Четверть запятой означает один - Quarter-comma meantone

Четверть-запятая означала один или 1 / 4- запятая - один , была наиболее распространенной средой для темперамента в шестнадцатом и семнадцатом веках и иногда использовалась позже. В этой системе идеальная квинта сглаживается на четверть синтонической запятой ( 81:80) по сравнению с ее интонацией, используемой в пифагорейской настройке ( соотношение частот 3: 2); результат3/2 × (80/81 год) 14 = 45 ≈ 1,49535, или пятая часть от 696,578 центов . (12-я степень этого значения равна 125, тогда как 7 октав - 128, и поэтому меньше 41,059 цента.) Эта квинта затем повторяется для создания диатонической гаммы и других нот темперации. Цель состоит в том, чтобы получить правильно интонированные мажорные трети (с соотношением частот 5: 4 ). Его описал Пьетро Арон в своей « Тосканелло де ла Musica» 1523 года, сказав, что основные трети должны быть настроены так, чтобы быть «звучными и справедливыми, как можно более объединенными». Более поздние теоретики Джозеффо Зарлино и Франсиско де Салинас описали настройку с математической точностью.

Строительство

В настройке среднего тона у нас есть разные хроматические и диатонические полутоны ; хроматический полутон - это разница между C и C , а диатонический полутон - это разница между C и D . В настройках Пифагора, диатонический полутон часто называют Пифагор limma и хроматическим полутон Пифагор apotome , но в настройке пифагорейской apotome больше, тогда как в 1 / 4 -comma Медиантного limma больше. Другими словами, в настройке Пифагора мы имеем, что C выше, чем D , тогда как в 14- запятая означает, что у нас C ниже, чем D .

В любом означенном или пифагоровом строе весь тон состоит из одного полутона каждого вида, мажорная треть - это два целых тона и, следовательно, состоит из двух полутонов каждого вида, идеальная квинта среднего тона содержит четыре диатонических и три хроматических полутона, и октава семь диатонических и пять хроматического полутона, то отсюда следует , что:

  • Пять пятых вниз и три октавы вверх составляют диатонический полутон, так что пифагорейская лимма смягчается до диатонического полутона.
  • Две пятых вверх и одна октава вниз составляют единый тон, состоящий из одного диатонического и одного хроматического полутонов.
  • Четыре пятых вверх и две октавы вниз составляют мажорную треть, состоящую из двух диатонических и двух хроматических полутонов, или, другими словами, двух целых тонов.

Таким образом, в пифагорейской настройке, где последовательности только квинт ( соотношение частот 3: 2) и октав используются для создания других интервалов, весь тон

и большая треть

разница в синтонической запятой ,81 год/80.

Интервал семнадцатого, состоящий из шестнадцати диатонических и хроматических двенадцати полутонов, такие как интервал от D 4 до F 6 , может быть эквивалентно получен с использованием либо

  • стопка из четырех пятых (например, D 4 –A 4 –E 5 –B 5 –F 6 ), или
  • стек из двух октав и одной большой трети (например, D 4 –D 5 –D 6 –F 6 ).

Этот большой интервал семнадцатого содержит 5 + (5 - 1) + (5 - 1) + (5 - 1) = 20 - 3 = 17 штатных позиций . В настройке Пифагора размер семнадцатой определяется с использованием стека из четырех точно настроенных квинт (соотношение частот 3: 2):

В четверть запятой означает одну темперацию, где требуется только мажорная треть (5: 4), чуть более узкая семнадцатая получается сложением двух октав и мажорной трети:

По определению, однако, семнадцатая одного и того же размера (5: 1) должна быть получена, даже с четвертью запятой, означающей один, путем сложения четырех пятых. Поскольку правильно настроенные квинты, такие как те, что используются в пифагорейской настройке, дают немного более широкую семнадцатую, четвертая запятая означает, что одна квинта должна быть слегка сглажена, чтобы соответствовать этому требованию. Допустим, что x будет отношением частот сглаженной пятой части, и желательно, чтобы четыре пятых имели отношение 5: 1,

