Финслеров коллектор - Finsler manifold

В математике , особенно в дифференциальной геометрии , финслерово многообразие - это дифференцируемое многообразие $M,$ где (возможно, асимметричный ) функционал Минковского $F (x, -)$ предоставляется на каждом касательном пространстве $T x M$ , что позволяет определить длину любой гладкой кривой $γ : [a, b] \to M$ при

{\ Displaystyle L (\ gamma) = \ int _ {a} ^ {b} F \ left (\ gamma (t), {\ dot {\ gamma}} (t) \ right) \, \ mathrm {d} т.}

Финслеровы многообразия более общие, чем римановы многообразия, поскольку касательные нормы не обязательно индуцируются скалярными произведениями .

Каждое финслерово многообразие становится внутренним квазиметрическим пространством, когда расстояние между двумя точками определяется как нижняя граница соединяющих их кривых.

Эли Картан ( 1933 ) назвал финслеровы многообразия в честь Пола Финслера , изучавшего эту геометрию в своей диссертации ( Finsler 1918 ).

Определение

Финслерово многообразие является дифференцируемым многообразием $М$ вместе с метрикой финслерово , которая является непрерывной неотрицательной функцией $Р : Т М \to [0, + \infty)$ , определенное на касательном расслоении так , что для каждой точку $х$ из $М$ ,

$F (v + w) \leq F (v) + F (w)$ для любых двух векторов $v, w,$ касательных к $M$ в $точке x$ ( субаддитивность ).
$F (λ v) = λ F (v)$ для всех $λ \geq 0$ (но не обязательно для $λ <0)$ ( положительная однородность ).
$F (v)> 0,$ если $v = 0$ ( положительная определенность ).

Другими словами, $F (х, -)$ является асимметричным нормой на каждом касательном пространстве $Т х М$ . Метрика Финслера $F$ также должна быть гладкой , точнее:

$F$ является гладким на дополнении нулевого сечения $Т М$ .

Тогда аксиому субаддитивности можно заменить следующим условием сильной выпуклости :

Для каждого касательного вектора $V \neq 0$ , то матрица Гесса из $F 2$ на $V$ является положительно определенной .

Здесь гессиан $F 2 в$ точке $v$ представляет собой симметричную билинейную форму

{\ displaystyle \ mathbf {g} _ {v} (X, Y): = {\ frac {1} {2}} \ left. {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial s \ partial t }} \ left [F (v + sX + tY) ^ {2} \ right] \ right | _ {s = t = 0},}

также известный как фундаментальный тензор из $F$ в $V$ . Сильная выпуклость влечет субаддитивность со строгим неравенством, если $.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} u ⁄ F ( u ) ≠ v ⁄ F ( v )$ . Если $F$ сильно выпукло, то это норма Минковского на каждом касательном пространстве.

Метрика Финслера обратима, если, кроме того,

$F (- v) = F (v)$ для всех касательных векторов v .

Обратимая финслерова метрика определяет норму (в обычном смысле) на каждом касательном пространстве.

Примеры

Гладкие подмногообразия (включая открытые подмножества) нормированного векторного пространства конечной размерности являются финслеровыми многообразиями, если норма векторного пространства гладкая вне начала координат.
Римановы многообразия (но не псевдоримановы многообразия ) являются частными случаями финслеровых многообразий.

Коллекторы Рандерса

Пусть - риманово многообразие и b - дифференциальная одноформа на M с ${\ Displaystyle (М, а)}$

{\ displaystyle \ | b \ | _ {a}: = {\ sqrt {a ^ {ij} b_ {i} b_ {j}}} <1,}

где есть обратная матрица из и обозначений Эйнштейна используются. потом ${\ Displaystyle \ влево (а ^ {ij} \ вправо)}$ ${\ displaystyle (a_ {ij})}$

{\ Displaystyle F (x, v): = {\ sqrt {a_ {ij} (x) v ^ {i} v ^ {j}}} + b_ {i} (x) v ^ {i}}

определяет метрику Рандерса на M и является многообразием Рандерса , частным случаем необратимого финслерова многообразия. ${\ Displaystyle (М, F)}$

Гладкие квазиметрические пространства

Пусть ( М , д ) быть квазиметрикой так , что М является также дифференцируемым многообразием и d совместит с дифференциальной структурой из М в следующем смысле:

Вокруг любой точки z на M существует гладкая карта ( U , φ) M и константа C ≥ 1 такие, что для любых x , y ∈ U
${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {1} {C}} \ | \ phi (y) - \ phi (x) \ | \ leq d (x, y) \ leq C \ | \ phi (y) - \ phi ( х) \ |.}$
Функция d : M × M → [0, ∞] является гладкой в некоторой проколотой окрестности диагонали.

Тогда можно определить функцию Финслера F : TM → [0, ∞] следующим образом:

{\ Displaystyle F (x, v): = \ lim _ {t \ to 0 +} {\ frac {d (\ gamma (0), \ gamma (t))} {t}},}

где γ является любым кривым в М с Г (0) = х , и γ» (0) = v. Функции финслерово Р , полученный таким образом ограничивает к асимметричному ( как правило , не Минковский) нормам на каждом касательном пространстве М . Индуцированный внутренний метрика д _л : М × М → [0, ∞] оригинальной квазиметрика может быть извлечен из

{\ displaystyle d_ {L} (x, y): = \ inf \ left \ {\ \ left. \ int _ {0} ^ {1} F \ left (\ gamma (t), {\ dot {\ gamma) }} (t) \ right) \, dt \ \ right | \ \ gamma \ in C ^ {1} ([0,1], M) \, \ \ gamma (0) = x \, \ \ gamma ( 1) = y \ \ right \},}

и фактически любая финслерова функция F : T M → [0, ∞) определяет внутреннюю квазиметрику d _L на M по этой формуле.

