Мера Бореля - Borel measure

В математике , особенно в теории меры , борелевская мера на топологическом пространстве - это мера, которая определена на всех открытых множествах (и, следовательно, на всех борелевских множествах ). Некоторые авторы требуют дополнительных ограничений для меры, как описано ниже.

Формальное определение

Пусть будет локально компактное хаусдорфово пространство , и пусть будет наименьшая σ-алгебра , содержащая открытые множества из ; это известно как σ-алгебра борелевских множеств . Борелевская мера является любая мера , определенная на а-алгебре борелевских множеств. Некоторые авторы требуют дополнительно, что это локально конечно , то есть для каждого компакта . Если борелевская мера является как внутренней регулярной, так и внешней регулярной , она называется регулярной борелевской мерой . Если является одновременно внутренней регулярной, внешней регулярной и локально конечной , она называется мерой Радона . ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {B}} (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ му (С) <\ infty}$ ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu}$

На реальной линии

Реальная линия с обычной топологией локально Бикомпакт, следовательно , мы можем определить меру Борель на нем. В этом случае - наименьшая σ-алгебра, содержащая открытые интервалы . Хотя существует множество борелевских мер µ , выбор борелевской меры, которая присваивается каждому полуоткрытому интервалу , иногда называют «» борелевской мерой на . Эта мера оказывается ограничением на борелевскую σ-алгебру меры Лебега , которая является полной мерой и определена на σ-алгебре Лебега. Σ-алгебра Лебега на самом деле является пополнением борелевской σ-алгебры, что означает, что это наименьшая σ-алгебра, которая содержит все борелевские множества и имеет полную меру на ней. Кроме того, мера Бореля и мера Лебега совпадают на борелевских множествах (т. Е. Для каждого измеримого по Борелю множества, где - мера Бореля, описанная выше). ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {B}} (\ mathbb {R})}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mu ((a, b]) = ba}$${\ Displaystyle (а, б]}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle \ лямбда (Е) = \ му (Е)}$${\ displaystyle \ mu}$

Пространства продуктов

Если Х и Y являются вторым-счетными , хаусдорфов топологическими пространствами , то множество борелевских подмножеств их продукт совпадает с произведением множеств борелевских подмножеств X и Y . То есть функтор Бореля${\ Displaystyle В (Х \ раз Y)}$${\ Displaystyle В (Х) \ раз В (Y)}$

${\ displaystyle \ mathbf {Bor} \ двоеточие \ mathbf {Top} _ {2CHaus} \ to \ mathbf {Meas}}$

из категории хаусдорфовых пространств второй счетности в категорию измеримых пространств сохраняет конечные произведения .

Приложения

Интеграл Лебега – Стилтьеса.

Интеграл Лебега-Стилтьеса является обычным интеграл Лебега относительно меры , известной как мера Лебега-Стилтьеса, которые могут быть связаны с любой функции ограниченной вариации на вещественной прямой. Мера Лебега – Стилтьеса является регулярной борелевской мерой , и, наоборот, каждая регулярная борелевская мера на вещественной прямой относится к этому типу.

Преобразование Лапласа

Можно определить преобразование Лапласа конечной борелевской меры на вещественной прямой от интеграла Лебега

${\ displaystyle ({\ mathcal {L}} \ mu) (s) = \ int _ {[0, \ infty)} e ^ {- st} \, d \ mu (t).}$

Важным частным случаем является случай, когда μ - вероятностная мера или, более конкретно, дельта-функция Дирака. В операционном исчислении преобразование Лапласа меры часто трактуется так, как если бы мера была получена из функции распределения f . В этом случае, чтобы избежать путаницы, часто пишут

${\ displaystyle ({\ mathcal {L}} f) (s) = \ int _ {0 ^ {-}} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) \, dt}$

где нижний предел 0 ^- сокращенное обозначение для

${\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ downarrow 0} \ int _ {- \ varepsilon} ^ {\ infty}.}$

Этот предел подчеркивает, что любая точечная масса, расположенная в 0, полностью захватывается преобразованием Лапласа. Хотя с интегралом Лебега нет необходимости брать такой предел, он кажется более естественным в связи с преобразованием Лапласа – Стилтьеса .

Размерность Хаусдорфа и лемма Фростмана

Для борелевской меры μ на метрическом пространстве X такой, что μ ( X )> 0 и μ ( B ( x , r )) ≤ r ^s выполняется для некоторой константы s > 0 и для любого шара B ( x , r ) в X , то размерность Хаусдорфа dim _Haus ( X ) ≥ s . Частичное обращение обеспечивается леммой Фростмана :

Лемма: Пусть A - борелевское подмножество в R ⁿ , и пусть s  > 0. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

• H ^s ( A )> 0, где H ^s обозначает s -мерную меру Хаусдорфа .
• Существует ап (без знака) борелевская мера μ , удовлетворяющих М ( А )> 0, и таким образом, что

${\ Displaystyle \ му (В (х, г)) \ Leq г ^ {s}}$

выполняется для всех x  ∈  R ⁿ и r  > 0.

Теорема Крамера – Вольда

Теорема Крамера – Вольда в теории меры утверждает, что вероятностная борелевская мера на однозначно определяется совокупностью своих одномерных проекций. Он используется как метод доказательства результатов совместной сходимости. Теорема названа в честь Харальда Крамера и Германа Оле Андреаса Волда . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}$

Ссылки

дальнейшее чтение

• Гауссова мера , конечномерная борелевская мера
• Феллер, Уильям (1971), Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Vol. II. , Второе издание, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , MR  0270403.
• Дж. Д. Прайс (1973). Основные методы функционального анализа . Библиотека университета Хатчинсона. Хатчинсон . п. 217. ISBN. 0-09-113411-0.
• Рэнсфорд, Томас (1995). Теория потенциала в комплексной плоскости . Тексты студентов Лондонского математического общества. 28 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . С.  209–218 . ISBN 0-521-46654-7. Zbl  0828.31001 .
• Тешл, Джеральд , Темы реального и функционального анализа , (конспекты лекций)
• Лемма Винера связана

внешние ссылки

• Мера Бореля в энциклопедии математики