что означает, что пятая часть

весь тон, построенный перемещением двух пятых вверх и одной октавы вниз,

и диатонический полутон, построенный перемещением трех октав вверх и пяти пятых вниз, является

Обратите внимание, что в четверть запятой означает один, семнадцатая - это 81 год/80раз уже, чем в пифагорейском тюнинге. Эта разница в размере, равной приблизительно 21,506 центов , называется синтонной запятой . Это означает, что пятая часть на четверть синтонической запятой уже, чем правильно настроенная пифагорейская пятая часть. А именно эта система настраивает квинт в соотношении

который выражается в логарифмической шкале центов как

что немного меньше (или ровнее), чем соотношение правильно настроенной квинты:

который выражается в логарифмической шкале центов как

Разница между этими двумя размерами составляет четверть синтонической запятой:

В общем, эта система настраивает основные трети к просто соотношении 5: 4 (так, например, если А 4 настроен на 440  Гц , С 5 настроен на 550 Гц), большинство из целых тонов (а именно мажорные секунды ) в соотношении 5 : 2, а большинство полутонов (а именно диатонические полутоны или второстепенные секунды ) в соотношении (8: 5) 54 . Это достигается настройкой семнадцатой на синтоническую запятую более плоской, чем пифагорейскую семнадцатую, что подразумевает настройку пятой части на четверть синтонической запятой более плоской, чем справедливое соотношение 3: 2. Это то, что дает системе название, в котором четверть запятой означает один .

12-тональная шкала

Вся хроматическая гамма (подмножеством которой является диатоническая гамма) может быть построена, начиная с данной базовой ноты и увеличивая или уменьшая ее частоту на одну или более пятых. Этот метод идентичен настройке Пифагора, за исключением размера пятой части, которая имеет темперирование, как описано выше. В приведенной ниже таблице построения показано, как высота нот получается относительно D ( базовой ноты ) в масштабе на основе D (см. Настройку Пифагора для более подробного объяснения).

Для каждой ноты в основной октаве таблица предоставляет условное название интервала от D (базовая нота), формула для вычисления его соотношения частот и приблизительные значения его соотношения частот и размера в центах.

Примечание Интервал от D Формула Freq.
соотношение
Размер
(центы)
Размер ( 31-ET )
А уменьшенная пятая 1,4311 620,5 16.03
E второстепенная секунда 1.0700 117,1 3,03
B второстепенный шестой 1,6000 813,7 21.02
F второстепенная треть 1,1963 310,3 8,02
C второстепенный седьмой 1,7889 1006,8 26.01
грамм идеальный четвертый 1,3375 503,4 13.00
D унисон 1,0000 0,0 0,00
А идеальный пятый 1,4953 696,6 18.00
E основная секунда 1,1180 193,2 4,99
B основной шестой 1,6719 889,7 22,98
F основная треть 1,2500 386,3 9,98
C мажорный седьмой 1,8692 1082,9 27,97
G дополненный четвертый 1,3975 579,5 14,97

В формулах x = 45 = 5 14 - это размер темперированной совершенной квинты, а отношения x : 1 или 1: x представляют восходящую или нисходящую темперированную идеальную квинту (т. Е. Увеличение или уменьшение частоты на x ), а 2: 1 или 1: 2 представляют восходящую или нисходящую октаву.

Как и в пифагорейской настройке, этот метод генерирует 13 высот с разделением A и G почти на четверть тона. Чтобы построить 12-тональную шкалу , обычно отбрасывают A .

Таблицы построения на основе C

В приведенной выше таблице показан набор квинт на основе D (т. Е. Стопка, в которой все отношения выражены относительно D, а D имеет отношение 1/1). Поскольку он центрирован в D, базовой ноте, эту стопку можно назвать симметричной на основе D :

A –E –B –F – C – G– D –A – E – B – F –C –G

С идеальной пятой, взятой как 45 , концы этой шкалы разнесены по частотам на 125, что приводит к разрыву125/128(около двух пятых полутона) между его концами, если они нормированы на одну и ту же октаву. Если последний шаг (здесь G ) заменить копией A ♭, но в той же октаве, что и G , это увеличит интервал C –G до диссонанса, называемого волчьей пятой .

