Пустая сумма - Empty sum

В математике , пустая сумма , или нульарная сумма представляет собой суммирование , где число слагаемых равно нуль. Естественный способ расширить непустые суммы - позволить пустой сумме быть аддитивной единицей .

Пусть , , ... последовательность чисел, и пусть ${\ displaystyle a_ {1}}$${\ displaystyle a_ {2}}$${\ displaystyle a_ {3}}$

${\ displaystyle s_ {m} = \ sum _ {i = 1} ^ {m} a_ {i} = a_ {1} + \ cdots + a_ {m}}$

- сумма первых m членов последовательности. Это удовлетворяет повторению

${\ displaystyle s_ {m} = s_ {m-1} + a_ {m}}$

при условии , что мы используем следующее естественного соглашения: . Другими словами, «сумма» только с одним термином оценивается как этот один член, в то время как «сумма» без терминов оценивается как 0. Разрешение «суммы» только с 1 или 0 членами сокращает количество случаев, которые должны быть рассмотрены в множество математических формул. Такие «суммы» являются естественной отправной точкой в доказательствах индукции , а также в алгоритмах. По этим причинам расширение «пустая сумма равна нулю» является стандартной практикой в ​​математике и компьютерном программировании (при условии, что домен имеет нулевой элемент ). По той же причине пустой продукт считается мультипликативным тождеством . ${\ displaystyle s_ {0} = 0}$${\ displaystyle s_ {1}}$${\ displaystyle s_ {0}}$

Для сумм других объектов (таких как векторы , матрицы , полиномы ) значение пустого суммирования считается его аддитивной единицей .

Примеры

Пустые линейные комбинации

В линейной алгебры , базис векторного пространства V является линейно независимое подмножество В таким образом, что каждый элемент из V является линейной комбинацией B . Соглашение о пустой сумме позволяет нульмерному векторному пространству V = {0} иметь основу, а именно пустое множество.

Смотрите также

• Пустой товар
• Итерированная бинарная операция
• Пустая функция

использованная литература