательного действительного c
-
для неотрицательных вещественных c , d
-
для неотрицательных вещественных b > 1, c , d
Смотрите также
Примечания
Источники
внешние ссылки