За исключением размера пятого, он идентичен стеку, традиционно используемому в пифагорейской настройке . Некоторые авторы предпочитают показывать стопку квинт на основе C в диапазоне от A до G . Поскольку C не находится в центре, этот стек называется асимметричным на основе C :

A –E –B –F– C –G – D – A – E – B – F –C –G

Поскольку границы этого стека (A и G ) идентичны границам симметричного стека на основе D, названия нот 12-ти тональной шкалы, производимой этим стеком, также идентичны. Единственное отличие состоит в том, что в таблице построения показаны интервалы от C, а не от D. Обратите внимание, что 144 интервала могут быть сформированы из 12-тональной шкалы (см. Таблицу ниже), которая включает интервалы от C, D и любой другой ноты. Однако в таблице построения показано только 12 из них, в данном случае начинающиеся с C. Это одновременно и главное преимущество, и главный недостаток асимметричного стека на основе C, поскольку обычно используются интервалы от C, но поскольку C не находится в центре этой стопки, они, к сожалению, включают увеличенную пятую часть (то есть интервал от C до G ) вместо второстепенной шестой (от C до A ). Эта увеличенная квинта представляет собой чрезвычайно диссонирующий волчий интервал , поскольку он отклоняется на 41,1 цента ( диесис отношения 128: 125, почти вдвое больше синтонной запятой ) от соответствующего чистого интервала 8: 5 или 813,7 цента.

Напротив, интервалы от D приведены в таблице выше, поскольку D находится в центре стеки, не включают в себя волчьи интервалы и включают чистую незначительную шестой (от D до B ), вместо того , чтобы нечистый дополненного пятый. Обратите внимание, что в вышеупомянутом наборе из 144 интервалов чистые второстепенные шестые доли наблюдаются чаще, чем нечистые увеличенные квинты (см. Таблицу ниже), и это одна из причин, по которой нежелательно показывать нечистую увеличенную квинту в таблице построения. . Также можно использовать симметричный стек на основе C , чтобы избежать вышеупомянутого недостатка:

G –D –A –E –B –F– C –G – D – A – E – B – F

В этом стеке G и F имеют одинаковую частоту, и G обычно отбрасывается. Кроме того, нота между C и D называется D ♭, а не C , а нота между G и A называется A ♭, а не G . С-симметричной основе стека редко используется, возможно , потому , что она производит волка пятой в необычном положении F -D вместо G -E , где музыканты с помощью настройки Пифагора ожидаемой его).

Четверть-запятая с правильной интонацией означала один

Только интонация версия Четверти запятая Медиантного темперамента может быть сконструирована таким же образом , как Кирнбергер «s рациональной версия от 12-ТЕТ . Значение 5 18  · 35 13 очень близко к 4, поэтому 7-предельный интервал 6144: 6125 (что является разницей между 5-предельным diesis 128: 125 и septimal diesis 49:48. ), равное 5,362 цента, оказывается очень близко к четверти запятой (81 год/80) 14 от 5,377 центов. Таким образом, идеальная квинта имеет соотношение 6125: 4096, что является разницей между тремя основными третями и двумя семеричными основными секундами ; четыре таких пятых превышают соотношение 5: 1 на крошечный интервал 0,058 цента. Волк пятый , как представляется, 49:32, разница между семеричной малым седьмым и семеричной основной секундой .

Большой и малый полутоны

Как уже говорилось выше, четверть запятой означала один темперамент,

  • соотношение полутона S = 8: 5 54 ,
  • соотношение тона T = 5 : 2.

Тона диатонической гаммы можно разделить на пары полутонов. Однако, поскольку S 2 не равно T , каждый тон должен состоять из пары неравных полутонов, S и X :

Следовательно,

Обратите внимание, что S составляет 117,1 цента, а X - 76,0 цента. Таким образом, S - это больший полутон, а X - меньший. S обычно называют диатоническим полутоном (или второстепенной секундой ), а X - хроматическим полутоном (или увеличенным унисоном ).

