σ-конечная мера - σ-finite measure

В математике положительная (или знаковая ) мера μ, определенная на σ- алгебре Σ подмножеств множества X , называется конечной мерой, если μ ( X ) - конечное действительное число (а не ∞), и множество A в Σ имеет конечную меру, если μ ( A ) <∞ . Мера μ называется σ-конечной, если X - счетное объединение измеримых множеств с конечной мерой. Говорят, что множество в пространстве меры имеет σ -конечную меру, если оно является счетным объединением измеримых множеств с конечной мерой. Σ-конечность меры является более слабым условием, чем конечная мера, т. Е. Все конечные меры являются σ-конечными, но есть (много) σ-конечных мер, которые не являются конечными.

Другое, но родственное понятие, которое не следует путать с сигма-конечностью, - это s-конечность .

Определение

Пусть быть измеримое пространство и в меру на нем. ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}$ ${\ displaystyle \ mu}$

Мера называется σ-конечной мерой, если она удовлетворяет одному из четырех следующих эквивалентных критериев: ${\ displaystyle \ mu}$

это множество может быть покрыто не более чем счетным числом измеримых множеств с конечной мерой. Это означает , что есть наборы с для всех , которые удовлетворяют условию . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ ldots \ in {\ mathcal {A}}}$ ${\ Displaystyle \ му \ влево (A_ {п} \ вправо) <\ infty}$ ${\ Displaystyle п \ в \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ bigcup _ {п \ in \ mathbb {N}} A_ {n} = X}$
это множество может быть покрыто не более чем счетным числом измеримых непересекающихся множеств с конечной мерой. Это означает , что есть наборы с для всех и для этого удовлетворяет условия . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle B_ {1}, B_ {2}, \ ldots \ in {\ mathcal {A}}}$ ${\ Displaystyle \ му \ влево (B_ {п} \ вправо) <\ infty}$ ${\ Displaystyle п \ в \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle B_ {i} \ cap B_ {j} = \ varnothing}$ ${\ displaystyle i \ neq j}$ ${\ displaystyle \ bigcup _ {п \ in \ mathbb {N}} B_ {n} = X}$
множество может быть покрыто монотонной последовательностью измеримых множеств с конечной мерой. Это означает , что существуют наборы с и для всех , которые удовлетворяют условию . ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle C_ {1}, C_ {2}, \ ldots \ in {\ mathcal {A}}}$ ${\ Displaystyle C_ {1} \ подмножество C_ {2} \ subset \ cdots}$ ${\ Displaystyle \ му \ влево (C_ {п} \ вправо) <\ infty}$ ${\ Displaystyle п \ в \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle \ bigcup _ {п \ in \ mathbb {N}} C_ {n} = X}$
существует строго положительная измеримая функция , интеграл которой конечен. Это означает, что для всех и . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f (x)> 0}$ ${\ displaystyle x \ in X}$ ${\ Displaystyle \ int е (х) \ му (\ mathrm {d} х) <\ infty}$

Если - -конечная мера, пространство с мерой называется -конечной мерой . ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)}$ ${\ displaystyle \ sigma}$

Примеры

Мера Лебега

Например, мера Лебега на действительных числах не конечна, но σ-конечна. Действительно, рассмотрим интервалы $[k, k + 1)$ для всех целых $k$ ; таких интервалов счетно много, каждый имеет меру 1, а их объединение - это целая вещественная линия.

Счетная мера

В качестве альтернативы рассмотрите действительные числа с помощью счетной меры ; мера любого конечного множества - это количество элементов в множестве, а мера любого бесконечного множества - бесконечность. Эта мера не является σ -конечной, потому что каждое множество с конечной мерой содержит только конечное число точек, и потребовалось бы несчетное количество таких множеств, чтобы покрыть всю действительную прямую. Но, множество натуральных чисел с считающей мерой является σ -конечным. ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$

Локально компактные группы

Локально компактные группы , которые являются σ-компактно в σ-конечные под мерой Хаара . Например, все связные локально компактные группы G σ-компактны. Чтобы убедиться в этом, пусть V - относительно компактная, симметричная (то есть V = V ⁻¹ ) открытая окрестность единицы. потом

{\ Displaystyle H = \ bigcup _ {п \ in \ mathbb {N}} V ^ {n}}

открытая подгруппа группы G . Следовательно, H также замкнуто, поскольку его дополнение является объединением открытых множеств и в силу связности G должно быть самой G. Таким образом, все связные группы Ли σ-конечны относительно меры Хаара.

