Коллектор CR - CR manifold

В математике , в CR многообразии или Коши-Риман многообразии , является дифференцируемым многообразием вместе с геометрической структурой по образцу реальной гиперповерхности в комплексном векторном пространстве , или в более общем смоделировано на крае клина .

Формально CR многообразие является дифференцируемым многообразием М вместе с предпочтительным сложным распределением L , или, другими словами сложное подрасслоением из комплексифицированных касательного расслоения таким образом, что ${\ Displaystyle \ mathbb {C} TM = TM \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}}$

• ${\ Displaystyle [L, L] \ substeq L}$( L является формально интегрируемой )
• ${\ Displaystyle L \ cap {\ bar {L}} = \ {0 \}}$.

Подрасслоением L называется структура CR на многообразии M .

Аббревиатура CR означает « Коши – Риман » или «Комплексно-вещественный».

Введение и мотивация

Понятие CR-структуры пытается внутренне описать свойство быть гиперповерхностью (или некоторыми действительными подмногообразиями более высокой коразмерности) в комплексном пространстве, изучая свойства голоморфных векторных полей, которые касаются гиперповерхности.

Предположим, например, что M - гиперповерхность, заданная уравнением ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$

${\ Displaystyle F (z, w): = | z | ^ {2} + | w | ^ {2} = 1,}$

где z и w - обычные комплексные координаты на . Голоморфное касательное расслоение из состоит из всех линейных комбинаций векторов ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial z}}, \ quad {\ frac {\ partial} {\ partial w}}.}$

Распределение L на М состоит из всех комбинаций этих векторов , которые касательной к М . Касательные векторы должны аннулировать определяющее уравнение для M , поэтому L состоит из комплексных скалярных кратных

${\ displaystyle {\ bar {w}} {\ frac {\ partial} {\ partial z}} - {\ bar {z}} {\ frac {\ partial} {\ partial w}}.}$

В частности, L состоит из голоморфных векторных полей , которые аннулируют F . Обратите внимание, что L задает CR-структуру на M при [ L , L ] = 0 (поскольку L одномерна) и поскольку ∂ / ∂ z и ∂ / ∂ w линейно независимы от своих комплексно сопряженных элементов. ${\ Displaystyle L \ cap {\ bar {L}} = \ {0 \}}$

В более общем смысле, предположим, что M - вещественная гиперповерхность в с определяющим уравнением F ( z ₁ , ..., z _n ) = 0. Тогда CR-структура L состоит из этих линейных комбинаций основных голоморфных векторов на : ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n},}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial z_ {1}}}, \ ldots, {\ frac {\ partial} {\ partial z_ {n}}}}$

которые аннулируют определяющую функцию. В этом случае по той же причине, что и раньше. Кроме того, [ L , L ] ⊂ L , так как коммутатор голоморфных векторных полей аннулирующих F снова голоморфное векторное поле , аннулирующий F . ${\ Displaystyle L \ cap {\ bar {L}} = \ {0 \}}$

Вложенные и абстрактные CR-многообразия

Существует резкий контраст между теориями вложенных CR-многообразий (гиперповерхности и ребра клиньев в комплексном пространстве) и абстрактных CR-многообразий (заданных комплексным распределением L ). Многие формальные геометрические элементы похожи. Это включает:

• Понятие выпуклости (доставляемое формой Леви )
• Дифференциальный оператор , аналогичный оператору Дольбы , и связанная с ним когомология ( тангенциальным Коши-Риман комплекса ).

Однако вложенные CR-многообразия обладают некоторой дополнительной структурой: задачей Неймана и Дирихле для уравнений Коши – Римана.

В этой статье сначала рассматривается геометрия вложенных CR-многообразий, показано, как определять эти структуры внутренне, а затем они обобщаются на абстрактные условия.

