Экспериментальная математика - Experimental mathematics

Экспериментальная математика - это подход к математике, в котором вычисления используются для исследования математических объектов и выявления свойств и закономерностей. Он был определен как «та отрасль математики, которая в конечном итоге занимается кодификацией и передачей идей в рамках математического сообщества посредством использования экспериментального (в галилеевском, бэконовском, аристотелевском или кантианском смысле) исследования предположений и более неформальных убеждений. и тщательный анализ данных, полученных в ходе этого исследования ».

Как выражаются Халмошем : «Математика не является дедуктивной наукой . -Вот клише Когда вы пытаетесь доказать теорему, вы не просто список гипотез , а затем начинаете рассуждать , что вы делаете. Пробы и ошибки , экспериментирование , догадки. Вы хотите узнать, каковы факты, и то, что вы делаете в этом отношении, похоже на то, что делает лаборант ».

История

Математики всегда практиковали экспериментальную математику. Существующие записи ранней математики, такой как вавилонская математика , обычно состоят из списков числовых примеров, иллюстрирующих алгебраические тождества. Однако в современной математике, начиная с 17 века, сложилась традиция публикации результатов в окончательном, формальном и абстрактном виде. Числовые примеры, которые могли привести математика к первоначальной формулировке общей теоремы, не были опубликованы и, как правило, были забыты.

Экспериментальная математика как отдельная область исследования возродилась в двадцатом веке, когда изобретение электронного компьютера значительно расширило диапазон возможных вычислений со скоростью и точностью, намного превосходящей все, что было доступно предыдущим поколениям математиков. Важной вехой и достижением экспериментальной математики стало открытие в 1995 г. формулы Бейли – Борвейна – Плаффа для двоичных цифр числа π . Эта формула была открыта не формальными рассуждениями, а численным поиском на компьютере; только потом было найдено строгое доказательство .

Цели и использование

Задачи экспериментальной математики - «генерировать понимание и понимание; генерировать и подтверждать или опровергать предположения; и в целом сделать математику более осязаемой, живой и увлекательной как для профессионального исследователя, так и для новичка».

Использование экспериментальной математики определяется следующим образом:

1. Обретение проницательности и интуиции.
2. Открытие новых моделей и отношений.
3. Использование графических дисплеев для подсказки основных математических принципов.
4. Проверка и особенно опровержение домыслов.
5. Изучение возможного результата, чтобы увидеть, стоит ли он формального доказательства.
6. Предлагаем подходы к формальному доказательству.
7. Замена длинных ручных выводов компьютерными выводами.
8. Подтверждение результатов, полученных аналитическим путем.

Инструменты и техники

Экспериментальная математика использует численные методы для вычисления приближенных значений интегралов и бесконечных рядов . Арифметика произвольной точности часто используется для определения этих значений с высокой степенью точности - обычно 100 значащих цифр или более. Затем используются алгоритмы целочисленных отношений для поиска отношений между этими значениями и математическими константами . Работа со значениями высокой точности снижает возможность ошибочно принять математическое совпадение за истинное соотношение. Затем будет искать формальное доказательство предполагаемого отношения - часто легче найти формальное доказательство, когда известна форма предполагаемого отношения.

Если ищется контрпример или предпринимается попытка крупномасштабного доказательства путем исчерпания , можно использовать методы распределенных вычислений для разделения вычислений между несколькими компьютерами.

Часто используется общее математическое программное обеспечение или специализированное программное обеспечение, написанное для атак на проблемы, требующие высокой эффективности. Программное обеспечение для экспериментальной математики обычно включает механизмы обнаружения и исправления ошибок , проверки целостности и избыточные вычисления, предназначенные для минимизации возможности признания результатов недействительными из-за аппаратной или программной ошибки.

Приложения и примеры

Приложения и примеры экспериментальной математики включают:

