K -теория - K-theory

В математике , К-теория , грубо говоря, исследование в кольце , порожденного векторных расслоений над топологическим пространством или схемы . В алгебраической топологии это теория когомологий, известная как топологическая K-теория . В алгебре и алгебраической геометрии это называется алгебраической K-теорией . Это также фундаментальный инструмент в области операторных алгебр . Это можно рассматривать как изучение некоторых видов инвариантов больших матриц .

K-теория предполагает построение семейств K - функторы , что отображение топологических пространств или схем для связанных колец; эти кольца отражают некоторые аспекты структуры исходных пространств или схем. Как и в случае с функторами групп в алгебраической топологии, причина этого функториального отображения состоит в том, что легче вычислить некоторые топологические свойства из отображенных колец, чем из исходных пространств или схем. Примеры результатов, полученных с помощью подхода K-теории, включают теорему Гротендика – Римана – Роха , периодичность Ботта , теорему Атьи – Зингера об индексе и операции Адамса .

В физике высоких энергий K-теория и, в частности, скрученная K-теория появились в теории струн типа II, где было высказано предположение, что они классифицируют D-браны , напряженности поля Рамона – Рамона, а также некоторые спиноры на обобщенных комплексных многообразиях . В физике конденсированного состояния K-теория использовалась для классификации топологических изоляторов , сверхпроводников и стабильных поверхностей Ферми . Подробнее см. K-теория (физика) .

Завершение Гротендика

Пополнение Гротендика абелевого моноида в абелеву группу является необходимым ингредиентом для определения K-теории, поскольку все определения начинаются с построения абелевого моноида из подходящей категории и превращения его в абелеву группу с помощью этой универсальной конструкции. Учитывая абелева Моноид LET быть отношение на определен

если существует такой, что Then, множество имеет структуру группы, где:

Классы эквивалентности в этой группе следует рассматривать как формальные различия элементов в абелевом моноиде. Этой группе также соответствует гомоморфизм моноидов , который обладает некоторым универсальным свойством .

Чтобы лучше понять эту группу, рассмотрим некоторые классы эквивалентности абелевого моноида . Здесь мы будем обозначать единичный элемент как , так что он будет единичным элементом First, для любого, поскольку мы можем установить и применить уравнение из отношения эквивалентности, чтобы получить. Это подразумевает

следовательно, у нас есть аддитивная инверсия для каждого элемента в . Это должно дать нам подсказку, что мы должны думать о классах эквивалентности как о формальных различиях. Еще одно полезное наблюдение - инвариантность классов эквивалентности при масштабировании:

для любой

Пополнение Гротендика можно рассматривать как функтор, и оно обладает тем свойством, что оно сопряжено слева к соответствующему функтору забывания.Это означает, что для данного морфизма абелевого моноида на лежащий в основе абелев моноид абелевой группы существует единственная абелева группа морфизм

Пример для натуральных чисел

Наглядным примером является завершение Гротендика . Мы видим, что для любой пары мы можем найти минимального представителя , используя инвариантность относительно масштабирования. Например, из масштабной инвариантности видно, что

В общем, если тогда

который имеет форму или

Это показывает, что мы должны думать о положительных целых числах, а о отрицательных.

Определения

Существует ряд основных определений K-теории: два из топологии и два из алгебраической геометрии.

Группа Гротендика для компактных хаусдорфовых пространств

Учитывая компактным хаусдорфовы пространство рассмотрит множество классов изоморфизма конечномерных векторных расслоений над , обозначаемыми и классом изоморфизма векторного расслоения обозначит . Поскольку классы изоморфизма векторных расслоений хорошо себя ведут по отношению к прямым суммам , мы можем записать эти операции на классах изоморфизмов как

Должно быть ясно, что это абелев моноид, в котором единица задается тривиальным векторным расслоением . Затем мы можем применить пополнение Гротендика, чтобы получить абелеву группу из этого абелевого моноида. Это называется К-теорией и обозначается .

Мы можем использовать теорему Серра – Свана и некоторую алгебру, чтобы получить альтернативное описание векторных расслоений над кольцом непрерывных комплекснозначных функций как проективных модулей . Затем их можно отождествить с идемпотентными матрицами в некотором кольце матриц . Мы можем определить классы эквивалентности идемпотентных матриц и образовать абелев моноид . Также называется его завершение Гротендика . Один из основных методов вычисления группы Гротендика для топологических пространств исходит из спектральной последовательности Атьи – Хирцебруха , что делает его очень доступным. Единственные необходимые вычисления для понимания спектральных последовательностей - это вычисление группы для сфер стр. 51-110 .