Встроенные CR-коллекторы

Предварительные мероприятия

Вложенные CR-многообразия - это, прежде всего, подмногообразия в Определим пару подрасслоений комплексифицированного касательного расслоения : ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}.}$${\ displaystyle \ mathbb {C} \ otimes T \ mathbb {C} ^ {n}}$

• ${\ Displaystyle Т ^ {(1,0)} \ mathbb {C} ^ {п}}$состоит из комплексных векторов, аннулирующих антиголоморфные функции. В голоморфных координатах :

${\ displaystyle T ^ {(1,0)} \ mathbb {C} ^ {n} = \ operatorname {span} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial z_ {1}}}, \ точки, {\ frac {\ partial} {\ partial z_ {n}}} \ right).}$

• ${\ Displaystyle Т ^ {(0,1)} \ mathbb {C} ^ {п}}$состоит из комплексных векторов, аннулирующих голоморфные функции . В координатах:

${\ displaystyle T ^ {(0,1)} \ mathbb {C} ^ {n} = \ operatorname {span} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial {\ bar {z}} _ {1 }}}, \ dots, {\ frac {\ partial} {\ partial {\ bar {z}} _ {n}}} \ right).}$

Также актуальны характерные аннигиляторы из комплекса Дольбо :

• ${\ Displaystyle \ Omega ^ {(1,0)} \ mathbb {C} ^ {n} = \ left (T ^ {(0,1)} \ mathbb {C} ^ {n} \ right) ^ {\ бот}.}$ В координатах,

${\ displaystyle \ Omega ^ {(1,0)} \ mathbb {C} ^ {n} = \ operatorname {span} (dz_ {1}, \ dots, dz_ {n}).}$

• ${\ Displaystyle \ Omega ^ {(0,1)} \ mathbb {C} ^ {n} = \ left (T ^ {(1,0)} \ mathbb {C} ^ {n} \ right) ^ {\ бот}.}$ В координатах,

${\ displaystyle \ Omega ^ {(0,1)} \ mathbb {C} ^ {n} = \ operatorname {span} (d {\ bar {z}} _ {1}, \ dots, d {\ bar { z}} _ {n}).}$

Их внешние произведения обозначаются самоочевидным обозначением Ω ^{( p , q )} , а оператор Дольбо и его комплексно сопряженное отображение между этими пространствами через:

${\ Displaystyle \ partial: \ Omega ^ {(p, q)} \ to \ Omega ^ {(p + 1, q)}}$

${\ displaystyle {\ bar {\ partial}}: \ Omega ^ {(p, q)} \ to \ Omega ^ {(p, q + 1)}}$

Кроме того, существует разложение обычной внешней производной через . ${\ displaystyle d = \ partial + {\ bar {\ partial}}}$

Вещественные подмногообразия комплексного пространства

Пусть - вещественное подмногообразие, определенное локально как геометрическое место системы гладких вещественнозначных функций ${\ Displaystyle M \ подмножество \ mathbb {C} ^ {n}}$

${\ displaystyle F_ {1} = 0, F_ {2} = 0, \ ldots, F_ {k} = 0.}$

Предположим, что комплексно-линейная часть дифференциала этой системы имеет максимальный ранг в том смысле, что дифференциалы удовлетворяют следующему условию независимости :

${\ displaystyle \ partial F_ {1} \ wedge \ dots \ wedge \ partial F_ {k} \ not = 0.}$

Заметим, что это условие строго сильнее, чем необходимо для применения теоремы о неявной функции : в частности, M - многообразие вещественной размерности. Мы говорим, что M - вложенное CR-подмногообразие общего положения CR коразмерности k . Прилагательное generic указывает, что касательное пространство охватывает касательное пространство над комплексными числами. В большинстве приложений k  = 1, и в этом случае многообразие называется гиперповерхностным . ${\ displaystyle 2n-k.}$ ${\ displaystyle TM}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$

Позвольте быть подрасслоением векторов, аннулирующим все определяющие функции. Обратите внимание, что, по обычным соображениям для интегрируемых распределений на гиперповерхностях, L инволютивно. Более того, из условия независимости следует, что L - расслоение постоянного ранга n  -  k . ${\ Displaystyle L \ подмножество T ^ {(1,0)} \ mathbb {C} ^ {n} | _ {M}}$${\ displaystyle F_ {1}, \ ldots, F_ {k}.}$

В дальнейшем предположим, что k  = 1 (так что CR-многообразие имеет тип гиперповерхности), если не указано иное.

Форма Леви

Пусть M будет CR многообразием типа гиперповерхности с одной определяющей функцией F = 0. Формой Леви из М , названная в честь Эухенио Элиа Леви , является эрмитовой 2-формой

${\ displaystyle h = i \, \ partial {\ bar {\ partial}} F | _ {L \ wedge {\ bar {L}}}.}$

Это определяет метрику на L . M называется строго псевдовыпуклым (со стороны F <0 ), если h положительно определено (или псевдовыпуклым, если h положительно полуопределено). Многие результаты аналитического существования и единственности в теории CR-многообразий зависят от псевдовыпуклости.