Размеры S и X можно сравнить с только что интонированным соотношением 18:17, которое составляет 99,0 центов. S отклоняется от него на +18,2 цента, а X - на -22,9 цента. Эти два отклонения сопоставимы с синтонической запятой (21,5 цента), которую эта система предназначена для отключения от пифагорейской мажорной трети. Однако, поскольку даже интонированное соотношение 18:17 звучит явно диссонансно, эти отклонения в полутоне считаются допустимыми.

В четвертной запятой, означающей единицу, второстепенная секунда считается приемлемой, в то время как усиленный унисон звучит диссонансно, и его следует избегать.

Размер интервалов

В приведенной выше таблице показаны только интервалы от D. Однако интервалы могут быть сформированы, начиная с каждой из перечисленных выше 12 нот. Таким образом, для каждого типа интервала можно определить двенадцать интервалов (двенадцать унисонов, двенадцать полутонов , двенадцать интервалов, состоящих из двух полутонов, двенадцать интервалов, состоящих из трех полутонов, и т. Д.).

Как объяснялось выше, одна из двенадцати пятых ( пятая волчья ) имеет другой размер по сравнению с другими одиннадцатью. По той же причине каждый из других типов интервалов, за исключением унисонов и октав, имеет два разных размера в четвертной запятой, означающей один. Это цена, уплаченная за поиск интонации . В таблице ниже указан их приблизительный размер в центах. Названия интервалов даются в их стандартной сокращенной форме. Например, размер интервала от D к A, которая является идеальной пятой (Р5), можно найти в седьмом столбце строк помечена D . Полужирным шрифтом выделены строго определенные (или чистые ) интервалы . Интервалы волка выделены красным.

Приблизительный размер в центах 144 интервалов в четвертной запятой на основе D означает одну настройку. Названия интервалов даются в их стандартной сокращенной форме. Чистые интервалы выделены жирным шрифтом. Интервалы волка выделены красным.

Удивительно, но хотя эта система настройки была разработана для получения чистых мажорных третей, только восемь из них являются чистыми (5: 4 или около 386,3 цента).

Причина, по которой размеры интервалов варьируются по шкале, заключается в том, что шаги, образующие шкалу, расположены неравномерно. А именно, как упоминалось выше, частоты, определенные конструкцией для двенадцати нот, определяют два разных типа полутонов (то есть интервалы между соседними нотами):

  • Минорная секунда (m2), также называемая диатоническим полутоном, с размером
(например, между D и E )
  • Расширенный унисон (A1), также называемый хроматическим полутоном, с размером
(например, между C и C )

И наоборот, в хроматической гамме с одинаковым темперированием , по определению, двенадцать шагов расположены на равном расстоянии друг от друга, причем все полутоны имеют размер ровно

Как следствие, все интервалы любого данного типа имеют одинаковый размер (например, все основные трети имеют одинаковый размер, все квинты имеют одинаковый размер и т. Д.). Плата за это в данном случае состоит в том, что ни один из них не настроен должным образом и не созвучен, за исключением, конечно, унисона и октавы.

Для сравнения с другими системами настройки см. Также эту таблицу .

По определению четверть запятой означала, что одиннадцать полных пятых (P5 в таблице) имеют размер приблизительно 696,6 цента (700 -  ε центов, где ε  ≈ 3,422 цента); так как средний размер 12 пятых должен равняться ровно 700 центов (как при равном темпераменте), другой должен иметь размер 700 + 11 ε центов, что составляет примерно 737,6 центов ( пятый волк ). Обратите внимание, что, как показано в таблице, последний интервал, хотя энгармонически эквивалентен пятому, более правильно называется уменьшенным шестым ( d6 ). По аналогии,

