Теорема Кюннета - Künneth theorem

В математике , особенно в гомологической алгебре и алгебраической топологии , теорема Кюннета , также называемая формулой Кюннета , представляет собой утверждение, связывающее гомологии двух объектов с гомологиями их произведения. Классическая формулировка теоремы Кюннета связывает особые гомологии двух топологических пространств X и Y и их пространство произведения . В простейшем возможном случае это отношение тензорного произведения , но для приложений очень часто необходимо применять определенные инструменты гомологической алгебры, чтобы выразить ответ. ${\ Displaystyle X \ раз Y}$

Теорема Кюннета или формула Кюннета верна во многих различных теориях гомологии и когомологий, и это название стало общим. Эти многие результаты названы в честь немецкого математика Германа Кюннета .

Особые гомологии с коэффициентами в поле

Пусть X и Y - два топологических пространства. Обычно используются особые гомологии; но если X и Y являются CW-комплексами , то это можно заменить клеточными гомологиями , потому что они изоморфны сингулярным гомологиям. Простейший случай , когда кольцо коэффициентов для гомологии является полем F . В этой ситуации теорема Кюннета (для сингулярных гомологий) утверждает, что для любого целого k ,

${\ Displaystyle \ bigoplus _ {я + j = к} H_ {i} (X; F) \ otimes H_ {j} (Y; F) \ cong H_ {k} (X \ times Y; F)}$.

Кроме того, изоморфизм является естественным изоморфизмом . Отображение суммы в группу гомологий произведения называется перекрестным произведением . Точнее, существует операция перекрестного произведения, с помощью которой i -цикл на X и j -цикл на Y могут быть объединены для создания -цикла на ; так что существует явное линейное отображение, определенное из прямой суммы в . ${\ displaystyle (я + j)}$${\ Displaystyle X \ раз Y}$${\ Displaystyle Н_ {к} (Х \ раз Y)}$

Следствие этого результата является то , что числа Бетти , размеры гомологии с коэффициентами, из могут быть определены из тех , X и Y . Если - производящая функция последовательности чисел Бетти пространства Z , то ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle X \ раз Y}$${\ displaystyle p_ {Z} (t)}$${\ displaystyle b_ {k} (Z)}$

${\ displaystyle p_ {X \ times Y} (t) = p_ {X} (t) p_ {Y} (t).}$

Здесь, когда существует конечное число чисел Бетти X и Y , каждое из которых является натуральным числом, а не , это читается как тождество на многочленах Пуанкаре . В общем случае это формальные степенные ряды с возможно бесконечными коэффициентами, и их следует интерпретировать соответствующим образом. Более того, это утверждение справедливо не только для чисел Бетти, но и для производящих функций размерностей гомологий над любым полем. (Если целочисленные гомологии не свободны от кручения , то эти числа могут отличаться от стандартных чисел Бетти.) ${\ displaystyle \ infty}$

Особые гомологии с коэффициентами в области главных идеалов

Вышеупомянутая формула проста, потому что векторные пространства над полем имеют очень ограниченное поведение. По мере того, как кольцо коэффициентов становится более общим, взаимосвязь усложняется. Следующий простейший случай - это случай, когда кольцо коэффициентов является областью главных идеалов . Этот случай особенно важен, потому что целые числа являются PID. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

В этом случае приведенное выше уравнение больше не всегда верно. Поправочный коэффициент, по-видимому, учитывает возможность торсионных явлений. Этот поправочный коэффициент выражается в терминах функтора Tor , первого производного функтора тензорного произведения.

Когда R является PID, то правильная формулировка теоремы Кюннета состоит в том, что для любых топологических пространств X и Y существуют естественные короткие точные последовательности

${\ displaystyle 0 \ to \ bigoplus _ {i + j = k} H_ {i} (X; R) \ otimes _ {R} H_ {j} (Y; R) \ to H_ {k} (X \ times Y; R) \ to \ bigoplus _ {i + j = k-1} \ mathrm {Tor} _ {1} ^ {R} (H_ {i} (X; R), H_ {j} (Y; R )) \ до 0.}$

Более того, эти последовательности разделяются , но не канонически .

Пример

Короткие точные последовательности , описанные только могут быть легко использованы для вычисления группы гомологии с целыми коэффициентами продукта два вещественных проективных плоскостей , другими словами, . Эти пространства представляют собой комплексы CW . Обозначив группу гомологии по для краткости, один знает из простого расчета с клеточной гомологией , что ${\ Displaystyle \ mathbb {RP} ^ {2} \ times \ mathbb {RP} ^ {2}}$${\ Displaystyle Н_ {к} (\ mathbb {RP} ^ {2} \ times \ mathbb {RP} ^ {2}; \ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle Н_ {я} (\ mathbb {RP} ^ {2}; \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle h_ {i}}$

${\ displaystyle h_ {0} \ cong \ mathbb {Z}}$,

${\ Displaystyle ч_ {1} \ cong \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$,

${\ displaystyle h_ {i} = 0}$для всех остальных значений i .