Отрицательные примеры

Любая нетривиальная мера, принимающая только два значения 0 и явно не σ-конечная. Один пример : для всех , если и только если A не пусто; другой: для всех , если и только если A несчетно, 0 в противном случае. Между прочим, оба они трансляционно-инвариантны. ${\ displaystyle \ infty}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle А \ подмножество \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ му (А) = \ infty}$ ${\ Displaystyle А \ подмножество \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ му (А) = \ infty}$

Характеристики

Класс σ-конечных мер обладает некоторыми очень удобными свойствами; В этом отношении σ-конечность можно сравнить с отделимостью топологических пространств. Некоторые теоремы анализа требуют в качестве гипотезы σ-конечности. Обычно, как теорема Радона-Никодима и Фубини теоремы формулируются в предположении о сг-конечностью о мерах , участвующих. Однако, как показано в статье Сигала «Эквивалентность пространств с мерой» ( Am. J. Math. 73, 275 (1953)), они требуют только более слабого условия, а именно локализуемости .

Хотя меры, которые не являются σ -конечными, иногда рассматриваются как патологические, на самом деле они возникают вполне естественно. Например, если Х представляет собой метрическое пространство из Хаусдорфа размерности г , то все меньшей размерности меры хаусдорфовы не являются σ-конечной , если рассматривать в качестве мер по X .

Эквивалентность вероятностной мере

Любая σ-конечная мера μ на пространстве X является эквивалентом к вероятностной меры на X : пусть V _п , п ∈ N , быть покрытие X с помощью попарно непересекающихся измеримых множеств конечной μ - мера, и пусть ш _п , п ∈ N , - последовательность положительных чисел (весов) такая, что

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} w_ {n} = 1.}

Мера ν, определяемая формулой

{\ displaystyle \ nu (A) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} w_ {n} {\ frac {\ mu \ left (A \ cap V_ {n} \ right)} {\ mu \ слева (V_ {n} \ right)}}}

тогда является вероятностной мерой на X с точно такими же нулевыми множествами, что и μ .

Связанные понятия

Умеренные меры

Мера Борель (в смысле локально конечной мера на Борель алгебре) называется умеренной мера тогда и только тогда есть в большинстве счетного числа открытых множеств с для всех и . ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ Displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ ldots}$ ${\ Displaystyle \ му \ влево (A_ {я} \ вправо) <\ infty}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ Displaystyle \ bigcup _ {я = 1} ^ {\ infty} A_ {я} = X}$

Всякая умеренная мера является -конечной мерой, обратное неверно. ${\ displaystyle \ sigma}$

Разложимые меры

Мера называется разложимой мерой, для которой существуют непересекающиеся измеримые множества с для всех и . Обратите внимание, что для разложимых мер нет ограничения на количество измеримых множеств с конечной мерой. ${\ displaystyle \ left (A_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ ${\ Displaystyle \ му \ влево (A_ {я} \ вправо) <\ infty}$ ${\ displaystyle i \ in I}$ ${\ displaystyle \ bigcup _ {я \ in I} A_ {i} = X}$

Каждая -конечная мера является разложимой мерой, обратное неверно. ${\ displaystyle \ sigma}$

s-конечные меры

Мера называется s-конечной мерой, если она является суммой не более чем счетного числа конечных мер . ${\ displaystyle \ mu}$

Каждая σ-конечная мера s-конечна, обратное неверно. Для доказательства и контрпримера см. S-конечная мера # Связь с σ-конечными мерами .

Смотрите также

Аддитивность сигмы

использованная литература

^ Klenke Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Springer. п. 12 . DOI : 10.1007 / 978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6.
^ ^a ^b Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения . Швейцария: Шпрингер. п. 21. DOI : 10.1007 / 978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3.
^ Аносов, Д.В. (2001) [1994], "Измерение пространства" , Энциклопедия математики , EMS Press
^ Elstrodt, Jürgen (2009). Maß- und Integrationstheorie [ Теория меры и интегрирования ] (на немецком языке). Берлин: Springer Verlag. п. 313. DOI : 10.1007 / 978-3-540-89728-6 . ISBN 978-3-540-89727-9.
^ Elstrodt, Jürgen (2009). Maß- und Integrationstheorie [ Теория меры и интегрирования ] (на немецком языке). Берлин: Springer Verlag. п. 318. DOI : 10.1007 / 978-3-540-89728-6 . ISBN 978-3-540-89727-9.

[Klenke12-1] Klenke Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Springer. п. 12 . DOI : 10.1007 / 978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6.

[Kallenberg21-2] Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения . Швейцария: Шпрингер. п. 21. DOI : 10.1007 / 978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3.

[eommeasurespace-3] Аносов, Д.В. (2001) [1994], "Измерение пространства" , Энциклопедия математики , EMS Press

[Elstrodt313-4] Elstrodt, Jürgen (2009). Maß- und Integrationstheorie [ Теория меры и интегрирования ] (на немецком языке). Берлин: Springer Verlag. п. 313. DOI : 10.1007 / 978-3-540-89728-6 . ISBN 978-3-540-89727-9.

[Elstrodt318-5] Elstrodt, Jürgen (2009). Maß- und Integrationstheorie [ Теория меры и интегрирования ] (на немецком языке). Берлин: Springer Verlag. п. 318. DOI : 10.1007 / 978-3-540-89728-6 . ISBN 978-3-540-89727-9.

Languages

In other projects