Теорема Банаха – Мазура - Banach–Mazur theorem

В функциональном анализе , области математики , теорема Банаха – Мазура - это теорема, в общих чертах утверждающая, что большинство нормальных нормированных пространств являются подпространствами пространства непрерывных путей . Он назван в честь Стефана Банаха и Станислава Мазура .

Заявление

Каждое реальное , разъемные банахово пространство ( X , || ⋅ ||) является изометрически изоморфно в замкнутом подпространстве C ⁰ ([0, 1], R ) , пространство всех непрерывных функций из единичного интервала в реальной линии.

Комментарии

С одной стороны, теорема Банаха – Мазура, кажется, говорит нам, что кажущийся обширным набор всех сепарабельных банаховых пространств не так уж велик и с ним трудно работать, поскольку сепарабельное банахово пространство - это «всего лишь» набор непрерывных путей. С другой стороны, теорема говорит нам, что C ⁰ ([0, 1], R ) - это «действительно большое» пространство, достаточно большое, чтобы содержать все возможные сепарабельные банаховы пространства.

Несепарабельные банаховы пространства не могут изометрически вложиться в сепарабельное пространство C ⁰ ([0, 1], R ) , но для любого банахова пространства X можно найти компактное хаусдорфово пространство K и изометрическое линейное вложение j пространства X в пространство С ( К ) скалярных непрерывных функций на K . Самый простой выбор , чтобы K быть единичный шар из непрерывного двойного X  ' , снабженном ш * -топологии . Тогда этот единичный шар K компактен по теореме Банаха – Алаоглу . Вложение j вводится тем, что для любого x ∈ X непрерывная функция j ( x ) на K определяется формулой

${\ displaystyle \ forall x '\ in K: \ qquad j (x) (x') = x '(x).}$

Отображение j линейно и изометрично по теореме Хана – Банаха .

Другое обобщение было дано Клейбером и Первином (1969): метрическое пространство с плотностью, равной бесконечному кардиналу α , изометрично подпространству C ⁰ ([0,1] ^α , R ) , пространству действительных непрерывных функций на продукт из альфа копия единичного интервала.

Более сильные версии теоремы

Обозначим C ^k [0, 1] вместо C ^k ([0, 1], R ) . В 1995 год Луис Родригес площади доказал , что изометрия я  : Х → C ⁰ [0, 1] может быть выбраны таким образом, что каждая ненулевая функция в изображении я ( Х ) является нигде не дифференцируема . Другими словами, если D ⊂ C ⁰ [0, 1] состоит из функций, дифференцируемых хотя бы в одной точке из [0, 1] , то i можно выбрать так, чтобы i ( X ) ∩ D = {0}. Этот вывод применим к самому пространству C ⁰ [0, 1] , следовательно, существует линейное отображение i  : C ⁰ [0, 1] → C ⁰ [0, 1], которое является изометрией на его образ, такое, что изображение под i в C ⁰ [0, 1] (подпространство, состоящее из функций, всюду дифференцируемых с непрерывной производной) пересекает D только в точке 0 : таким образом, пространство гладких функций (относительно равномерного расстояния) изометрически изоморфно пространству нигде не дифференцируемые функции. Заметим, что (метрически неполное) пространство гладких функций плотно в C ⁰ [0, 1] .

Рекомендации

• Бессага, Чеслав и Пелчинский, Александр (1975). Избранные темы в бесконечномерной топологии . Варшава: PWN.
• Клейбер, Мартин; Первин, Уильям Дж. (1969). «Обобщенная теорема Банаха-Мазура» . Бык. Austral. Математика. Soc . 1 (2): 169–173. DOI : 10.1017 / S0004972700041411 - через Cambridge University Press.
• Родригес-Пьяцца, Луис (1995). «Всякое сепарабельное банахово пространство изометрично пространству непрерывных нигде не дифференцируемых функций». Proc. Амер. Математика. Soc. Американское математическое общество . 123 (12): 3649–3654. DOI : 10.2307 / 2161889 . JSTOR  2161889 .