Карта Иордании - Jordan map

В теоретической физике отображение Жордана , часто также называемое отображением Жордана – Швингера, представляет собой отображение матриц M _ij на билинейные выражения квантовых осцилляторов, которое ускоряет вычисление представлений алгебр Ли, встречающихся в физике. Он был введен Паскуаль Иордан в 1935 году и был использован Julian Швингером в 1952 году повторной работы из теории квантового кинетического момента эффективно, учитывая , что легкость МАП от организации (симметричных) представлений о су (2) в пространстве Фока .

Карта использует несколько операторов создания и уничтожения и рутинного использования в квантовых теориях поля и задачах многих тел , каждая пара представляет собой квантовый гармонический осциллятор . Коммутационные соотношения операторов рождения и уничтожения в мультибозонной системе: ${\ displaystyle a_ {i} ^ {\ dagger}}$${\ Displaystyle а_ {я} ^ {\,}}$

${\ displaystyle [a_ {i} ^ {\,}, a_ {j} ^ {\ dagger}] \ Equiv a_ {i} ^ {\,} a_ {j} ^ {\ dagger} -a_ {j} ^ {\ dagger} a_ {i} ^ {\,} = \ delta _ {ij},}$

${\ displaystyle [a_ {i} ^ {\ dagger}, a_ {j} ^ {\ dagger}] = [a_ {i} ^ {\,}, a_ {j} ^ {\,}] = 0,}$

где это коммутатор , и это Кронекера . ${\ Displaystyle [\ \, \ \]}$${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$

Эти операторы изменяют собственные значения числового оператора ,

${\ displaystyle N = \ sum _ {i} n_ {i} = \ sum _ {i} a_ {i} ^ {\ dagger} a_ {i} ^ {\,}}$,

на единицу, как и для многомерных квантовых гармонических осцилляторов .

Отображение Жордана из набора матриц M _ij в билинейные операторы пространства Фока M ,

${\ displaystyle {\ mathbf {M}} \ qquad \ longmapsto \ qquad M \ Equiv \ sum _ {i, j} a_ {i} ^ {\ dagger} {\ mathbf {M}} _ {ij} a_ {j } ~,}$

явно алгебра Ли изоморфизм, то операторы М удовлетворяют тем же коммутационные соотношения матриц М .

Пример углового момента

Например, изображение матриц Паули для SU (2) на этом отображении,

${\ displaystyle {\ vec {J}} \ Equiv {\ mathbf {a}} ^ {\ dagger} \ cdot {\ frac {\ vec {\ sigma}} {2}} \ cdot {\ mathbf {a}} ~,}$

для двухвектора a ^† s и a s удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям SU (2), причем, опираясь на соотношение полноты для матриц Паули ,

${\ Displaystyle J ^ {2} \ Equiv {\ vec {J}} \ cdot {\ vec {J}} = {\ frac {N} {2}} \ left ({\ frac {N} {2}} +1 \ вправо).}$

Это отправная точка трактовки Швингером теории квантового углового момента, основанной на действии этих операторов на фоковские состояния, построенные из произвольных высших степеней таких операторов. Например, действуя на (ненормализованное) собственное состояние Фока,

${\ displaystyle J ^ {2} ~ a_ {1} ^ {\ dagger k} a_ {2} ^ {\ dagger n} | 0 \ rangle = {\ frac {k + n} {2}} \ left ({ \ frac {k + n} {2}} + 1 \ right) ~ a_ {1} ^ {\ dagger k} a_ {2} ^ {\ dagger n} | 0 \ rangle ~,}$

пока

${\ displaystyle J_ {z} ~ a_ {1} ^ {\ dagger k} a_ {2} ^ {\ dagger n} | 0 \ rangle = {\ frac {1} {2}} \ left (kn \ right) a_ {1} ^ {\ dagger k} a_ {2} ^ {\ dagger n} | 0 \ rangle ~,}$

так что для j = ( k + n ) / 2, m = ( k − n ) / 2 это пропорционально собственному состоянию | J , м ⟩ ,

Соблюдайте и , а также . ${\ displaystyle J _ {+} = a_ {1} ^ {\ dagger} a_ {2}}$${\ displaystyle J _ {-} = a_ {2} ^ {\ dagger} a_ {1}}$${\ displaystyle J_ {z} = (a_ {1} ^ {\ dagger} a_ {1} -a_ {2} ^ {\ dagger} a_ {2}) / 2}$

Фермионы

Антисимметричные представления алгебр Ли могут быть дополнительно адаптированы с помощью фермионных операторов и , как также было предложено Жорданом. Для фермионов коммутатор заменяется антикоммутатором , ${\ displaystyle b_ {i} ^ {\ dagger}}$${\ displaystyle b_ {i} ^ {\,}}$ ${\ Displaystyle \ {\ \, \ \ \}}$

${\ displaystyle \ {b_ {i} ^ {\,}, b_ {j} ^ {\ dagger} \} \ Equiv b_ {i} ^ {\,} b_ {j} ^ {\ dagger} + b_ {j } ^ {\ dagger} b_ {i} ^ {\,} = \ delta _ {ij},}$

${\ displaystyle \ {b_ {i} ^ {\ dagger}, b_ {j} ^ {\ dagger} \} = \ {b_ {i} ^ {\,}, b_ {j} ^ {\,} \} = 0.}$

Следовательно, обмен дизъюнктными (т.е. ) операторами в продукте создания операторов уничтожения изменит знак в фермионных системах, но не в бозонных системах. ${\ displaystyle i \ neq j}$

Смотрите также

• Преобразование Гольштейна – Примакова
• Теорема Бореля-Вейля-Ботта
• Текущая алгебра
• Оператор углового момента

Рекомендации