Единственная ненулевая группа Tor (произведение кручения), которая может быть образована из этих значений, - это ${\ displaystyle h_ {i}}$

${\ displaystyle \ mathrm {Tor} _ {1} ^ {\ mathbb {Z}} (h_ {1}, h_ {1}) \ cong \ mathrm {Tor} _ {1} ^ {\ mathbb {Z}} (\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}, \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}) \ cong \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$.

Следовательно, короткая точная последовательность Кюннета сводится во всех степенях к изоморфизму, потому что в каждом случае есть нулевая группа либо слева, либо справа в последовательности. Результат

${\ displaystyle {\ begin {align} H_ {0} \ left (\ mathbb {RP} ^ {2} \ times \ mathbb {RP} ^ {2}; \ mathbb {Z} \ right) \; & \ cong \; h_ {0} \ otimes h_ {0} \; \ cong \; \ mathbb {Z} \\ H_ {1} \ left (\ mathbb {RP} ^ {2} \ times \ mathbb {RP} ^ { 2}; \ mathbb {Z} \ right) \; & \ cong \; h_ {0} \ otimes h_ {1} \; \ oplus \; h_ {1} \ otime h_ {0} \; \ cong \; \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \\ H_ {2} \ left (\ mathbb {RP} ^ {2} \ times \ mathbb {RP } ^ {2}; \ mathbb {Z} \ right) \; & \ cong \; h_ {1} \ otimes h_ {1} \; \ cong \; \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \ \ H_ {3} \ left (\ mathbb {RP} ^ {2} \ times \ mathbb {RP} ^ {2}; \ mathbb {Z} \ right) \; & \ cong \; \ mathrm {Tor} _ {1} ^ {\ mathbb {Z}} (h_ {1}, h_ {1}) \; \ cong \; \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \\\ конец {выровнено}}}$

а все остальные группы гомологий равны нулю.

Спектральная последовательность Кюннета

Для общего коммутативного кольца R гомологии X и Y связаны с гомологиями их произведения спектральной последовательностью Кюннета

${\ displaystyle E_ {pq} ^ {2} = \ bigoplus _ {q_ {1} + q_ {2} = q} \ mathrm {Tor} _ {p} ^ {R} (H_ {q_ {1}} ( X; R), H_ {q_ {2}} (Y; R)) \ Rightarrow H_ {p + q} (X \ times Y; R).}$

В описанных выше случаях эта спектральная последовательность схлопывается, давая изоморфизм или короткую точную последовательность.

Связь с гомологической алгеброй и идея доказательства

Цепной комплекс пространства X × Y связан с цепными комплексами X и Y естественным квазиизоморфизмом

${\ displaystyle C _ {*} (X \ times Y) \ cong C _ {*} (X) \ otimes C _ {*} (Y).}$

Для особых цепей это теорема Эйленберга и Зильбера . Для клеточных цепей на комплексах CW это прямой изоморфизм. Тогда гомологии тензорного произведения справа задаются спектральной формулой Кюннета гомологической алгебры.

Свобода цепных модулей означает, что в этом геометрическом случае нет необходимости использовать какие-либо гипергомологии или полное производное тензорное произведение.

Имеются аналоги приведенных выше утверждений для особых когомологий и когомологий пучков . Для когомологий пучков на алгебраическом многообразии Александр Гротендик нашел шесть спектральных последовательностей, связывающих возможные группы гипергомологий двух цепных комплексов пучков и группы гипергомологий их тензорного произведения.

Теоремы Кюннета в обобщенных теориях гомологий и когомологий

Существует множество обобщенных (или «необычных») теорий гомологий и когомологий для топологических пространств. K-теория и кобордизм - самые известные. В отличие от обычных гомологий и когомологий, они обычно не могут быть определены с помощью цепных комплексов. Таким образом, теоремы Кюннета нельзя получить указанными выше методами гомологической алгебры. Тем не менее теоремы Кюннета в одной и той же форме во многих случаях доказывались различными другими методами. Первыми были теорема Кюннета Майкла Атьи для комплексной K-теории и результат Пьера Коннера и Эдвина Э. Флойда о кобордизме. Возник общий метод доказательства, основанный на гомотопической теории модулей над высокоструктурированными кольцевыми спектрами . Гомотопическая категория таких модулей очень похожа на производную категорию в гомологической алгебре.

Рекомендации

Внешние ссылки

• «Формула Кюннета» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]