  • 10 основных секунд ( M2 ) составляют ≈ 193,2 цента (200 - 2 ε ), 2 уменьшенные трети ( d3 ) составляют ≈ 234,2 цента (200 + 10 ε ), а их среднее значение составляет 200 центов;
  • 9 второстепенных третей ( м3 ) составляют ≈ 310,3 цента (300 + 3 ε ), 3 увеличенных секунды ( A2 ) составляют ≈ 269,2 цента (300 - 9 ε ), а их среднее значение составляет 300 центов;
  • 8 основных третей ( M3 ) составляют ≈ 386,3 цента (400 - 4 ε ), 4 уменьшенных четверти ( d4 ) составляют ≈ 427,4 цента (400 + 8 ε ), а их среднее значение составляет 400 центов;
  • 7 диатонических полутонов ( m2 ) составляют ≈ 117,1 центов (100 + 5 ε ), 5 хроматических полутонов ( A1 ) составляют ≈ 76,0 центов (100 - 7 ε ), а их среднее значение составляет 100 центов.

Короче говоря, аналогичные различия в ширине наблюдаются для всех типов интервалов, кроме унисонов и октав, и все они кратны ε, причем разница между четвертью запятой означает одну пятую и среднюю пятую.

Обратите внимание, что, как очевидное следствие, каждый увеличенный или уменьшенный интервал ровно на 12 ε центов (≈ 41,1 цента) шире или уже, чем его энгармонический эквивалент. Например, уменьшенная шестая (или волчья пятая) на 12 ε центов шире каждой идеальной пятой части, а каждая увеличенная секунда на 12 ε центов уже, чем каждая второстепенная треть. Этот интервал размером 12 ε известен как diesis , или уменьшенная секунда . Отсюда следует, что ε также можно определить как одну двенадцатую часть диэзиса.

Триады в хроматической гамме

Основнымы триада может быть определена с помощью пары интервалов из корневой Примечание: главная треть (интервал покрывающих 4 полутона) и квинта (7 полутонов). Незначительная триада может также определяться терция (3 полутона) и квинту (7 полутона).

Как показано выше, хроматическая гамма состоит из двенадцати интервалов, охватывающих семь полутонов. Одиннадцать из них - идеальные квинты, а двенадцатая - уменьшенная шестая. Поскольку они охватывают одинаковое количество полутонов, идеальные квинты и уменьшенные шестые считаются энгармонически эквивалентными . В одинаково настроенной хроматической гамме идеальные квинты и уменьшенные шестые имеют точно такой же размер. То же самое верно для всех энгармонически эквивалентных интервалов, охватывающих 4 полутона (основные трети и уменьшенные четверти) или 3 полутона (второстепенные трети и увеличенные секунды). Однако для среднего темперамента это не так. В этой системе настройки энгармонически эквивалентные интервалы могут иметь разные размеры, а некоторые интервалы могут заметно отклоняться от своих точно настроенных идеальных соотношений. Как объяснялось в предыдущем разделе, если отклонение слишком велико, то данный интервал не может использоваться ни сам по себе, ни в аккорде.

Следующая таблица посвящена только трем вышеупомянутым типам интервалов, которые используются для формирования мажорных и минорных трезвучий. В каждой строке показаны три интервала разных типов, но с одной и той же основной нотой. Каждый интервал определяется парой нот. Справа от каждого интервала приведена формула отношения интервалов . Интервалы уменьшенной четвертой, уменьшенной шестой и увеличенной секунды могут рассматриваться как интервалы волка и отмечены красным . S и X обозначают соотношение двух вышеупомянутых видов полутонов (минорная секунда и усиленный унисон).

