Пятипредельный тюнинг - Five-limit tuning

5-лимитный Тоннец

Пять предела настройки , 5-предел настройки , или 5-прайм-предел настройки (не следует путать с 5-нечетное предела настройки), является любая система для настройки на музыкальном инструменте , который получает частоту каждой ноты путем умножения частоты данной справочной ноты (базовой ноты) на произведение целых степеней 2, 3 или 5 ( простые числа ограничены до 5 или меньше), например 2 ⁻³ · 3 ¹ · 5 ¹ = 15/8 .

Степени двойки представляют собой интервальные движения по октавам. Степени 3 представляют собой движения интервалом в полные квинты (плюс одна октава, которая может быть удалена умножением на 1/2, т. ^Е. 2 ^-1 ). Степени 5 представляют интервалы основных третей (плюс две октавы, удаляемые умножением на 1/4, т. ^Е. 2 ^-2 ). Таким образом, 5-предельные настройки полностью построены из трех основных чисто настроенных интервалов (октав, третей и квинт). Поскольку восприятие созвучия, кажется, связано с низкими числами в гармоническом ряду, а настройка с 5 предельными значениями зависит от трех самых низких простых чисел, настройка с 5 предельными значениями должна быть способна производить очень согласные гармонии. Следовательно, 5-предельная настройка считается методом получения только интонации .

Количество возможных интервалов, классов высоты тона, высоты тона, ключевых центров, аккордов и модуляций, доступных для 5-предельных строев, не ограничено, потому что никакая (отличная от нуля) степень любого простого числа не равна любой степени любого другого простого числа, поэтому доступные интервалы могут можно представить себе бесконечно продолжающимся в трехмерной решетке (одно измерение или одно направление для каждого простого числа). Если октавы игнорируются, это можно рассматривать как двумерную решетку классов высоты звука (имен нот), неограниченно расширяющуюся в двух направлениях.

Однако большинство систем настройки, разработанных для акустических инструментов, ограничивают общее количество высот по практическим причинам. Также типично (но не всегда) иметь одинаковое количество высот в каждой октаве, представляя октавные транспозиции фиксированного набора классов высоты звука. В этом случае систему настройки можно также рассматривать как повторяющуюся октаву шкалу с определенным количеством высот на октаву.

Частота любого шага в конкретной 5-предельной системе настройки может быть получена умножением частоты фиксированного опорного шага, выбранного для системы настройки (например, A440 , A442, A432, C256 и т. Д.), На некоторую комбинацию мощностей 3 и 5 для определения класса высоты тона и некоторая степень 2 для определения октавы.

Например, если у нас есть 5-предельная система настройки, в которой базовая нота - C256 (это означает, что она имеет 256 циклов в секунду, и мы решили назвать ее C), тогда f _C = 256 Гц, или «частота C равна 256 Гц. . " Есть несколько способов определить E выше этого C. Используя трети, можно подняться на один коэффициент 5 и вниз на два коэффициента 2, достигнув соотношения частот 5/4, или с помощью пятых можно увеличить на четыре раза в 3 и вниз на шесть. коэффициенты 2, достигая 81/64. Частоты становятся:

${\ displaystyle f_ {E} = 5 ^ {1} \ cdot 3 ^ {0} \ cdot 2 ^ {- 2} \ cdot f_ {C} = {5 \ over 4} \ cdot 256 \ \ mathrm {Hz} = 320 \ \ mathrm {Гц}}$

или

${\ displaystyle f_ {E} = 5 ^ {0} \ cdot 3 ^ {4} \ cdot 2 ^ {- 6} \ cdot f_ {C} = {81 \ over 64} \ cdot 256 \ \ mathrm {Hz} = 324 \ \ mathrm {Гц}}$

Диатоническая шкала

Предполагая, что мы ограничиваемся семью классами высоты звука (семь нот на октаву), можно настроить знакомую диатоническую гамму, используя 5-предельную настройку, несколькими способами, каждый из которых делает большинство триад идеально настроенными, согласными и стабильными. насколько возможно, но оставьте некоторые триады в менее устойчивых интервальных конфигурациях.

