Число Бетти - Betti number
В алгебраической топологии , то числа Бетти используется для различения топологических пространств на основе связности п - мерных симплициальных комплексах . Для наиболее разумных конечномерных пространств (таких как компактные многообразия , конечные симплициальные комплексы или комплексы CW ) последовательность чисел Бетти с некоторой точки и далее равна 0 (числа Бетти обращаются в нуль выше размерности пространства), и все они конечны. .
П - го числа Бетти представляет ранг п - й группу гомологии , обозначается H п , который говорит нам максимальное число сокращений , которые могут быть сделаны перед отделением поверхности на две части или 0-циклы, 1-циклы и т.д. Для например, если тогда , если тогда , если тогда , если тогда и т. д. Обратите внимание, что рассматриваются только ранги бесконечных групп, так, например, если , где - конечная циклическая группа порядка 2, то . Эти конечные компоненты групп гомологий являются их подгруппами кручения и обозначаются коэффициентами кручения .
Термин «числа Бетти» был придуман Анри Пуанкаре после Энрико Бетти . Современная формулировка принадлежит Эмми Нётер . Сегодня числа Бетти используются в таких областях, как симплициальная гомология , информатика , цифровые изображения и т. Д.
Геометрическая интерпретация
Неформально k- е число Бетти относится к количеству k -мерных дыр на топологической поверхности. « K- мерная дыра » - это k- мерный цикл, который не является границей ( k +1) -мерного объекта.
Первые несколько чисел Бетти имеют следующие определения для 0-мерных, 1-мерных и 2-мерных симплициальных комплексов :
- b 0 - количество связанных компонентов;
- b 1 - количество одномерных или «круглых» отверстий;
- b 2 - количество двумерных «пустот» или «полостей».
Таким образом, например, тор имеет один компонент связанной поверхности, поэтому b 0 = 1, два «круглых» отверстия (одно экваториальное и одно меридиональное ), поэтому b 1 = 2, и единственная полость, заключенная внутри поверхности, так что b 2 = 1.
Другая интерпретация b k - это максимальное количество k -мерных кривых, которые можно удалить, пока объект остается соединенным. Например, тор остается связным после удаления двух одномерных кривых (экваториальной и меридиональной), поэтому b 1 = 2.
Двумерные числа Бетти легче понять, потому что мы видим мир в 0, 1, 2 и 3 измерениях; однако последующие числа Бетти имеют более высокое измерение, чем кажущееся физическое пространство.
Формальное определение
Для неотрицательного целого числа к , то к - го числа Бетти Ь к ( Х ) пространства X определяется как ранг (число линейно независимых генераторов) от абелева группа Н к ( Х ), в к - й группе гомологии из X . К - й группы гомологии является , то s являются граничными картами симплициальная комплекса и рангом H к , является к - е числа Бетти. Эквивалентно, можно определить его в качестве векторного пространства размерности из Н к ( Х ; Q ) , так как группа гомологии в этом случае является векторным пространством над Q . Теорема об универсальных коэффициентах в очень простом случае без кручения показывает, что эти определения одинаковы.
В более общем смысле, учитывая поле F, можно определить b k ( X , F ), k- е число Бетти с коэффициентами в F , как размерность векторного пространства H k ( X , F ).
Многочлен Пуанкаре
Пуанкаре полиномом поверхности определяется , чтобы быть производящая функция его чисел Бетти. Например, числа Бетти тора - 1, 2 и 1; таким образом, его многочлен Пуанкаре равен . То же определение применимо к любому топологическому пространству, имеющему конечно порожденные гомологии.
Учитывая топологическое пространство, которое имеет конечно порожденные гомологии, многочлен Пуанкаре определяется как производящая функция его чисел Бетти через многочлен, где коэффициент равен .
Примеры
Числа Бетти на графике
Рассмотрим топологический граф G , в котором множество вершин V , множество ребер Е , а множество компонент связности С . Как объясняется на странице о гомологиях графа , его группы гомологий задаются следующим образом:
Это можно напрямую доказать с помощью математической индукции по количеству ребер. Новое ребро либо увеличивает количество 1-циклов, либо уменьшает количество связанных компонентов.
Следовательно, «нулевое» число Бетти b 0 ( G ) равно | C | - это просто количество связанных компонентов.
Первое число Бетти b 1 ( G ) равно | E | + | C | - | V |, Его также называют цикломатическим числом - термин, введенный Густавом Кирхгофом перед статьей Бетти. См. Цикломатическую сложность приложения к разработке программного обеспечения .
Все остальные числа Бетти равны 0.
Числа Бетти симплициального комплекса
Рассмотрим симплициальный комплекс с 0-симплексами: a, b, c и d, 1-симплексами: E, F, G, H и I, и единственным 2-симплексом является J, заштрихованная область на рисунке. Ясно, что на этом рисунке ( b 0 ) есть одна связная компонента ; одно отверстие, которое является незакрашенной областью ( b 1 ); и никаких «пустот» или «полостей» ( b 2 ).
