Компакт Банаха – Мазура - Banach–Mazur compactum

В математическом исследовании функционального анализа , то Банах-Мазур способ определить расстояние на множество из n - мерных нормированных пространств . При таком расстоянии множество классов изометрий -мерных нормированных пространств становится компактным метрическим пространством , называемым компактом Банаха – Мазура . ${\ Displaystyle Q (п)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Определения

Если и два конечномерные нормированные пространства с той же размерности, пусть обозначим совокупность всех линейных изоморфизмов Обозначим через к операторной норме такой линейной карты - фактор максимальной , с помощью которого он «удлиняет» векторов. Расстояние Банаха – Мазура между и определяется формулой ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ operatorname {GL} (X, Y)}$${\ displaystyle T: X \ to Y.}$${\ Displaystyle \ | Т \ |}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle \ delta (X, Y) = \ log {\ Bigl (} \ inf \ {\ | T \ | \ | T ^ {- 1} \ |: T \ in \ operatorname {GL} (X, Y ) \} {\ Bigr)}.}$

Имеем тогда и только тогда, когда пространства и изометрически изоморфны. Обладая метрикой δ , пространство классов изометрий -мерных нормированных пространств становится компактным метрическим пространством , называемым компактом Банаха – Мазура. ${\ displaystyle \ delta (X, Y) = 0}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle n}$

Многие авторы предпочитают работать с мультипликативным расстоянием Банаха – Мазура.

${\ Displaystyle d (X, Y): = \ mathrm {e} ^ {\ delta (X, Y)} = \ inf \ {\ | T \ | \ | T ^ {- 1} \ |: T \ in \ operatorname {GL} (X, Y) \},}$

для чего и${\ Displaystyle d (X, Z) \ Leq d (X, Y) \, d (Y, Z)}$${\ displaystyle d (X, X) = 1.}$

Характеристики

Теорема Ф. Джона о максимальном эллипсоиде, содержащемся в выпуклом теле, дает оценку:

${\ displaystyle d (X, \ ell _ {n} ^ {2}) \ leq {\ sqrt {n}}, \,}$

где обозначает с евклидовой нормой (см. статью о пространствах ). Отсюда следует, что для всех Однако для классических пространств эта верхняя оценка диаметра далека от приближающейся. Например, расстояние между и (только) порядка (вплоть до мультипликативной константы, не зависящей от размерности ). ${\ displaystyle \ ell _ {n} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle L ^ {p}}$${\ displaystyle d (X, Y) \ leq n}$${\ displaystyle X, Y \ in Q (n).}$${\ Displaystyle Q (п)}$${\ displaystyle \ ell _ {n} ^ {1}}$${\ Displaystyle \ ell _ {п} ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle п ^ {1/2}}$${\ displaystyle n}$

Большое достижение в направлении оценки диаметра принадлежит Э. Глускину, который в 1981 году доказал, что (мультипликативный) диаметр компакта Банаха – Мазура ограничен снизу величиной для некоторой универсальной${\ Displaystyle Q (п)}$${\ displaystyle c \, n,}$${\ displaystyle c> 0.}$

Метод Глускина вводит класс случайных симметричных многогранников в и нормированных пространствах , имеющих в качестве единичного шара (вектор пространства и норма является калибровочной из ). Доказательство состоит в том, чтобы показать, что требуемая оценка верна с большой вероятностью для двух независимых копий нормированного пространства.${\ Displaystyle P (\ omega)}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$${\ Displaystyle X (\ omega)}$${\ Displaystyle P (\ omega)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle P (\ omega)}$${\ Displaystyle X (\ omega).}$

${\ Displaystyle Q (2)}$является абсолютным разгибателем . С другой стороны, не гомеоморфен кубу Гильберта . ${\ Displaystyle Q (2)}$

Смотрите также

• Компактное пространство  - Топологическое пространство со свойствами, обобщающими замкнутые и ограниченные подмножества евклидова пространства.
• Общая линейная группа  - nxn обратимые матрицы над кольцом

Примечания

использованная литература

• Яннопулос, AA (2001) [1994], "Компакт Банаха – Мазура" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Глускин, Ефим Д. (1981). «Диаметр компакта Минковского примерно равен n ». Функц. Анальный. Я Приложен . 15 (1): 72–73. DOI : 10.1007 / BF01082381 . Руководство по ремонту  0609798 . S2CID  123649549 .
• Томчак-Егерманн, Николь (1989). Расстояния Банаха-Мазура и конечномерные операторные идеалы . Монографии и обзоры Питмана по чистой и прикладной математике 38. Longman Scientific & Technical, Harlow; опубликовано в США совместно с John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк. С. xii + 395. ISBN 0-582-01374-7. Руководство по ремонту  0993774 .
• https://planetmath.org/BanachMazurCompactum
• Заметка о расстоянии Банаха-Мазура до куба
• Компакт Банаха-Мазура - это компактификация Александрова гильбертова кубического многообразия.