Геодезические

Благодаря однородности F длина

{\ Displaystyle L [\ gamma]: = \ int _ {a} ^ {b} F \ left (\ gamma (t), {\ dot {\ gamma}} (t) \ right) \, dt}

из дифференцируемого кривого Г : [ , Ь ] → M в M инвариантны относительно положительно ориентированные репараметризации . Кривая постоянной скорости γ является геодезической финслерова многообразия, если ее достаточно короткие отрезки γ | _[_c_,_d_] минимизируют длину в M от γ ( c ) до γ ( d ). Эквивалентно, γ является геодезической, если она стационарна для функционала энергии

{\ Displaystyle E [\ gamma]: = {\ frac {1} {2}} \ int _ {a} ^ {b} F ^ {2} \ left (\ gamma (t), {\ dot {\ gamma) }} (t) \ right) \, dt}

в том смысле, что его функциональная производная обращается в нуль среди дифференцируемых кривых γ : [ a , b ] → M с фиксированными концами γ ( a ) = x и γ ( b ) = y .

Каноническая структура струи на финслеровском коллекторе

Уравнение Эйлера – Лагранжа для функционала энергии E [ γ ] читается в локальных координатах ( x ¹ , ..., x ⁿ , v ¹ , ..., v ⁿ ) T M как

{\ displaystyle g_ {ik} {\ Big (} \ gamma (t), {\ dot {\ gamma}} (t) {\ Big)} {\ ddot {\ gamma}} ^ {i} (t) + \ left ({\ frac {\ partial g_ {ik}} {\ partial x ^ {j}}} {\ Big (} \ gamma (t), {\ dot {\ gamma}} (t) {\ Big) } - {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial g_ {ij}} {\ partial x ^ {k}}} {\ Big (} \ gamma (t), {\ dot {\ gamma }} (t) {\ Big)} \ right) {\ dot {\ gamma}} ^ {i} (t) {\ dot {\ gamma}} ^ {j} (t) = 0,}

где k = 1, ..., n и g _ij - координатное представление фундаментального тензора, определяемого как

{\ displaystyle g_ {ij} (x, v): = g_ {v} \ left (\ left. {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}} \ right | _ {x}, \ left. {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {j}}} \ right | _ {x} \ right).}

Предполагая , что сильную выпуклость из F ² ( х , v ) относительно V ∈ Т _х М , матрица г _IJ ( х , v ) обратим и обратный обозначается г ^IJ ( х , v ). Тогда γ : [ , Ь ] → М является геодезической ( M , F ) тогда и только тогда , когда ее касательная кривой γ» : [ , Ь ] → T M ∖ {0} является интегральной кривой из гладкого векторного поля H на T M ∖ {0}, локально определенным

{\ Displaystyle \ left.H \ right | _ {(x, v)}: = \ left.v ^ {i} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}} \ right | _ { (x, v)} \! \! - \ left.2G ^ {i} (x, v) {\ frac {\ partial} {\ partial v ^ {i}}} \ right | _ {(x, v )},}

где местные коэффициенты распыления G ⁱ определяются выражением

{\ displaystyle G ^ {i} (x, v): = {\ frac {1} {4}} g ^ {ij} (x, v) \ left (2 {\ frac {\ partial g_ {jk}}) {\ partial x ^ {\ ell}}} (x, v) - {\ frac {\ partial g_ {k \ ell}} {\ partial x ^ {j}}} (x, v) \ right) v ^ {k} v ^ {\ ell}.}

Для векторного поля H на T M ∖ {0} выполняется JH = V и [ V , H ] = H , где J и V - канонический эндоморфизм и каноническое векторное поле на T M ∖ {0}. Следовательно, по определению, Н представляет собой спрей на М . Спрей H определяет нелинейную связь на пучке волокон T M ∖ {0} → M через вертикальную проекцию

{\ Displaystyle v: T (\ mathrm {T} M \ setminus \ {0 \}) \ to T (\ mathrm {T} M \ setminus \ {0 \}); \ quad v: = {\ frac {1 } {2}} {\ big (} I + {\ mathcal {L}} _ {H} J {\ big)}.}.

По аналогии с римановым случаем существует версия

{\ displaystyle D _ {\ dot {\ gamma}} D _ {\ dot {\ gamma}} X (t) + R _ {\ dot {\ gamma}} \ left ({\ dot {\ gamma}} (t), X (t) \ right) = 0}

из уравнения Якоби для общей структуры распыления ( М , Н ) в терминах кривизны Эресмана и нелинейной ковариантной производной .

Уникальность и минимизация свойств геодезических

По теореме Хопфа – Ринова всегда существуют минимизирующие длину кривые (по крайней мере, в достаточно малых окрестностях) на ( M , F ). Кривые, минимизирующие длину, всегда можно положительно перепараметризовать, чтобы они были геодезическими, и любая геодезическая должна удовлетворять уравнению Эйлера – Лагранжа для E [ γ ]. В предположении сильной выпуклости F ² существует единственная максимальная геодезическая γ с γ (0) = x и γ ' (0) = v для любого ( x , v ) ∈ T M ∖ {0} в силу единственности интегральных кривых .

Если F ² сильно выпукло, геодезические γ : [0, b ] → M минимизируют длину среди ближайших кривых до тех пор, пока первая точка γ ( s ) не сопряжена с γ (0) вдоль γ , а при t > s всегда существуют более короткие кривые от γ (0) до γ ( t ) вблизи γ , как и в римановом случае.

Languages

In other projects

Финслеров коллектор - Finsler manifold

СОДЕРЖАНИЕ