Топологическое многообразие - Topological manifold
В топологии , ветвь математики , топологическое многообразие является топологическим пространством , которое локально напоминает реальную п - мерное евклидово пространство. Топологические многообразия - важный класс топологических пространств, которые находят применение во всей математике. Все многообразия по определению являются топологическими многообразиями. Другие типы многообразий образуются путем добавления структуры к топологическому многообразию (например, дифференцируемые многообразия - это топологические многообразия, снабженные дифференциальной структурой ). Каждое многообразие имеет «лежащее в основе» топологическое многообразие, полученное простым «забвением» добавленной структуры.
Формальное определение
Топологическое пространство X называется локально евклидовым , если существует неотрицательное целое число п такое , что каждая точка в X имеет окрестность , которая гомеоморфно к реальному п -пространство R н .
Топологическое многообразие является локально евклидова хаусдорфовым . К топологическим многообразиям обычно предъявляются дополнительные требования. В частности, многие авторы определяют их как паракомпактные или второстепенные .
В оставшейся части статьи многообразие будет означать топологическое многообразие. П-многообразие будет означать топологическое многообразие, что каждая точка имеет окрестность , гомеоморфную R н .
Примеры
n -многообразия
- В реальном пространстве координат R п является п -многообразием.
- Любое дискретное пространство является 0-мерным многообразием.
- Круг представляет собой компактное 1-многообразие.
- Тор и бутылка Клейна компактные 2-многообразие (или поверхность ).
- П - мерная сфера S п представляет собой компактный п -многообразие.
- П - мерный тор Т п (произведение п окружностей) представляет собой компактное п -многообразием.
Проективные многообразия
-
Проективные пространства над вещественными числами , комплексами или кватернионами являются компактными многообразиями.
- Вещественное проективное пространство RP n является n -мерным многообразием.
- Комплексное проективное пространство CP n - это 2 n -мерное многообразие.
- Кватернионное проективное пространство HP n является 4 n -мерным многообразием.
- Коллекторы , связанные с проективным пространством включают грассманиан , многообразие флагов и Штифель многообразие .
Другие коллекторы
- Пространства линз - это класс многообразий, являющихся факторами нечетномерных сфер.
- Группы Ли - это многообразия, наделенные групповой структурой.
Характеристики
Свойство быть локально евклидовым сохраняется локальными гомеоморфизмами . То есть, если X локально евклидово размерности n и f : Y → X - локальный гомеоморфизм, то Y локально евклидово размерности n . В частности, локальная евклидовость является топологическим свойством .
Многообразия наследуют многие локальные свойства евклидова пространства. В частности, они локально компактны , локально связны , сначала счетны , локально стягиваемы и локально метризуемы . Будучи локально компактными хаусдорфовыми пространствами, многообразия обязательно являются тихоновскими пространствами .
Добавление условия Хаусдорфа может сделать несколько свойств многообразия эквивалентными. В качестве примера можно показать, что для хаусдорфова многообразия понятия σ-компактности и второй счетности совпадают. В самом деле, хаусдорфово многообразие является локально компактным хаусдорфовым пространством, следовательно, оно (полностью) регулярно. Предположим, что такое пространство X σ-компактно. Тогда это Линделёф, и поскольку из регулярности Линделёфа + следует паракомпакт, X метризуемо. Но в метризуемом пространстве вторая счетность совпадает со счетностью по Линделёфу, поэтому X имеет счетность до секунд. Наоборот, если X - хаусдорфово вторично счетное многообразие, оно должно быть σ-компактным.
Многообразие не обязательно должно быть связным, но каждое многообразие M является несвязным объединением связных многообразий. Это только связные компоненты из М , которые являются открытыми множествами , поскольку многообразия локально связно. Будучи локально линейно связным, многообразие линейно связно тогда и только тогда, когда оно связано. Отсюда следует, что компоненты пути такие же, как и компоненты.
Аксиома Хаусдорфа
Собственность Хаусдорфа не является местной; поэтому, даже если евклидово пространство хаусдорфово, локально евклидово пространство не обязательно. Однако верно, что каждое локально евклидово пространство есть T 1 .
Примером нехаусдорфового локально евклидова пространства является линия с двумя началами . Это пространство создается путем замены начала реальной прямой двумя точками, открытая окрестность любой из которых включает все ненулевые числа в некотором открытом интервале с центром в нуле. Это пространство не хаусдорфово, потому что два начала не могут быть разделены.
Аксиомы компактности и счетности
Многообразие метризуемо тогда и только тогда, когда оно паракомпактно . Поскольку метризуемость - такое желаемое свойство топологического пространства, обычно к определению многообразия добавляют паракомпактность. В любом случае непаракомпактные коллекторы обычно считаются патологическими . Пример непаракомпактного многообразия дается длинной линией . Паракомпактные многообразия обладают всеми топологическими свойствами метрических пространств. В частности, это совершенно нормальные хаусдорфовы пространства .
Также обычно требуется, чтобы в коллекторах был счетчик секунд . Это в точности условие, необходимое для того, чтобы многообразие было вложено в какое-то конечномерное евклидово пространство. Для любого многообразия свойства счетности до второго, линделёфа и σ-компактности эквивалентны.