3 полутона
(м3 или A2)
4 полутона
(M3 или d4)
7 полутонов
(P5 или d6)
Интервал Соотношение Интервал Соотношение Интервал Соотношение
C – E S 2  ·  X C – E S 2  ·  X 2 C – G S 4  ·  X 3
C –E S 2  ·  X C –F S 3  ·  X C –G S 4  ·  X 3
Д – П S 2  ·  X D – F S 2  ·  X 2 D – A S 4  ·  X 3
E –F S  ·  X 2 E –G S 2  ·  X 2 E –B S 4  ·  X 3
НАПРИМЕР S 2  ·  X E – G S 2  ·  X 2 E – B S 4  ·  X 3
F – G S  ·  X 2 F – A S 2  ·  X 2 F – C S 4  ·  X 3
F –A S 2  ·  X F –B S 3  ·  X F –C S 4  ·  X 3
G – B S 2  ·  X G – B S 2  ·  X 2 G – D S 4  ·  X 3
G –B S 2  ·  X G –C S 3  ·  X G –E S 5  ·  X 2
A – C S 2  ·  X A – C S 2  ·  X 2 A – E S 4  ·  X 3
B –C S  ·  X 2 B –D S 2  ·  X 2 B –F S 4  ·  X 3
B – D S 2  ·  X B – E S 3  ·  X B – F S 4  ·  X 3

Сначала посмотрите на последние два столбца справа. Все 7-полутонные интервалы, кроме одного, имеют соотношение

что на -5,4 цента отличается от всего 3: 2 в 702,0 цента. Пять центов - это мало и приемлемо. С другой стороны, уменьшенная шестая часть от G до E имеет отношение

что на +35,7 цента отличается от идеальной пятой части. Тридцать пять центов за пределами допустимого диапазона.

Теперь посмотрим на две колонки посередине. Восемь из двенадцати 4-полутонных интервалов имеют соотношение

что ровно 5: 4. С другой стороны, четыре уменьшенных четверти с корнями в C , F , G и B имеют отношение

что на +41,1 цента отклоняется от только что основной трети. Опять же, это звучит ужасно расстроено.

Мажорные трезвучия образуются как из мажорных третей, так и из идеальных пятых. Если любой из двух интервалов заменяется интервалом волка (d6 вместо P5 или d4 вместо M3), то триада неприемлема. Таким образом, мажорные трезвучия с корневыми нотами C , F , G и B не используются в гаммах, основной нотой которых является C.

Теперь посмотрим на первые два столбца слева. Девять из двенадцати трехполутонных интервалов имеют соотношение

что на -5,4 цента отличается от 6: 5 в 315,6 цента. Допустимо пять центов. С другой стороны, три увеличенных секунды с корнями E , F и B имеют отношение

что на -46,4 цента отличается от незначительной трети. Однако это почти соответствует 7: 6 малой трети семерки в 266,9 цента, с отклонением на +2,3 цента. Эти увеличенные секунды, хотя сами по себе достаточно созвучны, будут звучать «экзотично» или нетипично, когда играются вместе с идеальной пятой.

Минорные трезвучия образуются как из минорных третей, так и из квинт. Если один из двух интервалов заменен энгармонически эквивалентным интервалом (d6 вместо P5 или A2 вместо m3), то триада не будет звучать хорошо. Таким образом, минорные трезвучия с корневыми нотами E , F, G и B не используются в масштабе Медиантного определен выше.

  • Могут использоваться следующие основные трезвучия: C, D, E , E, F, G, A, B .
  • Можно использовать следующие второстепенные трезвучия: C, C , D, E, F , G, A, B.
  • Следующие основные ноты полезны как для мажорных, так и для минорных трезвучий: C, D, E, G и A. Обратите внимание, что эти пять высот образуют мажорную пентатонику .
  • Следующие корневые ноты полезны только для мажорных трезвучий: E , F, B .
  • Следующие корневые ноты полезны только для минорных трезвучий: C , F , B.
  • Следующая основная нота не подходит ни для мажорного, ни для минорного трезвучия: G .

Альтернативное строительство

Как уже говорилось выше, четверть запятой означала один темперамент,

  • соотношение большого (диатонического) полутона S = 8: 5 54 ,
  • соотношение малого (хроматического) полутона X = 5 74 : 16,
  • соотношение большинства полных тонов T = 5 : 2,
  • соотношение большинства пятых составляет P = 45 .

Посредством расчета можно проверить, что большинство полных тонов (а именно, основные секунды) состоят из одного большего и одного меньшего полутона:

Точно так же квинта обычно состоит из трех тонов и одного большого полутона:

что эквивалентно четырем большим и трем меньшим полутонам:

Диатоническая шкала

Диатоническая шкала может быть построена, исходя из основной ноты , и умножения его либо T , чтобы двигаться вверх по тональному сигналу или S для перемещения вверх на полтон.