• В поисках контрпримера к гипотезе
  • Роджер Фрай использовал методы экспериментальной математики, чтобы найти наименьший контрпример к гипотезе Эйлера о сумме степеней .
  • Проект ZetaGrid был создан для поиска контрпримера гипотезе Римана .
  • Томас Оливейра и Силва искали контрпример к гипотезе Коллатца .
• Поиск новых примеров чисел или объектов с определенными свойствами
  • Great Internet Mersenne Prime Search является поиск новых простых чисел Мерсенна .
  • Охота за Великим Периодическим Путем ищет новые периодические пути.
  • Проект OGR от Distributed.net занимается поиском оптимальных правителей Голомба .
  • Проект Riesel Sieve ищет наименьшее число Riesel .
  • Проект Seventeen or Bust ищет наименьшее число Серпинского .
• Поиск случайных числовых шаблонов
  • Эдвард Лоренц нашел аттрактор Лоренца , ранний пример хаотической динамической системы , исследуя аномальное поведение в численной модели погоды.
  • Улама спираль была обнаружена случайно.
  • Схема в числах Улама была обнаружена случайно.
  • Открытие Митчеллом Фейгенбаумом постоянной Фейгенбаума было первоначально основано на численных наблюдениях, за которыми последовало строгое доказательство.
• Использование компьютерных программ для проверки большого, но конечного числа случаев для завершения компьютерного доказательства путем исчерпания
  • Доказательство Томаса Хейлза гипотезы Кеплера .
  • Различные доказательства теоремы о четырех цветах .
  • Доказательство Клемента Лэма несуществования конечной проективной плоскости порядка 10.
  • Гэри Макгуайр доказал, что для решения минимально однозначно решаемой судоку требуется 17 подсказок.
• Символическая проверка (с помощью компьютерной алгебры ) гипотез для мотивации поиска аналитического доказательства
  • Решения для частного случая квантовой задачи трех тел , известной как водородной молекулы-иона были найдены стандартные квантовой химии базисных наборов , прежде чем понял все они приводят к тому же уникальным аналитическим решением с точки зрения обобщения на функции Ламберта W . С этой работой связано выделение ранее неизвестной связи между теорией гравитации и квантовой механикой в ​​более низких измерениях (см. Квантовую гравитацию и ссылки в ней).
  • В области релятивистской многотельной механики , а именно в симметричной во времени теории поглотителя Уиллера – Фейнмана : была продемонстрирована эквивалентность продвинутого потенциала Льенара – Вихерта частицы j, действующей на частицу i, и соответствующего потенциала частицы i, действующей на частицу j. исчерпывающе упорядочить до того, как будет доказано математически. Теория Уиллера-Фейнмана вновь обрела интерес из-за квантовой нелокальности .${\ displaystyle 1 / c ^ {10}}$
  • В области линейной оптики - проверка последовательного разложения огибающей электрического поля для ультракоротких световых импульсов, распространяющихся в неизотропных средах . Предыдущие расширения были неполными: в результате был обнаружен дополнительный термин, подтвержденный экспериментом.
• Оценка бесконечных рядов , бесконечных произведений и интегралов (см. Также символическое интегрирование ), как правило, путем выполнения числовых вычислений с высокой точностью, а затем с использованием алгоритма целочисленных отношений (например, обратного символьного калькулятора ) для поиска линейной комбинации математических констант, которые соответствует этому значению. Например, следующая личность была заново открыта Энрико Ау-Йунгом, учеником Джонатана Борвейна, с помощью компьютерного поиска и алгоритма PSLQ в 1993 году:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k ^ {2}}} \ left (1 + {\ frac {1} {2} } + {\ frac {1} {3}} + \ cdots + {\ frac {1} {k}} \ right) ^ {2} = {\ frac {17 \ pi ^ {4}} {360}} . \ end {выровнено}}}$

• Визуальные исследования
  • В Жемчуг Индры , Дэвид Мамфорд и другие исследовали различные свойства преобразования Мёбиуса и группы Шоттки с использованием компьютерных генерироваться образы групп , которые: обставленная убедительные доказательства для многих догадок и приманок для дальнейшего исследования .

Правдоподобные, но ложные примеры

Некоторые правдоподобные соотношения сохраняются с высокой степенью точности, но все же не соответствуют действительности. Один из примеров:

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ cos (2x) \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ cos \ left ({\ frac {x} {n}} \ right) \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi} {8}}.}$

Две стороны этого выражения фактически различаются после 42-го десятичного знака.

Другой пример: максимальная высота (максимальное абсолютное значение коэффициентов) всех множителей x ⁿ - 1 оказывается такой же, как высота n- го кругового полинома . Компьютер показал, что это верно для n <10000 и ожидалось, что это верно для всех n . Однако более крупный компьютерный поиск показал, что это равенство не выполняется для n = 14235, когда высота n- го кругового полинома равна 2, но максимальная высота множителей равна 3.

Практикующие

Следующие математики и информатики внесли значительный вклад в область экспериментальной математики:

Смотрите также

• Интеграл Борвейна
• Компьютерное доказательство
• Доказательства и опровержения
• Экспериментальная математика (журнал)
• Институт экспериментальной математики

использованная литература

внешние ссылки

• Экспериментальная математика (журнал)
• Центр экспериментальной и конструктивной математики (CECM) в Университете Саймона Фрейзера
• Совместная группа исследований в области математического образования в Университете Саутгемптона
• Признание числовых констант по Дэвид Х. Бейли и Симон Plouffe
• Психология экспериментальной математики
• Веб-сайт экспериментальной математики (ссылки и ресурсы)
• Веб-сайт Great Periodic Path Hunt (ссылки и ресурсы)
• Алгоритм для веков: PSLQ, лучший способ найти целочисленные отношения (альтернативная ссылка )
• Экспериментальная алгоритмическая теория информации
• Примеры Проблемы экспериментальной математики по Дэвид Х. Бейли и Джонатан М. Borwein
• Десять Проблемы экспериментальной математики по Дэвид Х. Бейли , Джонатан М. Borwein , Vishaal Капур, и Эрик В. Weisstein
• Институт экспериментальной математики в Университете Дуйсбург-Эссен