Выдающиеся ноты данной шкалы настроены так, что их частоты образуют отношения относительно небольших целых чисел. Например, в тональности соль мажор соотношение частот нот G и D ( идеальная квинта ) составляет 3/2, а соотношение G и C составляет 2/3 (нисходящая идеальная квинта) или 4 /. 3 ( идеальная четвертая ) идет вверх, а большая треть от G до B составляет 5/4.

Первичные трезвучия в C Play ( помощь · информация ) . 

Справедливую диатоническую гамму можно получить следующим образом. Представляя тональность до мажор, предположим, что мы настаиваем на том, чтобы субдоминантный корень F и доминантный корень G находились в пятой части (3: 2) от тонического корня C с обеих сторон, и чтобы аккорды FAC, CEG и GBD были просто мажорными. триады (с соотношением частот 4: 5: 6):

Это известно как интенсивная диатоническая гамма Птолемея . Здесь строка с заголовком «Natural» выражает все эти отношения с использованием общего списка натуральных чисел (путем умножения строки выше на 1 см ее знаменателя). Другими словами, наименьшее появление этой формы шкалы в одну октаву в гармоническом ряду - это подмножество 7 из 24 гармоник, обнаруженных в октаве от гармоник с 24 по 48.

Три основные трети верны (5: 4), а три второстепенных трети соответствуют ожиданиям (6: 5), но от D до F - полудитон или второстепенная треть Пифагора (равная трем нисходящим точным квинтам с поправкой на октаву) , синтоническая запятая уже, чем правильно настроенная (6: 5) второстепенная треть.

Как следствие, мы получаем шкалу, в которой EGB и ACE являются всего лишь второстепенными трезвучиями (10:12:15), но триада DFA не имеет второстепенной формы или звука, которых мы могли бы ожидать, будучи (27:32:40) . Более того, триада BDF - это не уменьшенная (25:30:36) триада, которую мы получили бы, сложив две второстепенные трети 6: 5, вместо этого (45:54:64):

Видно, что появляются базовые ступенчатые интервалы шкалы:

• s = 16:15 ( полутон )
• t = 10: 9 ( второстепенный тон )
• Т = 9: 8 ( мажорный тон )

Что может быть объединено для образования больших интервалов (среди прочего):

• Ts = 6: 5 (малая треть)
• Tt = 5: 4 (большая треть)
• Tts = 4: 3 (идеальная четвертая)
• ТТц = 3: 2 (идеальная квинта)
• TTTttss 2: 1 (октава)

Другой способ сделать это следующим образом. Думая в относительной минорной тональности ля минор и используя D, A и E в качестве квинтета, мы можем настаивать на том, чтобы аккорды DFA, ACE и EGB были всего лишь второстепенными трезвучиями (10:12:15):

Если мы сравним это с предыдущей шкалой, мы увидим, что для пяти пар последовательных нот соотношение шагов остается прежним, но в одной ноте, D, шаги CD и DE поменяли свое соотношение.

Три основные трети по-прежнему равны 5: 4, а три из второстепенных третей по-прежнему 6: 5, а четвертая - 32:27, за исключением того, что теперь это BD вместо DF, которое составляет 32:27. FAC и CEG по-прежнему образуют только основные триады (4: 5: 6), но GBD сейчас (108: 135: 160), а BDF сейчас (135: 160: 192).

Есть и другие возможности, такие как повышение A вместо понижения D, но каждая корректировка нарушает что-то еще.

Очевидно, невозможно получить все семь диатонических трезвучий в конфигурации (4: 5: 6) для мажора, (10:12:15) для минора и (25:30:36) для уменьшенного одновременно, если мы ограничиться семью веревками.

Это демонстрирует необходимость увеличения количества высот для гармоничного исполнения желаемых гармоний.