Эта номенклатура получена в результате изучения псевдовыпуклых областей : M является границей (строго) псевдовыпуклой области в том и только в том случае, если она (строго) псевдовыпуклая как CR-многообразие со стороны области. (См. Плюрисубгармонические функции и многообразие Штейна .) ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$

Абстрактные структуры CR

Абстрактная CR-структура на вещественном многообразии M вещественной размерности n состоит из комплексного подрасслоения L комплексного касательного расслоения, которое формально интегрируемо в том смысле, что [ L , L ] ⊂ L , которое имеет нулевое пересечение со своим комплексно сопряженным. CR Коразмерность структуры CR находится где тусклый  L является комплексной размерностью. В случае k  = 1 структура CR называется гиперповерхностной . Большинство примеров абстрактных CR-структур относятся к типу гиперповерхностей. ${\ Displaystyle к = п-2 \ тусклый L,}$

Форма Леви и псевдовыпуклость

Предположим, что M - CR-многообразие гиперповерхностного типа. Форма Леви - это векторная 2-форма , определенная на L , со значениями в линейном расслоении

${\ displaystyle V = {\ frac {TM \ otimes \ mathbb {C}} {L \ oplus {\ overline {L}}}}}$

дано

${\ displaystyle h (v, w) = {\ frac {1} {2i}} [v, {\ overline {w}}] \ mod L \ oplus {\ overline {L}}, \ quad v, w \ в L.}$

h определяет полуторалинейную форму на L, поскольку она не зависит от того, как v и w продолжаются на участки L , в силу условия интегрируемости. Эта форма распространяется до эрмитовой формы на связке тем же выражением. Расширенная форма также иногда называется формой Леви. ${\ displaystyle L \ oplus {\ overline {L}}}$

В качестве альтернативы форму Леви можно охарактеризовать с точки зрения двойственности. Рассмотрим линейное подрасслоение комплексного кокасательного расслоения, аннулирующего V

${\ displaystyle H_ {0} M = V ^ {*} = (L \ oplus {\ overline {L}}) ^ {\ perp} \ subset T ^ {*} M \ otimes \ mathbb {C}.}$

Для каждого локального сечения α ∈ Γ ( H ₀ M ) пусть

${\ displaystyle h _ {\ alpha} (v, w) = d \ alpha (v, {\ overline {w}}) = - \ alpha ([v, {\ overline {w}}]), \ quad v, w \ in L \ oplus {\ overline {L}}.}$

Форма h _α является комплекснозначной эрмитовой формой, ассоциированной с α.

Обобщения формы Леви существуют, когда многообразие не является гиперповерхностным, и в этом случае форма больше не принимает значения в линейном расслоении, а скорее в векторном расслоении. Тогда можно говорить не о форме Леви, а о наборе форм Леви для структуры.

На абстрактных CR-многообразиях сильно псевдовыпуклого типа форма Леви порождает псевдоэрмитову метрику. Метрика определена только для голоморфных касательных векторов и поэтому является вырожденной. Затем можно определить тензоры соединения, кручения и связанные с ними тензоры кривизны, например, кривизну Риччи и скалярную кривизну, используя эту метрику. Это приводит к аналогичной проблеме CR Yamabe, впервые изученной Дэвидом Джерисоном и Джоном Ли . Связь, ассоциированная с CR-многообразиями, была впервые определена и изучена Сидни М. Вебстером в его диссертации по изучению проблемы эквивалентности, а также независимо определена и изучена Танакой. Рассказы об этих понятиях можно найти в статьях.

Один из основных вопросов CR-геометрии состоит в том, чтобы спросить, когда гладкое многообразие, наделенное абстрактной CR-структурой, может быть реализовано как вложенное многообразие в какое-либо . Таким образом, мы не только встраиваем многообразие, но также требуем для глобального вложения, чтобы отображение, в которое встраивается абстрактное многообразие, вытягивало индуцированную CR-структуру вложенного многообразия (исходя из того факта, что оно находится внутри ) так, чтобы возвращение Структура CR в точности совпадает с абстрактной структурой CR. Таким образом, глобальное вложение - это условие, состоящее из двух частей. Здесь вопрос распадается на два. Можно запросить локальную встраиваемость или глобальную встраиваемость. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$

Глобальная встраиваемость всегда верна для абстрактно определенных компактных CR-структур, которые являются сильно псевдовыпуклыми, то есть форма Леви является положительно определенной, когда реальная размерность многообразия равна 5 или выше по результату Луи Буте де Монвеля .