Это означает, что ранг равен 1, ранг равен 1, а ранг равен 0.
Последовательность чисел Бетти для этого рисунка - 1, 1, 0, 0, ...; многочлен Пуанкаре равен .
Числа Бетти проективной плоскости
Группы гомологии проективной плоскости P :
Здесь Z 2 - циклическая группа порядка 2. 0-е число Бетти снова равно 1. Однако 1-е число Бетти равно 0. Это потому, что H 1 ( P ) - конечная группа - у нее нет любой бесконечный компонент. Конечная компонента группы, называется коэффициентом кручения в Р . (Рациональные) числа Бетти b k ( X ) не учитывают кручение в группах гомологий, но они являются очень полезными базовыми топологическими инвариантами. Проще говоря, они позволяют подсчитывать количество отверстий разного размера.
Характеристики
Эйлерова характеристика
Для конечного CW-комплекса K имеем
где обозначает эйлерову характеристику из K и любого поля F .
Декартово произведение
Для любых двух пространств X и Y имеем
где обозначает многочлен Пуанкаре от X (в более общем смысле, ряд Гильберта – Пуанкаре для бесконечномерных пространств), т. е. производящую функцию чисел Бетти пространства X :
см. теорему Кюннета .
Симметрия
Если X - n -мерное многообразие, симметрия меняется местами и для любого :
при условиях (а закрытое и ориентированное многообразие); см. двойственность Пуанкаре .
Разные коэффициенты
Зависимость от поля F только через его характеристику . Если группы гомологии без кручения , число Бетти не зависит от F . Связь p -кручения и числа Бетти для характеристики p , когда p - простое число, подробно описывается теоремой об универсальных коэффициентах (основанной на функторах Tor , но в простом случае).
Еще примеры
- Последовательность чисел Бетти для круга - 1, 1, 0, 0, 0, ...;
- многочлен Пуанкаре равен
- .
- многочлен Пуанкаре равен
- Последовательность чисел Бетти для три- тора : 1, 3, 3, 1, 0, 0, 0, ....
- многочлен Пуанкаре равен
- .
- многочлен Пуанкаре равен
- Аналогично, для п - тора ,
- многочлен Пуанкаре равен
- (по теореме Кюннета ), поэтому числа Бетти являются биномиальными коэффициентами .
- многочлен Пуанкаре равен
Для пространств, которые по существу являются бесконечномерными, может быть бесконечная последовательность ненулевых чисел Бетти. Примером может служить бесконечномерное комплексное проективное пространство с последовательностью 1, 0, 1, 0, 1, ..., которое является периодическим, с периодом 2. В этом случае функция Пуанкаре не полином, а бесконечный ряд.
- ,
который, будучи геометрическим рядом, может быть выражен как рациональная функция
В более общем смысле, любая периодическая последовательность может быть выражена как сумма геометрических рядов, обобщающих вышеизложенное (например, имеет производящую функцию
и в более общем смысле линейные рекурсивные последовательности - это в точности последовательности, порожденные рациональными функциями ; таким образом, ряд Пуанкаре выражается как рациональная функция тогда и только тогда, когда последовательность чисел Бетти является линейной рекурсивной последовательностью.
Многочлены Пуанкаре компактных простых групп Ли :
Связь с размерностями пространств дифференциальных форм
В геометрических ситуациях, когда это замкнутое многообразие , важность чисел Бетти может проистекать из другого направления, а именно, что они предсказывают размерности векторных пространств замкнутых дифференциальных форм по модулю точных дифференциальных форм . Связь с приведенным выше определением осуществляется через три основных результата : теорему де Рама и двойственность Пуанкаре (если они применимы) и теорему об универсальных коэффициентах теории гомологий .
Существует альтернативное прочтение, а именно, что числа Бетти дают размеры пространств гармонических форм . Это требует также использования некоторых результатов теории Ходжа о лапласиане Ходжа .
В этой обстановке, теория Морса дает множество неравенств для чередующейся суммы чисел Бетти в терминах соответствующей переменной суммы числа критических точек одного функции Морса данного индекса :
Эдвард Виттен дал объяснение этим неравенствам, используя функцию Морса для модификации внешней производной в комплексе де Рама .
Смотрите также
использованная литература
- Уорнер, Фрэнк Уилсон (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Нью-Йорк: Спрингер, ISBN 0-387-90894-3.
- Роу, Джон (1998), Эллиптические операторы, топология и асимптотические методы , Research Notes in Mathematics Series, 395 (второе издание), Boca Raton, FL: Chapman and Hall, ISBN 0-582-32502-1.