Теорема Бореля – Вейля – Ботта - Borel–Weil–Bott theorem

В математике , то Борель-Вейль-Ботт теорема является основным результатом в теории представления о группах Ли , показывая , как семейство представлений может быть получено из голоморфных сечений некоторых комплексных векторных расслоений , и, в более общем случае , от высших когомологий пучковых групп связанные с такими связками. Он построен на предыдущей теоремы Бореля-Вейля о Борель и Вейль , имея дело только с пространством сечений (нулевой группы когомологий), расширение до более высоких групп когомологий, предоставляемой Раулем Ботт . Точно так же, через GAGA Серра, можно рассматривать это как результат сложной алгебраической геометрии в топологии Зарисского .

Формулировка

Пусть G является полупростой группой Ли или алгебраическая группа над , и фиксируем максимальный тор Т вместе с подгруппой Бореля B , которая содержит T . Пусть λ быть интегральный вес от Т ; λ определяет естественным образом одномерное представление С _λ из B , потянув назад на представление T = B / U , где U представляет собой унипотентный радикал из B . Поскольку мы можем рассматривать отображение проекции G → G / B как главное B- расслоение , для каждого C _λ мы получаем ассоциированное расслоение L _−λ на G / B (обратите внимание на знак), которое, очевидно, является линейным расслоением . Отождествляя L _λ с его пучком голоморфных сечений, мы рассматриваем группы когомологий пучка . Поскольку G действует на тотальном пространстве расслоения автоморфизмами расслоения, это действие естественным образом дает структуру G- модуля на этих группах; а теорема Бореля – Вейля – Ботта дает явное описание этих групп как G- модулей. ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle Н ^ {я} (G / B, \, L _ {\ lambda})}$${\ displaystyle L _ {\ lambda}}$

Сначала нам нужно описать действие группы Вейля с центром в . Для любого целого веса Х и W в группе Вейля W , мы установили , где ρ обозначает полусумма положительных корней G . Несложно проверить, что это определяет действие группы, хотя это действие не является линейным, в отличие от обычного действия группы Вейля. Также вес μ называется доминирующим, если для всех простых корней α . Пусть л обозначит функцию длины на W . ${\ displaystyle - \ rho}$${\ Displaystyle ш * \ лямбда: = вес (\ лямбда + \ ро) - \ ро \,}$${\ Displaystyle \ му (\ альфа ^ {\ vee}) \ geq 0}$

Для целого веса λ возможны два случая:

1. Не существует такого, что является доминантным, эквивалентно, существует такое неидентичное , что ; или же${\ displaystyle w \ in W}$${\ Displaystyle ш * \ лямбда}$${\ displaystyle w \ in W}$${\ Displaystyle ш * \ лямбда = \ лямбда}$
2. Есть такое уникальное , что доминирует.${\ displaystyle w \ in W}$${\ Displaystyle ш * \ лямбда}$

Теорема утверждает, что в первом случае имеем

${\ Displaystyle Н ^ {я} (Г / В, \, L _ {\ лямбда}) = 0}$для всех i ;

а во втором случае имеем

${\ Displaystyle Н ^ {я} (Г / В, \, L _ {\ лямбда}) = 0}$для всех , пока${\ Displaystyle я \ neq \ ell (ш)}$

${\ displaystyle H ^ {\ ell (w)} (G / B, \, L _ {\ lambda})}$является двойственным к неприводимому представлению G со старшим весом .${\ Displaystyle ш * \ лямбда}$

Стоит отметить, что приведенный выше случай (1) имеет место тогда и только тогда, когда для некоторого положительного корня β . Кроме того, мы получаем классическую теорему Бореля – Вейля как частный случай этой теоремы, считая λ доминантным, а w тождественным элементом . ${\ Displaystyle (\ лямбда + \ ро) (\ бета ^ {\ vee}) = 0}$${\ displaystyle e \ in W}$