В измерении 3 есть препятствия для глобальной встраиваемости. Внося небольшие изменения в стандартную CR-структуру на трех сферах, полученная абстрактная CR-структура не может быть встроена глобально. Иногда это называют примером Росси. Фактически, этот пример восходит к Гансу Грауэрту и также упоминается в статье Альдо Андреотти и Юм-Тонг Сиу . ${\ displaystyle S ^ {3},}$

Результат Джозефа Дж. Кона утверждает, что глобальная вложимость эквивалентна условию, что лапласиан Кона имеет замкнутый диапазон. Это условие замкнутого диапазона не является условием инвариантности CR.

В размерности 3 непертурбативный набор условий, которые являются CR-инвариантными, был найден Сагун Чанильо , Хунг-Лин Чиу и Полем С. Янгом, который гарантирует глобальную вложимость абстрактных сильно псевдовыпуклых CR-структур, определенных на компактных многообразиях. При условии, что оператор CR Панейтца неотрицателен, а константа CR Yamabe положительна, происходит глобальное вложение. Второе условие можно ослабить до не CR-инвариантного условия, потребовав, чтобы вебстеровская кривизна абстрактного многообразия была ограничена снизу положительной константой. Это позволяет авторам получить точную нижнюю оценку первого положительного собственного значения лапласиана Кона. Нижняя оценка является аналогом в CR-геометрии оценки Андре Лихнеровича для первого положительного собственного значения оператора Лапласа – Бельтрами для компактных многообразий в римановой геометрии . Неотрицательность CR-оператора Панейца в размерности 3 является CR-инвариантным условием, как следует из конформно-ковариантных свойств CR-оператора Панейца на CR-многообразиях вещественной размерности 3, впервые обнаруженных Кенго Хирачи . CR-версия оператора Панейца, так называемый CR-оператор Панейца, впервые появляется в работе С. Робина Грэма и Джона Ли . Неизвестно, что оператор является конформно-ковариантным в реальном измерении 5 и выше, а только в реальном измерении 3. Он всегда является неотрицательным оператором в реальном измерении 5 и выше.

Можно спросить, все ли компактно вложенные CR-многообразия в имеют неотрицательные операторы Панейца. Это своего рода вопрос, обратный обсуждавшимся выше теоремам вложения. В этом направлении Джеффри Кейс, Сагун Чанильо и Пол К. Янг доказали теорему устойчивости. То есть, если начать с семейства компактных CR-многообразий, вложенных в него, и CR-структура семейства изменяется вещественно-аналитическим образом по параметру, а постоянная CR Ямабе семейства многообразий равномерно ограничена снизу величиной положительная константа, то оператор CR Панейтца остается неотрицательным для всего семейства при условии, что один из членов семейства имеет неотрицательный CR-оператор Панейца. Обратный вопрос был наконец решен Юя Такеучи. Он доказал, что для вложенных компактных CR-3 многообразий, которые являются строго псевдовыпуклыми, оператор CR Панейца, связанный с этим вложенным многообразием, неотрицателен. ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2},}$${\ displaystyle J_ {t}}$${\ displaystyle t,}$

Существуют также результаты глобального вложения для малых возмущений стандартной CR-структуры для трехмерной сферы, полученные Дэниелом Бернсом и Чарльзом Эпштейном . Эти результаты предполагают предположения о коэффициентах Фурье члена возмущения.

Реализация абстрактного CR-многообразия как гладкого многообразия в некоторых ограничивает комплексное многообразие, которое в общем случае может иметь особенности. Таково содержание проблемы «Комплексное плато», исследованной в статье Ф. Риза Харви и Х. Блейна Лоусона . Есть также дальнейшая работа Стивена С.-Т. по проблеме сложного плато. Яу . ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$

Локальное вложение абстрактных CR-структур неверно в реальном измерении 3 из-за примера Луи Ниренберга (книга Чена и Мей-Чи Шоу, упомянутая ниже, также содержит представление доказательства Ниренберга). Пример Л. Ниренберга можно рассматривать как гладкое возмущение неразрешимого комплексного векторного поля Ганса Леви . Можно начать с антиголоморфного векторного поля на группе Гейзенберга, задаваемого формулой ${\ displaystyle {\ overline {L}}}$