Двенадцатитоновая шкала

Чтобы построить двенадцатитональную шкалу в 5-предельной настройке, мы начнем с построения таблицы, содержащей пятнадцать правильно интонированных высот:

Коэффициенты, перечисленные в первой строке и первом столбце, являются степенями 3 и 5 соответственно (например, 1 ⁄ 9 = 3 ⁻² ). Цвета обозначают пары энгармонических нот с почти одинаковой высотой. Все отношения выражены относительно C в центре этой диаграммы (базовая нота для этой шкалы). Они вычисляются в два этапа:

1. Для каждой ячейки таблицы базовое соотношение получается путем умножения соответствующих коэффициентов. Например, базовое соотношение для левой нижней ячейки составляет 1/9 · 1/5 = 1/45.
2. Затем базовое отношение умножается на отрицательную или положительную степень 2, настолько большую, насколько это необходимо, чтобы привести его в диапазон октавы, начиная с C (от 1/1 до 2/1). Например, базовое соотношение для нижней левой ячейки (1/45) умножается на 2 ⁶ , и в результате получается соотношение 64/45, что является числом от 1/1 до 2/1.

Обратите внимание, что степени двойки, используемые на втором этапе, можно интерпретировать как возрастающие или убывающие октавы . Например, умножение частоты ноты на ^2-6 означает увеличение ее на 6 октав. Более того, каждая строка таблицы может рассматриваться как последовательность пятых частей (восходящая вправо), а каждый столбец - последовательность главных третей (восходящая вверх). Например, в первой строке таблицы есть восходящая квинта от D и A, а другая (с последующей нисходящей октавой) от A до E. Это предлагает альтернативный, но эквивалентный метод вычисления тех же соотношений. Например, вы можете получить A (соотношение 5/3), начиная с C, переместив одну ячейку влево и одну вверх в таблице, что означает уменьшение на одну пятую (2/3) и увеличение на одну большую треть ( 5/4):

${\ displaystyle {1 \ over 1} \ cdot {2 \ over 3} \ cdot {5 \ over 4} = {10 \ over 12} = {5 \ over 6}.}$

Поскольку это значение ниже C, вам нужно подняться на октаву, чтобы попасть в желаемый диапазон соотношений (от 1/1 до 2/1):

${\ displaystyle {5 \ over 6} \ cdot {2 \ over 1} = {10 \ over 6} = {5 \ over 3}.}$

12-тональная шкала получается удалением одной ноты для каждой пары энгармонических нот. Это может быть сделано , по крайней мере , три способами, которые имеют в общем удаление G ♭ , согласно конвенции действительной , даже для С на основе пифагорейского и 1/4-запятой Медиантных масштабов. Обратите внимание на то, что это уменьшенная квинта , примерно на половину октавы, над тоникой C, которая представляет собой дисгармонический интервал; также его соотношение имеет наибольшие значения в числителе и знаменателе всех тонов шкалы, что делает его наименее гармоничным: все причины, по которым его следует избегать.
Первая стратегия, которую мы здесь условно обозначим как симметричная шкала 1 , состоит в выборе для удаления тонов в верхнем левом и нижнем правом углах таблицы. Вторая, обозначенная как симметричная шкала 2 , заключается в отбрасывании нот в первой и последней ячейке второй строки (обозначенной « 1 »). Третий, обозначенный как асимметричная шкала , состоит из отбрасывания первого столбца (помеченного « 1/9 »). Полученные 12-тональные шкалы показаны ниже:

В первом и втором масштабе B ♭ и D - это точная инверсия друг друга. Это не относится к третьему. Это причина того, что эти две шкалы считаются симметричными (хотя удаление G ♭ делает все 12 тональных шкал, в том числе произведенные с помощью любой другой системы настройки, слегка асимметричными).