Пример

Например, рассмотрим G = SL ₂ ( C ) , для которого G / B - сфера Римана , интегральный вес задается просто целым числом n , а ρ = 1 . Линейное расслоение L _n есть , сечения которого являются однородными многочленами степени n (т. Е. Двоичными формами ). Как представление группы G , секции могут быть записаны как Sym ⁿ ( C ² ) * и канонически изоморфны Sym ⁿ ( C ² ) . ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (п)}$

Это сразу дает нам теорию представлений : является стандартным представлением и является его n- й симметричной степенью . У нас даже есть единое описание действия алгебры Ли, полученное из ее реализации в виде векторных полей на сфере Римана: если H , X , Y - стандартные генераторы алгебры Ли , то ${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2} (\ mathbf {C})}$${\ Displaystyle \ Gamma ({\ mathcal {O}} (1))}$${\ Displaystyle \ Гамма ({\ mathcal {O}} (п))}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2} (\ mathbf {C})}$

${\ displaystyle {\ begin {align} H & = x {\ frac {d} {dx}} - y {\ frac {d} {dy}}, \\ [5pt] X & = x {\ frac {d} { dy}}, \\ [5pt] Y & = y {\ frac {d} {dx}}. \ end {align}}}$

Положительная характеристика

Есть и более слабая форма этой теоремы в положительной характеристике. А именно, пусть G - полупростая алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем характеристики . Тогда остается верным, что для всех i, если λ - такой вес, который не является доминирующим для всех, пока λ «близко к нулю». Это известно как теорема об исчезновении Кемпфа . Однако другие утверждения теоремы не остаются в силе в этой ситуации. ${\ displaystyle p> 0}$${\ Displaystyle Н ^ {я} (Г / В, \, L _ {\ лямбда}) = 0}$${\ Displaystyle ш * \ лямбда}$${\ displaystyle w \ in W}$

Более явно, пусть λ - доминантный целочисленный вес; то это по-прежнему верно для всех , но уже неверно, что этот G -модуль в целом является простым, хотя он действительно содержит единственный модуль старшего веса самого высокого веса λ в качестве G -подмодуля. Если λ - произвольный целочисленный вес, на самом деле это большая нерешенная проблема теории представлений в целом, чтобы описать модули когомологий . В отличие от Over , Мамфорд привел пример, показывающий, что для фиксированного λ не обязательно, чтобы все эти модули были равны нулю, за исключением одной степени i . ${\ Displaystyle Н ^ {я} (Г / В, \, L _ {\ лямбда}) = 0}$${\ displaystyle i> 0}$${\ Displaystyle Н ^ {я} (G / B, \, L _ {\ lambda})}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Теорема Бореля – Вейля.

Теорема Бореля-Вейля обеспечивает модель бетонную для неприводимых представлений о компактных групп Ли и неприводимых голоморфных представлений комплексных полупростых групп Ли . Эти представления реализуются в пространствах глобальных сечений из голоморфных линейных расслоений на многообразии флагов группы. Теорема Бореля – Вейля – Ботта является ее обобщением на пространства высших когомологий. Теорема восходит к началу 1950-х годов и может быть найдена у Серра, 1951-4 и Титса (1955) . Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFSerre1951-4 ( справка )

Формулировка теоремы

Теорема может быть сформулирована как для комплексной полупростой группы Ли G или ее компактной формы K . Пусть G - связная комплексная полупростая группа Ли, B - борелевская подгруппа группы G и X = G / B - многообразие флагов . В этом сценарии X - комплексное многообразие и неособое алгебраическое G -многообразие . Многообразие флагов также может быть описана в виде компактного однородного пространства К / Т , где Т = К ∩ B представляет собой (компактный) картановская подгруппа из K . Интеграл веса λ определяет G -эквивариантное голоморфное линейное расслоение L _Л на X и группа G действует на ее пространстве глобальных сечений,

${\ displaystyle \ Gamma (G / B, L _ {\ lambda}). \}$

Бореля-Вейля теорема утверждает , что если λ является доминирующим интегральный вес , то это представление является голоморфным неприводимые представления старшего веса в G со старшим весом Х . Его ограничение на K представляет собой неприводимое унитарное представление о К со старшим весом Х , и каждый неприводимые унитарные представления K получается таким образом для уникального значения Х . (Голоморфным представлением комплексной группы Ли является такое представление алгебры Ли, для которого соответствующее представление алгебры Ли комплексно линейно.)