${\ displaystyle {\ overline {L}} = {\ frac {\ partial} {\ partial {\ overline {z}}}} - \ imath z {\ frac {\ partial} {\ partial t}}, \ qquad (z, t) \ in \ mathbb {C} \ times \ mathbb {R}, \ imath = {\ sqrt {-1}}.}$

Определенное выше векторное поле имеет два линейно независимых первых интеграла. То есть есть два решения однородного уравнения:

${\ displaystyle {\ overline {L}} Z_ {i} = 0, i = 1,2, \ qquad Z_ {1} = z, Z_ {2} = t + \ imath | z | ^ {2}, dZ_ { 1} \ wedge dZ_ {2} \ not = 0.}$

Поскольку мы находимся в реальном измерении три, формальное условие интегрируемости просто:

${\ displaystyle \ left [{\ overline {L}}, {\ overline {L}} \ right] = 0}$

что происходит автоматически. Обратите внимание, что форма Леви строго положительно определена, поскольку простой расчет дает:

${\ displaystyle \ left [{\ overline {L}}, L \ right] = 2i {\ frac {\ partial} {\ partial t}},}$

где голоморфное векторное поле L имеет вид

${\ displaystyle L = {\ frac {\ partial} {\ partial z}} + \ imath {\ overline {z}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}}.}$

Первые интегралы, которые являются линейно независимыми, позволяют нам реализовать структуру CR в виде графа в виде ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$

${\ Displaystyle (г, т) \ к (г, т + \ imath | г | ^ {2})}$

Таким образом, структура CR является не чем иным, как ограничением сложной структуры графа. Ниренберг конструирует единственное, отличное от нуля комплексное векторное поле, определенное в окрестности начала координат в He, затем показывает, что если , то должно быть константой. Таким образом, векторное поле не имеет первых интегралов. Векторное поле создается из антиголоморфного векторного поля для группы Гейзенберга, показанной выше, путем возмущения его гладкой комплексной функцией, как показано ниже: ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$${\ displaystyle P,}$${\ displaystyle \ mathbb {C} \ times \ mathbb {R}.}$${\ displaystyle Pu = 0}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle P = {\ overline {L}} + \ phi (z, {\ overline {z}}, t) {\ frac {\ partial} {\ partial t}}}$

Таким образом, это новое векторное поле P не имеет первых интегралов, кроме констант, и поэтому невозможно реализовать эту возмущенную CR-структуру каким-либо образом в виде графа в каком-либо виде . Работа Л. Ниренберга была расширена до общего результата Говардом Якобовицем. и Франсуа Трев . В реальном измерении 9 и выше локальное вложение абстрактных строго псевдовыпуклых CR-структур верно благодаря работе Масатаке Кураниши, а в реальном измерении 7 - по работе Акахори. Упрощенное изложение доказательства Кураниши принадлежит Вебстеру. ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}.}$

Проблема локального вложения остается открытой в вещественной размерности 5.

Характерные идеалы

Касательный комплекс Коши – Римана (лапласиан Кона, комплекс Кона – Росси)

Прежде всего необходимо определить ко-граничный оператор . Для CR-многообразий, возникающих как границы комплексных многообразий, этот оператор можно рассматривать как ограничение изнутри на границу. Индекс b должен напомнить, что мы на границе. Кограничный оператор принимает формы (0, p) в формы (0, p + 1). Можно даже определить ко-граничный оператор для абстрактного CR-многообразия, даже если это не граница комплексного многообразия. Это можно сделать с помощью Webster-соединения. Совместно граничный оператор формирует комплекс, то есть . Этот комплекс называется тангенциальным комплексом Коши – Римана или комплексом Кона – Росси. Исследование этого комплекса и изучение групп когомологий этого комплекса было проведено в фундаментальной работе Джозефа Дж. Кона и Хьюго Росси. ${\ displaystyle {\ overline {\ partial _ {b}}}}$${\ displaystyle {\ overline {\ partial}}}$${\ displaystyle {\ overline {\ partial _ {b}}}}$${\ displaystyle {\ overline {\ partial _ {b}}} \ circ {\ overline {\ partial _ {b}}} = 0}$

С тангенциальным комплексом CR связан фундаментальный объект в геометрии CR и нескольких комплексных переменных, лапласиан Кона. Это определяется как:

${\ displaystyle \ Box _ {b} = {\ overline {\ partial _ {b}}} {\ overline {\ partial _ {b}}} ^ {\ star} + {\ overline {\ partial _ {b} }} ^ {\ star} {\ overline {\ partial _ {b}}}}$

Здесь обозначает формальное дополнение к тому, где форма объема может быть получена из формы контакта, которая связана со структурой CR. См., Например, статью JM Lee в American J., указанную ниже. Обратите внимание, что лапласиан Кона принимает формы (0, p) в формы (0, p). Функции, аннулируемые лапласианом Кона, называются CR-функциями . Они являются граничными аналогами голоморфных функций . Действительные части функций CR называются плюригармоническими функциями CR . Лапласиан Кона - неотрицательный формально самосопряженный оператор. Он вырожден и имеет характеристическое множество, в котором его символ равен нулю. На компактном сильно псевдовыпуклом абстрактном CR-многообразии оно имеет дискретные положительные собственные значения, которые стремятся к бесконечности и также стремятся к нулю. Ядро состоит из CR-функций и поэтому имеет бесконечную размерность. Если положительные собственные значения лапласиана Кона ограничены снизу положительной константой, то лапласиан Кона имеет замкнутый диапазон значений и наоборот. Таким образом, для вложенных CR-структур с использованием сформулированного выше результата Кона мы заключаем, что компактная CR-структура, которая является сильно псевдовыпуклой, вложена тогда и только тогда, когда лапласиан Кона имеет положительные собственные значения, ограниченные снизу положительной константой. Лапласиан Кона всегда имеет нулевое собственное значение, соответствующее CR-функциям. ${\ displaystyle {\ overline {\ partial _ {b}}} ^ {\ star}}$${\ displaystyle {\ overline {\ partial _ {b}}}}$${\ Displaystyle L ^ {2} (М)}$${\ displaystyle \ Box _ {b}}$

Оценки и были получены в различных функциональных пространствах в различных условиях. Эти оценки легче всего получить, когда многообразие является сильно псевдовыпуклым, поскольку тогда можно заменить многообразие, соприкоснув его до достаточно высокого порядка с группой Гейзенберга. Затем, используя групповое свойство и сопутствующую структуру свертки группы Гейзенберга, можно записать инверсии / параметрисы или относительные параметрисы в . ${\ displaystyle \ Box _ {b}}$${\ displaystyle {\ overline {\ partial _ {b}}}}$${\ displaystyle \ Box _ {b}}$

Конкретный пример оператора можно привести в группе Гейзенберга. Рассмотрим общую группу Гейзенберга и антиголоморфные векторные поля, которые также являются групповыми левоинвариантными, ${\ displaystyle {\ overline {\ partial _ {b}}}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} \ times \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle {\ overline {L}} _ {j} = {\ frac {\ partial} {\ partial {\ overline {z_ {j}}}}}} - \ imath z_ {j} {\ frac {\ partial } {\ partial t}}, j = 1,2, \ ldots, n, (z_ {1}, z_ {2}, \ ldots, z_ {n}) \ in \ mathbb {C} ^ {n}, т \ in \ mathbb {R}.}$

Тогда для функции u имеем (0,1) вид ${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle \ omega = {\ overline {\ partial _ {b}}} u = \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ overline {L_ {j}}} u \ d {\ overline {z_ {j}}}.}$

Поскольку обращается в нуль на функциях, мы также имеем следующую формулу лапласиана Кона для функций на группе Гейзенберга: ${\ displaystyle {\ overline {\ partial _ {b}}} ^ {\ star}}$

${\ displaystyle \ Box _ {b} = - \ sum _ {j = 1} ^ {n} L_ {j} {\ overline {L_ {j}}}}$

куда

${\ displaystyle L_ {j} = {\ frac {\ partial} {\ partial z_ {j}}} + \ imath {\ overline {z_ {j}}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} ,}$

- групповые левоинвариантные голоморфные векторные поля на группе Гейзенберга. Выражение для лапласиана Кона, приведенное выше, можно переписать следующим образом. Сначала легко проверить, что

${\ displaystyle [L_ {j}, {\ overline {L_ {j}}}] = - 2 \ imath T, T = {\ frac {\ partial} {\ partial t}}, j = 1,2, \ ldots, n}$

