Бикомплексный номер - Bicomplex number

В абстрактной алгебре , А бикомплекс число является пара ( ш , г ) из комплексных чисел , построенных по процессу Кэли-Диксона , который определяет бикомплекс конъюгат , а произведение двух чисел бикомплексных ${\ Displaystyle (вес, z) ^ {*} = (вес, -z)}$

${\ displaystyle (u, v) (w, z) = (uw-vz, uz + vw).}$

Тогда бикомплексная норма задается формулой

${\ Displaystyle (вес, z) ^ {*} (вес, z) = (вес, -z) (вес, z) = (вес ^ {2} + z ^ {2}, 0),}$квадратичная форма в первом компоненте.

Бикомплекса числа образуют коммутативную алгебру над С размерности два, которая изоморфна к прямой сумме алгебр C ⊕ C .

Произведение двух бикомплексных чисел дает значение квадратичной формы, которое является произведением отдельных квадратичных форм чисел: проверка этого свойства квадратичной формы произведения относится к тождеству Брахмагупты – Фибоначчи . Это свойство квадратичной формы бикомплексного числа указывает на то, что эти числа образуют композиционную алгебру . Фактически, бикомплексные числа возникают на бинарином уровне конструкции Кэли – Диксона, основанной на с нормой z ² .

Общее бикомплексное число можно представить матрицей , имеющей определитель . Таким образом, составляющее свойство квадратичной формы согласуется с составляющим свойством определителя. ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} w & iz \\ iz & w \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle w ^ {2} + z ^ {2}}$

Как настоящая алгебра

Бикомплексные числа образуют алгебру над C размерности два, и поскольку C имеет размерность два над R , бикомплексные числа являются алгеброй над R размерности четыре. На самом деле действительная алгебра старше комплексной; она была названа тессаринами в 1848 году, а комплексная алгебра появилась только в 1892 году.

Основой для tessarine 4-алгебра над R определяет г = 1 и г = - я , давая матрицы , которые размножаются в соответствии с таблицей , приведенной. Когда единичная матрица отождествляется с 1, тогда тессарин t = w + zj . ${\ displaystyle k = {\ begin {pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \ end {pmatrix}}, \ quad \ j = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}$

История

Тема множественных воображаемых единиц была исследована в 1840-х годах. В длинной серии статей «О кватернионах, или о новой системе воображаемых в алгебре», начатой ​​в 1844 году в Philosophical Magazine , Уильям Роуэн Гамильтон сообщил о системе, умножающейся в соответствии с группой кватернионов . В 1848 году Томас Киркман сообщил о своей переписке с Артуром Кэли относительно уравнений для единиц, определяющих систему гиперкомплексных чисел.

Тессаринс

В 1848 году Джеймс Кокл представил тессарины в серии статей в Philosophical Magazine .

Tessarine является гиперкомплексным числом вида

${\ Displaystyle T = вес + xi + yj + zk, \ quad w, x, y, z \ in \ mathbb {R}}$

где Кокл использовал тессарины, чтобы выделить ряд гиперболических косинусов и ряд гиперболических синусов в ряду экспонент. Он также показал, как возникают делители нуля в тессаринах, вдохновив его на использование термина «невозможное». Тессарины в настоящее время наиболее известны своей подалгеброй вещественных тессаринов , также называемых комплексными числами с расщеплением , которые выражают параметризацию единичной гиперболы . ${\ displaystyle ij = ji = k, \ quad i ^ {2} = - 1, \ quad j ^ {2} = + 1.}$ ${\ displaystyle t = w + yj \}$

Бикомплексные числа

В статье « Mathematische Annalen» 1892 года Коррадо Сегре ввел бикомплексные числа , которые образуют алгебру, изоморфную тессаринам.

Сегре читал « Лекции о кватернионах» В. Р. Гамильтона (1853 г.) и работы В. К. Клиффорда . Сегре использовал некоторые обозначения Гамильтона для разработки своей системы бикомплексных чисел : пусть h и i - элементы, квадратные в −1 и коммутирующие. Тогда, предполагая ассоциативность умножения, произведение hi должно возводиться в квадрат +1. Алгебра, построенная на основе {1, h , i , hi } , тогда будет такой же, как тессарины Джеймса Кокла, представленные с использованием другого базиса. Сегре отметил, что элементы

${\ Displaystyle g = (1-привет) / 2, \ quad g '= (1 + привет) / 2}$   являются идемпотентами .

Когда бикомплексные числа выражаются через базис {1, h , i , - hi } , их эквивалентность тессаринам очевидна. Рассмотрение линейного представления этих изоморфных алгебр показывает согласие в четвертом измерении, когда используется отрицательный знак; рассмотрите приведенный выше образец продукта в линейном представлении.

