Теорема об универсальном коэффициенте - Universal coefficient theorem

В алгебраической топологии , универсальные теоремы коэффициентов установить отношения между группами гомологии (или когомологий групп) с различными коэффициентами. Например, для каждого топологического пространства $X$ его целые группы гомологий :

H i (X; Z)

полностью определить ее группы гомологий с коэффициентами из $A$ для любой абелевой группы $A$ :

Н я (Х; А)

Здесь $Н я$ мог бы быть симплициальная гомологии , или в более общем случае сингулярные гомологии : сам результат является чистой кусок гомологической алгебры о цепных комплексов из свободных абелевых групп . Форма результата такова, что можно использовать другие коэффициенты $A$ за счет использования функтора Tor .

Например, принято считать, что $A$ равно $Z / 2 Z$ , так что коэффициенты равны по модулю 2. Это становится простым при отсутствии 2- кручения в гомологиях. В самом общем, результат показывает взаимосвязь , которая содержит между числами Бетти $Ь I$ из $X$ и числа Бетти $Ь I, F$ с коэффициентами в поле $F$ . Они могут отличаться, но только тогда , когда характеристика из $F$ является простым числом $р$ , для которых есть некоторые $р$ -кручение в гомологии.

Постановка случая гомологии

Рассмотрим тензорное произведение модулей $H я (X; Z) \otimes A$ . Теорема утверждает, что существует короткая точная последовательность, включающая функтор Tor

{\ displaystyle 0 \ to H_ {i} (X; \ mathbf {Z}) \ otimes A \, {\ overset {\ mu} {\ to}} \, H_ {i} (X; A) \ to \ имя оператора {Tor} _ {1} (H_ {i-1} (X; \ mathbf {Z}), A) \ to 0.}

Более того, эта последовательность расщепляется , хотя и не естественным образом. Здесь $μ$ - отображение, индуцированное билинейным отображением $H i (X; Z) \times A \to H i (X; A)$ .

Если кольцо коэффициентов $A$ равно $Z / p Z$ , это частный случай спектральной последовательности Бокштейна .

Теорема об универсальных коэффициентах для когомологий

Пусть $G$ - модуль над областью главных идеалов $R$ (например, $Z$ или поле).

Существует также теорема об универсальных коэффициентах для когомологий, включающих функтор Ext , которая утверждает, что существует естественная короткая точная последовательность

{\ displaystyle 0 \ to \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {1} (H_ {i-1} (X; R), G) \ to H ^ {i} (X; G) \, {\ overset {h} {\ to}} \, \ operatorname {Hom} _ {R} (H_ {i} (X; R), G) \ to 0.}

Как и в случае гомологии, последовательность расщепляется, хотя и не естественным образом.

Фактически, предположим

{\ displaystyle H_ {i} (X; G) = \ ker \ partial _ {i} \ otimes G / \ operatorname {im} \ partial _ {i + 1} \ otimes G}

и определите:

{\ displaystyle H ^ {*} (X; G) = \ ker (\ operatorname {Hom} (\ partial, G)) / \ operatorname {im} (\ operatorname {Hom} (\ partial, G)).}

Тогда $h$ выше - это каноническое отображение:

{\ displaystyle h ([f]) ([x]) = f (x).}

Альтернативная точка зрения может быть основана на представлении когомологий через пространство Эйленберга – Маклейна, где отображение $h$ переводит гомотопический класс отображений из $X$ в $K (G, i)$ в соответствующий гомоморфизм, индуцированный в гомологиях. Таким образом, пространство Эйленберга – Маклейна является слабым справа, сопряженным к функтору гомологии .

Пример: когомологии mod 2 реального проективного пространства

Пусть $X = P n (R)$ , действительное проективное пространство . Вычислят сингулярные когомологии $X$ с коэффициентами в $R = Z / 2 Z$ .

Зная, что целочисленная гомология задается:

{\ displaystyle H_ {i} (X; \ mathbf {Z}) = {\ begin {cases} \ mathbf {Z} & i = 0 {\ text {or}} i = n {\ text {odd,}} \ \\ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z} & 0 <i <n, \ i \ {\ text {odd,}} \\ 0 & {\ text {в противном случае.}} \ end {cases}}}

Имеем $Ext (R, R) = R, Ext (Z, R) = 0$ , так что приведенные выше точные последовательности дают

{\ displaystyle \ forall i = 0, \ ldots, n: \ qquad \ H ^ {i} (X; R) = R.}

Фактически полная кольцевая структура когомологий есть

{\ displaystyle H ^ {*} (X; R) = R [w] / \ left \ langle w ^ {n + 1} \ right \ rangle.}

Следствия

Частный случай теоремы - вычисление целочисленных когомологий. Для конечного CW комплекса $X$ , $Н я (Х; Z)$ конечно порождена, и поэтому мы имеем следующее разложение .