Полная группа - Complete group

В математике , A группа G называется полным , если каждый автоморфизм из G является внутренним , и это бесцентровое; то есть он имеет тривиальную группу внешних автоморфизмов и тривиальный центр .

Эквивалентно, группа является полной, если отображение сопряжения G → Aut ( G ) (отправляющее элемент g на сопряжение с помощью g ) является изоморфизмом : инъективность подразумевает, что только сопряжение единичным элементом является тождественным автоморфизмом, что означает, что группа является бесцентровый, в то время как сюръективность подразумевает, что у него нет внешних автоморфизмов.

Примеры

В качестве примера, все симметрические группы , S п , являются полными , за исключением , когда п ∈ {2, 6 }. Для случая n = 2 группа имеет нетривиальный центр, а для случая n = 6 существует внешний автоморфизм .

Группа автоморфизмов простой группы - почти простая группа ; для неабелевой простой группы G группа автоморфизмов G полна.

Характеристики

Полная группа всегда изоморфна своей группе автоморфизмов (путем отправки элемента для сопряжения этим элементом), хотя обратное не обязательно: например, группа диэдра из 8 элементов изоморфна своей группе автоморфизмов, но не является полной. . Для обсуждения см. ( Робинсон 1996 , раздел 13.5).

Расширения полных групп

Предположим, что группа G - это расширение группы, заданное как короткая точная последовательность групп

1 ⟶ N ⟶ G ⟶ G ′ ⟶ 1

с ядром , N , и частное, G ' . Если ядро, N , является полной группой , то расширение расщепляется: G изоморфна прямому произведению , N × G ' . Доказательство , используя гомоморфизмы и точные последовательности могут быть даны естественным образом: Действие G (путем конъюгации ) на нормальной подгруппе , N , порождает гомоморфизм групп, φ: G → Aut ( N ) ≅ N . Так как выход ( Н ) = 1 и N имеет тривиальный центр гомоморфизм φ сюръективен и имеет очевидный раздел , данное включение N в G . Ядро φ является централизатором C G ( N ) группы N в G , поэтому G является по крайней мере полупрямым произведением , C G ( N ) ⋊ N , но действие N на C G ( N ) тривиально, и так что продукт прямой. Это доказательство в некоторой степени интересно, поскольку исходная точная последовательность во время доказательства меняется на обратную.

Это можно переформулировать в терминах элементов и внутренних условий: если N - нормальная полная подгруппа группы G , то G = C G ( N ) × N - прямое произведение. Доказательство следует непосредственно из определения: N бесцентрово, так что C G ( N ) ∩ N тривиально. Если г является элементом G , то он индуцирует автоморфизм N пути конъюгации, а Н = Аи ( Н ) , и это сопряжение должны быть равны сопряжению некоторого элемента п из N . Тогда сопряжение дп -1 тождественно на N и так дп -1 в C G ( N ) , и каждый элемент, г , из G является произведением ( дп -1 ) п в C G ( Н ) Н .

использованная литература

  • Робинсон, Дерек Джон Скотт (1996), курс теории групп , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94461-6
  • Ротман, Джозеф Дж. (1994), Введение в теорию групп , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94285-8 (глава 7, в частности теоремы 7.15 и 7.17).

внешние ссылки