Фактор-кольца многочленов

Одно сравнение бикомплексных чисел и тессаринов использует кольцо многочленов R [ X , Y ], где XY = YX . Тогда идеал представляет собой кольцо частных, представляющее тессарины. В этом фактор - кольца подход, элементы tessarines соответствуют смежности по отношению к идеальному А . Точно так же идеал дает частное, представляющее бикомплексные числа. ${\ Displaystyle А = (Х ^ {2} +1, \ Y ^ {2} -1)}$${\ Displaystyle В = (Х ^ {2} +1, \ Y ^ {2} +1)}$

Обобщение этого подхода используется свободная алгебра R ⟨ X , Y ⟩ в двух некоммутирующими неизвестных Х и Y . Рассмотрим эти три полинома второй степени . Пусть A - порожденный ими идеал. Тогда фактор - кольцо R ⟨ X , Y ⟩ / изоморфна кольцу tessarines. ${\ Displaystyle X ^ {2} +1, \ Y ^ {2} -1, \ XY-YX}$

Чтобы увидеть эту  заметку, ${\ displaystyle (XY) ^ {2} +1 \ in A}$

${\ displaystyle XY ^ {2} X = X (Y ^ {2} -1) X + (X ^ {2} +1) -1,}$ так что

${\ displaystyle XY ^ {2} X + 1 = X (Y ^ {2} -1) X + (X ^ {2} +1) \ in A.}$ Но потом

${\ Displaystyle XY (XY-YX) + XY ^ {2} X + 1 \ in A.}$ как требуется.

Теперь рассмотрим альтернативный идеал B, порожденный . В этом случае можно доказать . Изоморфизм колец R ⟨ X , Y ⟩ / ≅ R ⟨ X , Y ⟩ / B вовлекает изменение основы обмена . ${\ Displaystyle X ^ {2} +1, \ Y ^ {2} +1, \ XY-YX}$${\ displaystyle (XY) ^ {2} -1 \ in B}$ ${\ displaystyle Y \ leftrightarrow XY}$

В качестве альтернативы предположим, что поле C обычных комплексных чисел предполагается заданным, а C [ X ] - кольцо многочленов от X с комплексными коэффициентами. Тогда фактор-группа C [ X ] / ( X ² + 1) является другим представлением бикомплексных чисел.

Полиномиальные корни

Напишите ² C = C ⊕ C и представьте его элементы упорядоченными парами ( u , v ) комплексных чисел. Поскольку алгебра тессаринов T изоморфна ² C , кольца многочленов T [X] и ² C [ X ] также изоморфны, однако многочлены в последней алгебре расщепляются:

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} (a_ {k}, b_ {k}) (u, v) ^ {k} \ quad = \ quad \ left ({\ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {i} u ^ {k}}, \ quad \ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} v ^ {k} \ right).}$

В результате, когда полиномиальное уравнение в этой алгебре задана, она сводится к двум полиномиальных уравнений на C . Если степень равна n , то для каждого уравнения имеется n корней : любая упорядоченная пара из этого набора корней будет удовлетворять исходному уравнению в ² C [ X ], поэтому оно имеет n ² корня. ${\ displaystyle f (u, v) = (0,0)}$ ${\ displaystyle u_ {1}, u_ {2}, \ dots, u_ {n}, \ v_ {1}, v_ {2}, \ dots, v_ {n}.}$${\ Displaystyle (и_ {я}, v_ {j}) \!}$

Благодаря изоморфизму с T [ X ] существует соответствие многочленов и соответствие их корней. Следовательно, многочлены тессарина степени n также имеют n ² корней с учетом кратности корней .

Приложения

Бикомплексное число появляется как центр CAPS - комплексной алгебры физического пространства , которая является алгеброй Клиффорда . Поскольку линейное пространство CAPS можно рассматривать как четырехмерное пространство { } над { }. ${\ Displaystyle Cl (3, \ mathbb {C})}$${\ displaystyle 1, e_ {1}, e_ {2}, e_ {3}}$${\ displaystyle 1, i, k, j}$

Тессарины применялись в цифровой обработке сигналов .

использованная литература

дальнейшее чтение

• Г. Бейли Прайс (1991) Введение в мультикомплексные пространства и функции , Марсель Деккер ISBN  0-8247-8345-X
• Ф. Катони, Д. Боккалетти, Р. Канната, В. Катони, Э. Ничелатти, П. Зампетти. (2008) Математика пространства-времени Минковского с введением в коммутативные гиперкомплексные числа , Birkhäuser Verlag , Basel ISBN  978-3-7643-8613-9