Таким образом, элементарным расчетом имеем:

${\ displaystyle \ Box _ {b} = - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {j = 1} ^ {n} (L_ {j} {\ overline {L_ {j}}} + { \ overline {L_ {j}}} L_ {j}) + \ imath nT}$

Первый оператор справа - действительный оператор, и фактически это действительная часть лапласиана Кона. Он называется сублапласианом . Это является основным примером того , что называется Хёрмандер суммой оператора квадратов. Это, очевидно, неотрицательно, как видно из интегрирования по частям. Некоторые авторы определяют сублапласиан с противоположным знаком. В нашем случае конкретно:

${\ displaystyle \ Delta _ {b} = - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {j = 1} ^ {n} (L_ {j} {\ overline {L_ {j}}} + { \ overline {L_ {j}}} L_ {j})}$

где символ является традиционным символом сублапласиана. Таким образом ${\ displaystyle \ Delta _ {b}}$

${\ Displaystyle \ Box _ {b} = \ Delta _ {b} + \ imath nT}$

Примеры

Каноническим примером компактного CR-многообразия является вещественная сфера как подмногообразие в . Пакет, описанный выше, имеет вид ${\ displaystyle 2n + 1}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п + 1}}$${\ displaystyle L}$

${\ Displaystyle L = \ mathbb {C} TS ^ {2n + 1} \ cap T ^ {1,0} \ mathbb {C} ^ {n + 1}}$

где - пучок голоморфных векторов. Реальная форма этого даются , пучок заданного в точке , конкретно с точкой зрения сложной структуры, на по ${\ Displaystyle Т ^ {1,0} \ mathbb {C} ^ {п + 1}}$${\ Displaystyle P = \ Re (L \ oplus {\ bar {L}})}$${\ displaystyle p \ in S ^ {2n + 1}}$${\ displaystyle I}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п + 1}}$

${\ displaystyle P_ {p} = \ {X \ in T_ {p} S ^ {2n + 1}: IX \ in T_ {p} S ^ {2n + 1} \ subset T_ {p} \ mathbb {C} ^ {п + 1} \},}$

а почти сложная структура - это всего лишь ограничение . Сфера - это пример CR-многообразия с постоянной положительной вебстеровской кривизной и нулевым кручением Вебстера. Группа Гейзенберга является примером некомпактного CR-многообразия с нулевым вебстеровским кручением и нулевой вебстеровской кривизной. Расслоение единичной окружности над компактными римановыми поверхностями с родом строго больше 1 также дает примеры CR-многообразий, которые являются сильно псевдовыпуклыми и имеют нулевое кручение Вебстера и постоянную отрицательную кривизну Вебстера. Эти пространства можно использовать в качестве пространств сравнения при изучении геодезических и теорем сравнения объемов на CR-многообразиях с нулевым кручением Вебстера, аналогичным теореме сравнения Х.Э. Рауха в римановой геометрии. ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle I}$

В последние годы изучаются и другие аспекты анализа группы Гейзенберга, такие как минимальные поверхности в группе Гейзенберга, проблема Бернштейна в группе Гейзенберга и потоки кривизны.

Смотрите также

• Эухенио Элиа Леви
• Псевдовыпуклость

Примечания

использованная литература

• Леви, Эухенио Элиа (1910), «Studii sui punti singolari essenziali delle funzioni analitiche di due o più variabili complesse» , Annali di Matematica Pura ed Applicata , s. III (на итальянском), XVII (1): 61-87, DOI : 10.1007 / BF02419336 , СУЛ  41.0487.01 , S2CID  122678686. Важная статья в теории функций многих комплексных переменных . Английский перевод названия читается как: « исследования существенных особых точек аналитических функций двух или более сложных переменных ».
• Боггесс, Альберт (1991). CR-многообразия и касательный комплекс Коши Римана . CRC Press.
• Hill, D .; Нацинович, М. (1995). «Когомологии двойственности и распределения CR-многообразий» . Анна. Scuola Norm. Как дела. Пиза . 22 (2): 315–339. Архивировано из оригинала на 2011-06-05 . Проверено 3 июня 2007 .
• Черн СС; Мозер, Дж. К. (1974). «Реальные гиперповерхности в комплексных многообразиях» . Acta Math . 133 : 219–271. DOI : 10.1007 / BF02392146 . S2CID  119515799 .