Группа Гротендика векторных расслоений в алгебраической геометрии

Аналогичная конструкция возникает при рассмотрении векторных расслоений в алгебраической геометрии . Для нётеровой схемы существует множество всех классов изоморфизма алгебраических векторных расслоений на . Тогда, как и раньше, определена прямая сумма классов изоморфизмов векторных расслоений, дающая абелев моноид . Затем группа Гротендика определяется применением конструкции Гротендика на этом абелевом моноиде.

Группа Гротендика когерентных пучков в алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии ту же конструкцию можно применить к алгебраическим векторным расслоениям над гладкой схемой. Но для любой нётеровой схемы существует альтернативная конструкция . Если мы посмотрим на классы изоморфизма когерентных пучков, мы можем модифицировать их соотношением, если существует короткая точная последовательность

Это дает Гротендика-группа , изоморфная если гладкая. Группа особенная, потому что существует также кольцевая структура: мы определяем ее как

Используя теорему Гротендика – Римана – Роха , имеем

является изоморфизмом колец. Следовательно, мы можем использовать для теории пересечений .

Ранняя история

Можно сказать, что эта тема началась с Александра Гротендика (1957), который использовал ее для формулировки своей теоремы Гротендика – Римана – Роха . Название происходит от немецкого Klasse , что означает «класс». Гротендик необходимо работать с когерентных пучков на алгебраическом многообразии X . Вместо того, чтобы работать напрямую с пучками, он определил группу, используя классы изоморфизма пучков в качестве генераторов группы, с учетом отношения, которое идентифицирует любое расширение двух пучков с их суммой. Полученная группа называется K ( X ), если используются только локально свободные пучки , или G ( X ), когда все являются когерентными пучками. Любая из этих двух конструкций называется группой Гротендика ; K ( X ) имеет когомологическое поведение, а G ( X ) гомологическое поведение.

Если X - гладкое многообразие , эти две группы совпадают. Если это гладкое аффинное многообразие , то все расширения локально свободных пучков расщепляются, поэтому у группы есть альтернативное определение.

В топологии , применив ту же конструкцию к векторным расслоениям , Майкл Атья и Фридрих Хирцебрух определили K ( X ) для топологического пространства X в 1959 г. и, используя теорему периодичности Ботта, они сделали его основой необычной теории когомологий . Он сыграл важную роль во втором доказательстве теоремы Атьи – Зингера об индексе (около 1962 г.). Более того, этот подход привел к некоммутативной K-теории для C * -алгебр .

Уже в 1955 году, Жан-Пьер Серр использовал аналогию векторных расслоений с проективными модулями сформулировать гипотезу Серра , в котором говорится , что каждый конечно порожденный проективный модуль над кольцом многочленов является свободным ; это утверждение верно, но не было подтверждено до 20 лет спустя. ( Теорема Суона - еще один аспект этой аналогии.)

Разработки

Другим историческим источником алгебраической K-теории была работа Дж. Х. К. Уайтхеда и других над тем, что позже стало известно как кручение Уайтхеда .

Затем последовал период, когда появились различные частичные определения функторов высшей K-теории . Наконец, два полезных и эквивалентных определения были даны Дэниелом Квилленом с использованием теории гомотопий в 1969 и 1972 годах. Вариант был также дан Фридхельмом Вальдхаузеном для изучения алгебраической K-теории пространств, связанной с изучением псевдоизотопий. . Многие современные исследования по высшей K-теории связаны с алгебраической геометрией и изучением мотивационных когомологий .

Соответствующие конструкции с использованием вспомогательной квадратичной формы получили общее название L-теории . Это главный инструмент теории хирургии .

В теории струн классификация напряженности поля Рамона – Рамона и зарядов стабильных D-бран по К-теории была впервые предложена в 1997 году.

Примеры и свойства

K 0 поля

Самый простой пример группы Гротендика - группа Гротендика точки для поля . Поскольку векторное расслоение над этим пространством - это просто конечномерное векторное пространство, которое является свободным объектом в категории когерентных пучков, следовательно, проективным, моноид классов изоморфизма соответствует размерности векторного пространства. Легко показать, что группа Гротендика такова .

K 0 артиновой алгебры над полем

Одним из важных свойств группы Гротендика нётеровой схемы является то, что она, следовательно, инвариантна относительно редукции . Следовательно, группа Гротендика любой артиновой -алгебры является прямой суммой копий , по одной для каждой связной компоненты ее спектра. Например,

K 0 проективного пространства

Одним из наиболее часто используемых вычислений группы Гротендика является вычисление для проективного пространства над полем. Это связано с тем, что числа пересечений проективного объекта можно вычислить путем встраивания и использования формулы push pull . Это позволяет выполнять конкретные вычисления с элементами без необходимости явно знать его структуру, поскольку

Один из способов определения группы гротендика основан на ее стратификации как
поскольку группа Гротендика когерентных пучков на аффинных пространствах изоморфна , а пересечение группы в общем случае
для .

