Единичный касательный пучок - Unit tangent bundle

В римановой геометрии , то единичный касательный пучок из риманова многообразия ( М , г ), обозначим через T ¹ M , UT ( M ) или просто UT М , является единицей пучок сфер для касательного расслоения T ( M ). Это расслоение над M , слой которого в каждой точке является единичной сферой в касательном расслоении:

${\ Displaystyle \ mathrm {UT} (M): = \ coprod _ {x \ in M} \ left \ {v \ in \ mathrm {T} _ {x} (M) \ left | g_ {x} (v , v) = 1 \ right. \ right \},}$

где T _x ( M ) обозначает касательное пространство к M в точке x . Таким образом, элементы UT ( M ) - это пары ( x , v ), где x - некоторая точка многообразия, а v - некоторое касательное направление (единичной длины) к многообразию в x . На единичном касательном пучке имеется естественная проекция

${\ displaystyle \ pi: \ mathrm {UT} (M) \ to M,}$

${\ Displaystyle \ пи: (х, v) \ mapsto х,}$

который переводит каждую точку связки в ее базовую точку. Волокна π ^-1 ( х ) над каждой точкой х ∈ M является ( п - 1) - сфера S ^{п -1} , где п есть размерность М . Таким образом, единичное касательное расслоение является расслоением сфер над M со слоем S ^{n −1} .

В определение расслоения единичных сфер можно легко учесть финслеровы многообразия . В частности, если M - многообразие, снабженное финслеровой метрикой F  : T M  →  R , то расслоение единичных сфер является подрасслоением касательного расслоения, слой которого в точке x является индикатрисой F :

${\ Displaystyle \ mathrm {UT} _ {x} (M) = \ left \ {v \ in \ mathrm {T} _ {x} (M) \ left | F (v) = 1 \ right. \ right \ }.}$

Если M - бесконечномерное многообразие (например, банахово , фреше или гильбертово многообразие ), то UT ( M ) все еще можно рассматривать как расслоение единичных сфер для касательного расслоения T ( M ), но слой π ^{- 1} ( x ) над x - это бесконечномерная единичная сфера в касательном пространстве.

Структуры

Единичное касательное расслоение несет в себе множество дифференциально-геометрических структур. Метрика на М индуцирует контактную структуру на UT M . Это задается в терминах тавтологической одноформной , определенной в точке u UT M (единичный касательный вектор к M ) формулой

${\ displaystyle \ theta _ {u} (v) = g (u, \ pi _ {*} v) \,}$

где это прямой образ вдоль П вектора V  ∈ T _¯u UT M . ${\ displaystyle \ pi _ {*}}$

Геометрический это контактная структуру можно рассматривать как распределение (2 п -2) -плоскостей , которые на единичном векторе ¯u , является поднятием ортогонального дополнения U в касательном пространстве М . Это контактная структура, для волокна UT М , очевидно , является интегральным многообразием (вертикальное расслоение всюду в ядре Q), а остальные направления касательных заполняются путем перемещения вверх волокон UT M . Таким образом, максимальное интегральное многообразие θ есть (открытое множество) самого M.

На финслеровом многообразии контактная форма определяется аналогичной формулой

${\ displaystyle \ theta _ {u} (v) = g_ {u} (u, \ pi _ {*} v) \,}$

где g _u - фундаментальный тензор ( гессиан финслеровой метрики). Геометрически соответствующее распределение гиперплоскостей в точке u  ∈ UT _x M является прообразом под π _* касательной гиперплоскости к единичной сфере в T _x M в точке u .

Форма объема θ∧ д θ ^{п -1} определяет меру на М , известную как кинематическая меру или меру Лиувилля , т.е. инвариантна относительно геодезического потока из М . Как мера Радона кинематическая мера μ определяется на непрерывных функциях с компактным носителем на UT M формулой

${\ displaystyle \ int _ {UTM} f \, d \ mu = \ int _ {M} dV (p) \ int _ {UT_ {p} M} \ left.f \ right | _ {UT_ {p} M } \, d \ mu _ {p}}$

где d V представляет собой элемент объема на М , а μ _р является стандартным вращательно-инвариантной борелевской меры на евклидовой сфере UT _р М .

Связность Леви-Чивита из М приводит к расщеплению касательного расслоения

${\ displaystyle T (UTM) = H \ oplus V}$

в вертикальное пространстве V  = kerπ _* и горизонтальное пространство Н , на котором π _* является линейным изоморфизмом в каждой точке UT М . Это расщепление индуцирует метрику на UT M , объявляя это расщепление ортогональной прямой суммой и определяя метрику на H с помощью отката:

${\ Displaystyle g_ {H} (v, w) = g (v, w), \ quad v, w \ in H}$

и определение метрики на V , как индуцированная метрика из вложения волокна UT _х М в евклидовом пространстве Т _х М . Обладая этой метрикой и контактной формой, UT M становится сасакиевым многообразием .

Библиография

• Джеффри М. Ли: Многообразия и дифференциальная геометрия . Аспирантура по математике Vol. 107, Американское математическое общество, Провиденс (2009). ISBN  978-0-8218-4815-9
• Юрген Йост : Риманова геометрия и геометрический анализ , (2002) Springer-Verlag, Берлин. ISBN  3-540-42627-2
• Ральф Абрахам и Джеррольд Э. Марсден : Основы механики , (1978) Бенджамин-Каммингс, Лондон. ISBN  0-8053-0102-X