Каждое счетное многообразие паракомпактно, но не наоборот. Однако почти верно и обратное: паракомпактное многообразие счетно во второй раз тогда и только тогда, когда оно имеет счетное число компонент связности . В частности, связное многообразие паракомпактно тогда и только тогда, когда оно счетно во втором. Каждое счетное многообразие сепарабельно и паракомпактно. Более того, если многообразие сепарабельно и паракомпактно, то оно также счетно во вторых.
Каждое компактное многообразие счетно и паракомпактно.
Размерность
По инвариантности области непустое n -многообразие не может быть m -многообразием при n ≠ m . Размерность непустого n -многообразия равна n . Быть n -многообразием - это топологическое свойство , означающее, что любое топологическое пространство, гомеоморфное n -многообразию, также является n -многообразием.
Координатные диаграммы
По определению, каждая точка локально евклидова пространства имеет окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству . Такие окрестности называются евклидовыми окрестностями . Из неизменности области следует, что евклидовы окрестности всегда являются открытыми множествами. Всегда можно найти евклидовы окрестности, гомеоморфные «красивым» открытым множествам . В самом деле, пространство M локально евклидово тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих эквивалентных условий:
- каждая точка M имеет окрестность, гомеоморфную открытому шару в .
- каждая точка M имеет окрестность, гомеоморфную самой себе.
Евклидова окрестность, гомеоморфная открытому шару в , называется евклидовым шаром . Евклидовы шары составляют основу топологии локально евклидова пространства.
Для любой евклидовой окрестности U гомеоморфизм называется координатной картой на U (хотя слово карта часто используется для обозначения области или диапазона такой карты). Пространство M локально евклидово тогда и только тогда, когда оно может быть покрыто евклидовыми окрестностями. Множество евклидовых окрестностей, покрывающих М , вместе с их координат диаграммы, называется атласом на М . (Терминология происходит от аналогии с картографией, когда сферический глобус можно описать атласом плоских карт или диаграмм).
Учитывая две диаграммы и с перекрывающимися областями U и V , существует функция перехода
Такое отображение является гомеоморфизмом между открытыми подмножествами . То есть координатные диаграммы соглашаются на перекрытия с точностью до гомеоморфизма. Различные типы многообразий могут быть определены путем наложения ограничений на типы разрешенных карт переходов. Например, для дифференцируемых многообразий требуется, чтобы отображения переходов были диффеоморфизмами .
Классификация многообразий
Дискретные пространства (0-многообразие)
0-многообразие - это просто дискретное пространство . Дискретное пространство является счетным тогда и только тогда, когда оно счетно .
Кривые (1-манифольд)
Всякое непустое паракомпактное связное 1-многообразие гомеоморфно либо R, либо окружности .
Поверхности (2-многообразие)
Каждые непустой, компактный, связанные 2-многообразие (или поверхность ) гомеоморфно сфере , в связную сумму из торов , или связной сумму проективных плоскостей .
Объемы (3-манифольд)
Классификация трехмерных многообразий является результатом гипотезы Терстона о геометризации , доказанной Григорием Перельманом в 2003 году. Более конкретно, результаты Перельмана предоставляют алгоритм для определения гомеоморфности двух трехмерных многообразий друг другу.
Общее n-многообразие
Известно, что полная классификация n -многообразий для n больше трех невозможна; она не менее сложна, чем проблема слов в теории групп , которая, как известно, алгоритмически неразрешима .
Фактически не существует алгоритма определения односвязности данного многообразия . Однако существует классификация односвязных многообразий размерности ≥ 5.
Многообразия с краем
Иногда полезно немного более общее понятие. Топологическое многообразие с краем является хаусдорфовым , в котором каждая точка имеет окрестность , гомеоморфную открытое подмножество евклидовой полупространства (при фиксированном п ):
Каждое топологическое многообразие является топологическим многообразием с краем, но не наоборот.
Конструкции
Есть несколько методов создания коллекторов из других коллекторов.
Коллекторы продукта
Если M - m -многообразие, а N - n -многообразие, декартово произведение M × N является ( m + n ) -многообразием при заданной топологии произведения .
Несвязный союз
Несвязное объединение счетного семейства п -многообразий является п -многообразием (кусочки должны все иметь одинаковый размер).
Связанная сумма
Связная сумма два п -многообразий определяются путем удаления открытого шара из каждого коллектора и принимая фактор несвязного объединения получающихся многообразий с краем, с фактором , принятым в отношении гомеоморфизма между граничными сферами снятых шаров . Это приводит к другому n -многообразию.
Подмногообразие
Любое открытое подмножество n -многообразия является n -многообразием с топологией подпространства .
Сноски
Рекомендации
- Голд, ДБ (1974). «Топологические свойства многообразий». Американский математический ежемесячник . Математическая ассоциация Америки. 81 (6): 633–636. DOI : 10.2307 / 2319220 . JSTOR 2319220 .
- Кирби, Робион С .; Зибенманн, Лоуренс К. (1977). Основополагающие очерки топологических многообразий. Сглаживания и триангуляции (PDF) . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08191-3.
- Ли, Джон М. (2000). Введение в топологические многообразия . Тексты для выпускников по математике 202 . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-98759-2.