K 0 проективного расслоения

Другой важной формулой для группы Гротендика является формула проективного расслоения: для данного векторного расслоения ранга r над нётеровой схемой группа Гротендика проективного расслоения является свободным -модулем ранга r с базисом . Эта формула позволяет вычислить группу Гротендика . Это позволяет вычислить поверхности или поверхности Хирцебруха. Кроме того, это можно использовать для вычисления группы Гротендика , наблюдая, что это проективное расслоение над полем .

K 0 особых пространств и пространств с изолированными факторособенностями

Один из недавних методов вычисления группы пространств Гротендика с незначительными особенностями основан на оценке разницы между и , которая исходит из того факта, что каждое векторное расслоение может быть эквивалентно описано как когерентный пучок. Это делается с помощью группы Гротендика категории сингулярности из производной некоммутативной алгебраической геометрии . Он дает длинную точную последовательность, начинающуюся с

где более высокие члены взяты из высшей K-теории . Обратите внимание, что векторные расслоения на особом множестве задаются векторными расслоениями на гладком множестве . Это позволяет вычислить группу Гротендика на весовых проективных пространствах, поскольку они обычно имеют изолированные факторособенности. В частности, если эти особенности имеют группы изотропии, то отображение
инъективно, и коядро аннулируется для pg 3 .

K 0 гладкой проективной кривой

Для гладкой проективной кривой группа Гротендика есть

для Пикара группы из . Это следует из
спектральной последовательности Брауна-Герстена-Quillen пг 72 из алгебраической K-теории . Для регулярной схемы конечного типа над полем существует сходящаяся спектральная последовательность
для множества точек коразмерности , то есть множества подсхем коразмерности и поля алгебраических функций подсхемы. Эта спектральная последовательность обладает свойством
pg 80
для кольца чау-чау , что по сути дает вычисление . Обратите внимание, что поскольку не имеет точек коразмерности , единственными нетривиальными частями спектральной последовательности являются , следовательно,
Затем фильтрацию Кониво можно использовать для определения желаемой явной прямой суммы, поскольку она дает точную последовательность
где левый член изоморфен, а правый член изоморфен . Поскольку у нас есть последовательность абелевых групп выше расщеплений, задающих изоморфизм. Заметим, что если - гладкая проективная кривая рода над , то
Более того, описанные выше методы, использующие производную категорию особенностей для изолированных особенностей, могут быть распространены на изолированные особенности Коэна-Маколея , давая методы вычисления группы Гротендика любой сингулярной алгебраической кривой. Это связано с тем, что редукция дает в общем гладкую кривую, а все особенности - Коэна-Маколея.

Приложения

Виртуальные пакеты

Одно из полезных приложений группы Гротендика - определение виртуальных векторных расслоений. Например, если у нас есть вложение гладких пространств, то существует короткая точная последовательность

где - конормальное расслоение in . Если у нас есть особое пространство, вложенное в гладкое пространство, мы определяем виртуальное конормальное расслоение как

Еще одно полезное применение виртуальных расслоений - определение виртуального касательного расслоения пересечения пространств: пусть - проективные подмногообразия гладкого проективного многообразия. Тогда мы можем определить виртуальное касательное расслоение их пересечения как

Концевич использует эту конструкцию в одной из своих работ.

Черн персонажи

Классы Черна можно использовать для построения гомоморфизма колец из топологической K-теории пространства в (пополнение) его рациональных когомологий. Для линейного расслоения L характер Черна ch определяется формулой

В более общем смысле, если - прямая сумма линейных расслоений, с первыми классами Черна характер Черна определяется аддитивно

Характер Черна полезен отчасти потому, что он облегчает вычисление класса Черна тензорного произведения. Характер Черна используется в теореме Хирцебруха – Римана – Роха .

Эквивариантная K-теория

Эквивариантная алгебраическая K-теория является алгебраической K-теории , связанные с категорией из эквивариантных когерентных пучков на алгебраическом схеме с действием линейной алгебраической группы , через Квиллена Q-конструкции ; таким образом, по определению,

В частности, это группа Гротендик из . Теория была разработана Р. В. Томасоном в 1980-х годах. В частности, он доказал эквивариантные аналоги фундаментальных теорем, таких как теорема локализации.

Смотрите также

Заметки

Рекомендации

Внешние ссылки