Асимметричная система имеет преимущество в том, что она имеет «наиболее правильные» соотношения (те, которые содержат меньшие числа), девять чистых пятых (фактор 3/2), восемь чистых основных третей (фактор 5/4) по дизайну, но также шесть чистых второстепенных третей ( фактор 6/5). Однако он также содержит две нечистые пятые (например, от D до A составляет 40/27, а не 3/2) и три нечистых второстепенных трети (например, от D до F составляет 32/27, а не 6/5), что практически ограничивает модуляцию. к узкому кругу клавиш. Аккорды тоники C, доминанты G и субдоминанты F чисты, так же как D ♭ , A ♭ , E ♭ и минорные аккорды Fm, Cm, Gm, Am, Bm и Em, но не Dm.

Недостатком асимметричной системы является то, что она дает 14 волчьих интервалов, а не 12, как для симметричных.

B ♭ в первой симметричной шкале отличается от B ♭ в других гаммах синтонной запятой и составляет более 21 цента. В одинаково темперированных гаммах разница устраняется за счет того, что все ступени имеют одинаковое соотношение частот.

Коэффициенты, полученные с помощью настройки с пятью предельными значениями, построены из множителей 2/1 (белый), 3/2 (голубой) и 5/4 (темно-синий).

Асимметричная шкала, построенная путем суммирования частотных факторов 2/1 (синий), 3/2 (зеленый) и 5/4 (коричневый) в логарифмической шкале.

Построение асимметричной шкалы графически показано на рисунке. Каждый блок имеет высоту в центах конструктивных соотношений частот 2/1, 3/2 и 5/4. Можно распознать повторяющиеся шаблоны. Например, много раз следующая нота создается путем замены блока 5/4 и блока 3/2 на блок 2/1, что соответствует соотношению 16/15.

Для аналогичного изображения, построенного с использованием частотных факторов 2, 3 и 5, а не 2/1, 3/2 и 5/4, см. Здесь .

Справедливые соотношения

Справедливые соотношения, используемые для построения этих шкал, можно использовать в качестве эталона для оценки согласованности интервалов в других шкалах (например, см. Эту сравнительную таблицу ). Однако 5-предельная настройка - не единственный способ добиться только интонации . Можно построить просто интервалы с даже более «ровными» соотношениями или, наоборот, со значениями, более близкими к равнозначным эквивалентам. Например, 7-предел настройки иногда используется , чтобы получить слегка Juster и , следовательно , более согласного интервал для малой седьмой (7/4) и его инверсии, основной секунду (8/7). Список этих эталонных соотношений, которые могут называться чистыми или строго простыми интервалами или соотношениями, приведен ниже:

Ячейки, выделенные желтым цветом, указывают интервалы, которые больше, чем в неокрашенных ячейках в той же строке. Те, которые выделены голубым цветом, указывают на даже более низкие соотношения.

Обратите внимание, что отношения 45/32 и 64/45 для тритонов (усиленный четвертый и уменьшенный пятый) не во всех контекстах рассматриваются как строго справедливые, но они являются максимально возможными в вышеупомянутых 5-предельных шкалах настройки. Расширенная асимметричная 5-предельная шкала (см. Ниже) обеспечивает несколько более точные соотношения для обоих тритонов (25/18 и 36/25), чистота которых также вызывает споры. 7-предельная настройка допускает максимально возможные соотношения, а именно 7/5 (около 582,512 центов, также известный как семеричный тритон ) и 10/7 (около 617,488 центов). Эти соотношения более согласны, чем 17/12 (около 603000 центов) и 24/17 (около 597000 центов), которые могут быть получены при настройке с 17 предельными значениями, но последние также довольно распространены, поскольку они ближе к равному - умеренная стоимость 600 000 центов.

Вышеупомянутый интервал 7/4 (около 968 826 центов), также известный как семеричная минорная седьмая или гармоническая седьмая, был спорным вопросом на протяжении всей истории теории музыки; это на 31 цент более плоский, чем уравновешенный минорный седьмой.

Размер интервалов

В приведенных выше таблицах показаны только отношения частот каждого тона к основной ноте C. Однако интервалы могут быть сформированы, начиная с каждой из двенадцати нот. Таким образом, для каждого типа интервала можно определить двенадцать интервалов (двенадцать унисонов, двенадцать полутонов , двенадцать интервалов, состоящих из двух полутонов, двенадцать интервалов, состоящих из трех полутонов, и т. Д.).

Частотное отношение 144 интервалов в 12-тональной 5-предельной настройке (асимметричная шкала; симметричную шкалу 1 см. Здесь ). Названия интервалов даются в их стандартной сокращенной форме. Чистые интервалы (как определено выше) выделены жирным шрифтом.

Приблизительный размер в центах 144 интервалов в 12-тональной 5-предельной настройке (асимметричная шкала; симметричную шкалу 1 см. Здесь ). Названия интервалов даются в их стандартной сокращенной форме. Чистые интервалы (как определено выше) выделены жирным шрифтом.

В 5-предельной настройке каждый из типов интервалов, за исключением унисонов и октав, имеет три или даже четыре разных размера. Это цена, уплаченная за поиск интонации. В таблицах справа и ниже показаны их соотношения частот и их приблизительные размеры в центах для «асимметричной шкалы». Подобные таблицы для «симметричной шкалы 1» публикуются здесь и здесь . Названия интервалов даются в их стандартной сокращенной форме. Например, размер в интервале от С до G, который является идеальной пятой ( Р5 ), можно найти в седьмом столбце строки меченой С . Чистые интервалы, как определено выше, показаны жирным шрифтом (обратите внимание, что, как объяснялось выше, справедливо интонированное соотношение 45/32 ≈ 590 центов для формата A4 не считается чистым).

Цветовой код выделяет интервалы, которые отклоняются от эталонных размеров в таблице построения, и показывает величину их отклонения. Интервалы волков отмечены черным.

Причина, по которой размеры интервалов варьируются по шкале, заключается в том, что шаги, образующие шкалу, расположены неравномерно. А именно, частоты, определенные конструкцией для двенадцати нот, определяют четыре разных полутона (т. Е. Интервалы между соседними нотами). Например:

• ${\ Displaystyle S_ {1} = {{5 \ более 4} \ div {6 \ более 5}} = {25 \ более 24} \ приблизительно 70,672 \ {\ hbox {центов}}}$
  ("Просто" усиленный унисон между E ♭ и E)
• ${\ displaystyle S_ {2} = {{9 \ более 8} \ div {16 \ более 15}} = {135 \ более 128} \ приблизительно 92,179 \ {\ hbox {центов}}}$
  (Увеличенный унисон между D ♭ и D)
• ${\ displaystyle S_ {3} = {16 \ более 15} \ около 111,731 \ {\ hbox {центов}}}$
  ("Просто" второстепенная секунда между C и D ♭ )
• ${\ Displaystyle S_ {4} = {{9 \ более 5} \ div {5 \ более 3}} = {27 \ более 25} \ приблизительно 133,238 \ {\ hbox {центов}}}$
  (Незначительная секунда между A и B ♭ )

И наоборот, в хроматической гамме с одинаковым темперированием , по определению, двенадцать шагов расположены на равном расстоянии друг от друга, причем все полутоны имеют размер точно равный.

• ${\ displaystyle S_ {E} = {\ sqrt [{12}] {2}} = 100 000 \ {\ hbox {центов}}.}$

Как следствие, все интервалы любого данного типа имеют одинаковый размер (например, все основные трети имеют одинаковый размер, все квинты имеют одинаковый размер и т. Д.). Плата за это в данном случае состоит в том, что ни один из них не настроен должным образом и не созвучен, за исключением, конечно, унисона и октавы.

Обратите внимание, что 5-предельная настройка была разработана для максимального увеличения количества чистых интервалов, но даже в этой системе несколько интервалов заметно нечисты (например, как показано на рисунках, 60 из 144 интервалов отклоняются по крайней мере на 19,6 цента от справедливого интонированные эталонные размеры, указанные в строительной таблице). Кроме того, 5-предельная настройка дает гораздо большее количество волчьих интервалов по сравнению с настройкой Пифагора , которую можно рассматривать как 3-предельную настройку только по интонации. А именно, в то время как пифагорейская настройка определяет только 2 волчьих интервала (пятую и четвертую), симметричная шкала с 5 границами дает 12 из них, а асимметричная шкала 14. Также важно отметить, что две пятых, три второстепенные трети, и три основных шестых, отмеченных оранжевым в таблицах (соотношение 40/27, 32/27 и 27/16 (или G−, E ♭ - и A +), даже если они не полностью соответствуют условиям, чтобы быть волчьими интервалами. , отклоняются от соответствующего чистого соотношения на величину (1 синтоническая запятая , т. е. 81/80, или около 21,5 цента), достаточно большую, чтобы явно восприниматься как диссонирующая .

Ясно, что чем больше мы пытаемся увеличить количество чистых и согласных интервалов, тем больше остаются нечистые и диссонирующие в результате компенсации. Некоторые из основных секунд (M2) и второстепенных седьмых (m7) представляют собой единственное исключение из этого правила. Как вы можете видеть в таблицах, те, которые отмечены оранжевым цветом, являются чистыми (10/9 и 16/9), даже если их размер на 81/80 уже, чем соответствующий контрольный размер (9/8 и 9/5).

Для сравнения с другими системами настройки см. Также эту таблицу .

Запятые

В других системах настройки запятая может быть определена как минутный интервал, равный разнице между двумя видами полутонов (диатоническим и хроматическим, также известным как минорная секунда, m2 , или увеличенный унисон, A1 ). В этом случае, однако, создаются 4 разных типа полутонов (два A1, S ₁ и S ₂ и два m2, S ₃ и S ₄ ), и 12 разных запятых могут быть определены как разница между их размерами в центах, или, что то же самое, соотношения между их соотношениями. Среди них мы выбираем шесть восходящих (с соотношением больше 1/1 и положительным размером в центах):

Имя запятой	Эквивалентные определения		Размер
	В смысле один темперамент	В 5-предельной настройке (асимметричная шкала)	Соотношение	Центов
Диашизма ( ДС )	${\ displaystyle {m2 \ over A1}}$ в 1/6 запятой означает один	${\ displaystyle {S_ {3} \ over S_ {2}} = {{16 \ over 15} \ div {135 \ over 128}}}$	${\ displaystyle {2048 \ более 2025}}$	${\ displaystyle 19.6 ~}$
Синтоническая запятая ( SC )	${\ displaystyle {{LD} \ over {DS}} = {{GD} \ over {LD}}}$	${\ displaystyle {S_ {2} \ over S_ {1}} = {{135 \ over 128} \ div {25 \ over 24}}}$	${\ displaystyle {81 \ более 80}}$	${\ displaystyle 21.5 ~}$
		${\ displaystyle {S_ {4} \ over S_ {3}} = {{27 \ over 25} \ div {16 \ over 15}}}$
Малый дизис ( LD )	${\ displaystyle {m2 \ over A1}}$ в 1/4 запятой означает один	${\ displaystyle {S_ {3} \ over S_ {1}} = {{16 \ over 15} \ div {25 \ over 24}}}$	${\ displaystyle {128 \ over 125}}$	${\ displaystyle 41.1 ~}$
		${\ displaystyle {S_ {4} \ over S_ {2}} = {{27 \ over 25} \ div {135 \ over 128}}}$
Большой дизис ( GD )	${\ displaystyle {m2 \ over A1}}$ в 1/3 запятой означает один	${\ displaystyle {S_ {4} \ over S_ {1}} = {{27 \ over 25} \ div {25 \ over 24}}}$	${\ displaystyle {648 \ over 625}}$	${\ displaystyle 62.6 ~}$

Остальные шесть соотношений отбрасываются, потому что они прямо противоположны этим, и, следовательно, они имеют точно такую ​​же длину, но противоположное направление (т. Е. Нисходящее направление, отношение меньше 1/1 и отрицательный размер в центах). . Мы получаем запятые четырех разных размеров: диашизму, малый диэзис, синтоническую запятую и большую диэзис. Поскольку S ₁ ( просто A1 ) и S ₃ ( просто m2 ) являются наиболее часто встречающимися полутонами в этой 12-тональной шкале (см. Таблицы выше), меньший диэзис, определяемый как соотношение между ними, является наиболее часто встречающимся. наблюдается запятая.

Синтоническая запятая также определяется в 5-предельной настройке как соотношение между основным тоном (M2 с размером 9/8) и второстепенным тоном (M2 с размером 10/9). Обратите внимание, что в других системах настройки его нельзя определить как соотношение между диатоническим и хроматическим полутонами (m2 / A1), но это важное эталонное значение, используемое для настройки идеальной квинты в любой системе настройки в континууме синтонической темперации (включая также имел ввиду один темперамент).

Уменьшенные секунды

Три из вышеупомянутых запятых, а именно диасхизма, диэзис и большой диэзис, соответствуют определению уменьшенной секунды , являясь разницей между размерами в центах диатонического и хроматического полутона (или, что эквивалентно, соотношением между их частотой соотношения).

Напротив, синтоническая запятая определяется либо как разница в центах между двумя хроматическими полутонами (S ₂ и S ₁ ), либо между двумя диатоническими полутонами (S ₄ и S ₃ ), и не может считаться уменьшенной секундой.

Расширение двенадцатитонной шкалы

В приведенной выше таблице для построения базовых соотношений используются только малые степени 3 и 5. Однако его можно легко расширить, используя более высокие положительные и отрицательные степени одних и тех же чисел, например 5 ² = 25, 5 ⁻² = 1/25, 3 ³ = 27 или 3 ⁻³ = 1/27. Масштаб с 25, 35 или даже большим шагом может быть получен путем комбинирования этих основных соотношений.

Например, можно получить 35 шагов, добавляя ряды в каждом направлении следующим образом:

Фактор		1/9	1/3	1	3	9
125	банкноты соотношение центов	A ♯ 125/72 955,0	E ♯ 125/96 457,0	В ♯ 125/64 1158,9	F + 375/256 660,9	К + 1125/1024 162,9
25	банкноты соотношение центов	F ♯ 25/18 568,7	С ♯ 25/24 70,7	G ♯ 25/16 772,6	D ♯ 75/64 274,6	A ♯ + 225/128 976,5
5	банкноты соотношение центов	D− 10/9 182,4	А 5/3 884,4	E 5/4 386.3	В 15/8 1088,3	F ♯ + 45/32 590,2
1	банкноты соотношение центов	B ♭ - 16/9 996,1	Ф 4/3 498,0	С 1/1 0,0	G 3/2 702,0	Д 9/8 203,9
1/5	банкноты соотношение центов	G ♭ - 64/45 609,8	Д ♭ - 16/15 111,7	A ♭ 8/5 813,7	E ♭ 6/5 315,6	B ♭ 9/5 1017,6
1/25	банкноты соотношение центов	E - 256/225 223,5	В - 128/75 925,4	F ♭ 32/25 427,4	С ♭ 48/25 1129,3	G ♭ 36/25 631,3
1/125	банкноты соотношение центов	С - 2048/1125 1037,1	G - 512/375 539,1	Д - 128/125 41,1	А 192/125 743,0	E 144/125 245.0

Левый столбец ( 1/9 ) иногда удаляется (как в показанной выше асимметричной шкале), создавая таким образом асимметричную таблицу с меньшим количеством шагов. Обратите внимание , что отношение справедливее производится для уменьшенного пятой (CG ♭ = 36/25), в отношении ограниченного 5-предела настройки описано выше (где С к G ♭ - = 64/45).

История

В пифагорейской настройке, возможно, первой системе настройки, теоретизированной на Западе, единственными высоко согласными интервалами были идеальная квинта и ее инверсия, идеальная четвертая . Пифагор основных третьих (81:64) и второстепенный третьи (32:27) были диссонансом , и это не позволяло музыкантам использовать триады и аккорды , заставляя их на протяжении многих веков , чтобы писать музыку с относительно простой структуры . В позднем средневековье музыканты осознали, что, слегка смягчив высоту некоторых нот, пифагорейские трети можно сделать согласными . Например, если вы уменьшите синтоническую запятую (81:80), частота E, CE (большая треть) и EG (второстепенная треть) станет равной. А именно, СЕ сужается до справедливо интонированного соотношения

${\ displaystyle {81 \ over 64} \ cdot {80 \ over 81} = {{1 \ cdot 5} \ over {4 \ cdot 1}} = {5 \ over 4}}$

и в то же время EG расширяется до справедливого соотношения

${\ Displaystyle {32 \ более 27} \ cdot {81 \ более 80} = {{2 \ cdot 3} \ более {1 \ cdot 5}} = {6 \ более 5}}$

Недостатком является то, что квинта AE и EB, сглаживая E, становятся почти такими же диссонирующими, как пифагорейская квинта волка . Но пятая CG остается согласной, поскольку уплощена только E (CE * EG = 5/4 * 6/5 = 3/2), и ее можно использовать вместе с CE для создания мажорного трезвучия до (CEG).

Обобщая это простое объяснение, Джозеффо Зарлино в конце шестнадцатого века создал первую 7-тональную ( диатоническую ) гамму с правильной интонацией , которая содержала чистые совершенные квинты (3: 2), чистые мажорные трети и чистые минорные трети:

F → A → C → E → G → B → D

Это последовательность только основных третей (M3, соотношение 5: 4) и только малых третей (m3, соотношение 6: 5), начиная с F:

F + M3 + m3 + M3 + m3 + M3 + m3

Поскольку M3 + m3 = P5 (идеальная квинта), то есть 5/4 * 6/5 = 3/2, это в точности эквивалентно диатонической шкале, полученной в 5-предельной интонации, и, следовательно, может рассматриваться как подмножество таблица построения, используемая для 12-тональной ( хроматической ) шкалы:

где обе строки представляют собой последовательности только пятых, а FA, CE, GB - только основные трети:

Смотрите также

• Математика музыкальных гамм
• Микротональная музыка
• Микротюнер
• Пифагоров интервал
• Полутон
• Список интервалов в 5-предельной интонации
• Список подразумеваемых интервалов
• Список музыкальных интервалов
• Список интервалов высоты тона
• Целостная шкала
• Обычный номер
• Hexany
• Электронный тюнер
• Созвучие и диссонанс

Примечания

внешние ссылки

• Искусство Штатов: микротональные / просто интонационные произведения с использованием только интонации американских композиторов
• Фонд Хризалис - Просто интонация: два определения
• Гитара 21 Tone Just Intonation Данте Розати
• Просто Интонация от Марка Nowitzky
• Просто Интонация Разъяснения по Kyle Ганна
• Подборка произведений Just Intonation, отредактированных веб- сайтом Just Intonation Network, опубликованная в архиве проекта Tellus Audio Cassette Magazine на сайте Ubuweb
• Фонд средневековой музыки и искусства
• Музыка Новаторы - Просто интонация
• Почему Just Intonation так хорошо звучит?
• Архивы Уилсона
• Барбьери, Патрицио. Энгармонические инструменты и музыка, 1470–1900 гг . (2008) Латина, Леванте
• Программное обеспечение для клавиатуры 22 Note Just Intonation с 12 звуками индийских инструментов Libreria Editrice
• Plainsound Music Edition - музыка и исследования JI, информация о Pitch Notation Гельмгольца-Эллиса