C    D    E    F    G    A    B    C′
|----|----|----|----|----|----|----|
  T    T    S    T    T    T    S

Результирующие размеры интервалов относительно базовой ноты C показаны в следующей таблице:

Примечание Формула Соотношение Центов Пифагорейские
центы
Центов EQT
C 1 1,0000 0,0 0,0 0
D Т 1,1180 193,2 203,9 200
E Т 2 1,2500 386,3 407,8 400
F Т 2 С 1,3375 503,4 498,0 500
грамм п 1,4953 696,6 702,0 700
А PT 1,6719 889,7 905,9 900
B PT 2 1,8692 1082,9 1109,8 1100
C ' PT 2 S 2,0000 1200,0 1200,0 1200

Об этом звукеСыграть тонический мажорный аккорд  Сыграть мажорную третьСыграть идеальную пятую частьОб этом звуке  Об этом звуке 

Хроматическая шкала

Построение четверти запятой означает, что один хроматический звукоряд может продолжаться путем наложения серии из 12 полутонов, каждый из которых может быть диатоническим ( S ) или хроматическим ( X ).

C    C   D    E   E    F    F    G   G    A    B   B    C′
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
  X    S    S    X    S    X    S    X    S    S    X    S

Обратите внимание, что эта шкала является расширением диатонической шкалы, показанной в предыдущей таблице. Было добавлено только пять нот: C , E , F , G и B ( пентатоническая гамма ).

Как объяснялось выше, идентичный строй был первоначально определен и произведен с использованием последовательности темперированных квинт в диапазоне от E (пять пятых ниже D) до G (шесть пятых выше D), а не последовательности полутонов. Этот более традиционный подход, подобный системе настройки Пифагора на основе D , объясняет причину, по которой полутоны X и S расположены в определенной и явно произвольной последовательности, показанной выше.

Размеры интервалов относительно базовой ноты C представлены в следующей таблице. Соотношения частот вычисляются по формулам. Дельта - это разница в центах между средним значением и 12-TET. 14 -c - это разница в четверть запятых между означающей и пифагорейской настройкой.

Примечание Формула Соотношение Центов 12TET Дельта 14 -c
C 1 1,0000 0,0 0 0,0 0
C Икс 1,0449 76,0 100 -24,0 −7
D Т 1,1180 193,2 200 −6,8 −2
E TS 1,1963 310,3 300 +10,3 3
E Т 2 1,2500 386,3 400 -13,7 −4
F Т 2 С 1,3375 503,4 500 +3,4 1
F Т 3 1,3975 579,5 600 −20,5 −6
грамм п 1,4953 696,6 700 −3,4 −1
G PX 1,5625 772,6 800 −27,4 −8
А PT 1,6719 889,7 900 -10,3 −3
B PTS 1,7889 1006,8 1000 +6,8 2
B PT 2 1,8692 1082,9 1100 −17,1 −5
C PT 2 S 2,0000 1200,0 1200 0,0 0

Сравнение с 31 равным темпераментом

Идеальная пятая часть четверти запятой, означающая единицу, выраженная в долях октавы, равна 1/4журнал 2 5 . Это число иррационально и фактически трансцендентно ; следовательно, цепочка средних квинт, как цепочка чистых квинт 3: 2, никогда не замыкается (т.е. никогда не равна цепочке октав). Однако приближение непрерывной дроби к этому иррациональному дробному числу позволяет нам находить равные части октавы, которые действительно близки; знаменатели этих чисел: 1, 2, 5, 7, 12, 19, 31, 174, 205, 789 ... Отсюда мы находим, что 31 четверть запятой означала, что одна пятая приближается к закрытию, и, наоборот, 31 равный темперамент представляет собой хорошее приближение к четверти запятой означает один. См. Также раскол .

Рекомендации

Сноски

Внешние ссылки