Конкретное описание

Вес λ порождает характер (одномерное представление) борелевской подгруппы B , который обозначается χ _λ . Голоморфные сечения голоморфного линейного расслоения L _λ над G / B можно описать более конкретно как голоморфные отображения

${\ displaystyle f: G \ to \ mathbb {C} _ {\ lambda}: f (gb) = \ chi _ {\ lambda} (b ^ {- 1}) f (g)}$

для всех г ∈ G и б ∈ B .

Действие группы G на этих участках определяется выражением

${\ Displaystyle г \ cdot е (ч) = е (г ^ {- 1} ч)}$

для г , ч ∈ G .

Пример

Пусть G - комплексная специальная линейная группа SL (2, C ) с борелевской подгруппой, состоящей из верхнетреугольных матриц с детерминантной единицей. Интегральные веса для G могут быть идентифицированы с целыми числами , с доминирующими весами , соответствующими неотрицательными целыми числами, а соответствующие символы х _п из B имеют вид

${\ displaystyle \ chi _ {n} {\ begin {pmatrix} a & b \\ 0 & a ^ {- 1} \ end {pmatrix}} = a ^ {n}.}$

Многообразие флагов G / B можно отождествить с комплексной проективной прямой CP ¹ с однородными координатами X , Y, а пространство глобальных сечений линейного расслоения L _n отождествить с пространством однородных многочленов степени n на C ² . При n ≥ 0 это пространство имеет размерность n + 1 и образует неприводимое представление при стандартном действии G на алгебре многочленов C [ X , Y ] . Весовые векторы задаются одночленами

${\ displaystyle X ^ {i} Y ^ {ni}, \ quad 0 \ leq i \ leq n}$

весов 2 i - n , а вектор X ⁿ старшего веса имеет вес n .

Смотрите также

• Теорема старшего веса

Заметки

Рекомендации

• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для выпускников по математике , Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Руководство по ремонту  1153249 . OCLC  246650103 ..
• Бастон, Роберт Дж .; Иствуд, Майкл Г. (1989), Преобразование Пенроуза: его взаимодействие с теорией представлений , Oxford University Press. ( перепечатано Дувром)
• "Теорема Ботта – Бореля – Вейля" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Доказательство теоремы Бореля – Вейля – Ботта , Якоб Лурье . Проверено 13 июля, 2014.
• Серр, Жан-Пьер (1954) [1951], «Représentations linéaires et espaces homogènes kählériens des groupes de Lie compacts (d'après Armand Borel et André Weil)», Séminaire Bourbaki , 2 (100): 447–454. На французском; переведенное название: «Линейные представления и кэлеровы однородные пространства компактных групп Ли (по Арману Борелю и Андре Вейлю)».
• Титс, Жак (1955), Sur определенных классов пространств гомогенов групп Ли , Acad. Рой. Бельг. Cl. Sci. Mém. Сб., 29 На французском.
• Сепански, Марк Р. (2007), Компактные группы Ли. , Тексты для выпускников по математике, 235 , Нью-Йорк: Springer, ISBN 9780387302638.
• Кнапп, Энтони В. (2001), Теория представлений полупростых групп: обзор, основанный на примерах , Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton, NJ: Princeton University Press. Перепечатка оригинала 1986 года.

дальнейшее чтение

• Телеман, Константин (1998). «Теория Бореля – Вейля – Ботта о стеке модулей G -расслоений над кривой». Inventiones Mathematicae . 134 (1): 1–57. DOI : 10.1007 / s002220050257 . Руководство по ремонту  1646586 .

Эта статья включает материал из теоремы Бореля – Ботта – Вейля по PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .