Финслеров коллектор - Finsler manifold
В математике , особенно в дифференциальной геометрии , финслерово многообразие - это дифференцируемое многообразие M, где (возможно, асимметричный ) функционал Минковского F ( x , -) предоставляется на каждом касательном пространстве T x M , что позволяет определить длину любой гладкой кривой γ : [ a , b ] → M при
Финслеровы многообразия более общие, чем римановы многообразия, поскольку касательные нормы не обязательно индуцируются скалярными произведениями .
Каждое финслерово многообразие становится внутренним квазиметрическим пространством, когда расстояние между двумя точками определяется как нижняя граница соединяющих их кривых.
Эли Картан ( 1933 ) назвал финслеровы многообразия в честь Пола Финслера , изучавшего эту геометрию в своей диссертации ( Finsler 1918 ).
Определение
Финслерово многообразие является дифференцируемым многообразием М вместе с метрикой финслерово , которая является непрерывной неотрицательной функцией Р : Т М → [0, + ∞) , определенное на касательном расслоении так , что для каждой точку х из М ,
- F ( v + w ) ≤ F ( v ) + F ( w ) для любых двух векторов v , w, касательных к M в точке x ( субаддитивность ).
- F (λ v ) = λ F ( v ) для всех λ ≥ 0 (но не обязательно для λ <0) ( положительная однородность ).
- F ( v )> 0, если v = 0 ( положительная определенность ).
Другими словами, F ( х , -) является асимметричным нормой на каждом касательном пространстве Т х М . Метрика Финслера F также должна быть гладкой , точнее:
- F является гладким на дополнении нулевого сечения Т М .
Тогда аксиому субаддитивности можно заменить следующим условием сильной выпуклости :
- Для каждого касательного вектора V ≠ 0 , то матрица Гесса из F 2 на V является положительно определенной .
Здесь гессиан F 2 в точке v представляет собой симметричную билинейную форму
также известный как фундаментальный тензор из F в V . Сильная выпуклость влечет субаддитивность со строгим неравенством, если u ⁄ F ( u ) ≠ v ⁄ F ( v ) . Если F сильно выпукло, то это норма Минковского на каждом касательном пространстве.
Метрика Финслера обратима, если, кроме того,
- F (- v ) = F ( v ) для всех касательных векторов v .
Обратимая финслерова метрика определяет норму (в обычном смысле) на каждом касательном пространстве.
Примеры
- Гладкие подмногообразия (включая открытые подмножества) нормированного векторного пространства конечной размерности являются финслеровыми многообразиями, если норма векторного пространства гладкая вне начала координат.
- Римановы многообразия (но не псевдоримановы многообразия ) являются частными случаями финслеровых многообразий.
Коллекторы Рандерса
Пусть - риманово многообразие и b - дифференциальная одноформа на M с
где есть обратная матрица из и обозначений Эйнштейна используются. потом
определяет метрику Рандерса на M и является многообразием Рандерса , частным случаем необратимого финслерова многообразия.
Гладкие квазиметрические пространства
Пусть ( М , д ) быть квазиметрикой так , что М является также дифференцируемым многообразием и d совместит с дифференциальной структурой из М в следующем смысле:
- Вокруг любой точки z на M существует гладкая карта ( U , φ) M и константа C ≥ 1 такие, что для любых x , y ∈ U
- Функция d : M × M → [0, ∞] является гладкой в некоторой проколотой окрестности диагонали.
Тогда можно определить функцию Финслера F : TM → [0, ∞] следующим образом:
где γ является любым кривым в М с Г (0) = х , и γ» (0) = v. Функции финслерово Р , полученный таким образом ограничивает к асимметричному ( как правило , не Минковский) нормам на каждом касательном пространстве М . Индуцированный внутренний метрика д л : М × М → [0, ∞] оригинальной квазиметрика может быть извлечен из
и фактически любая финслерова функция F : T M → [0, ∞) определяет внутреннюю квазиметрику d L на M по этой формуле.
Геодезические
Благодаря однородности F длина
из дифференцируемого кривого Г : [ , Ь ] → M в M инвариантны относительно положительно ориентированные репараметризации . Кривая постоянной скорости γ является геодезической финслерова многообразия, если ее достаточно короткие отрезки γ | [ c , d ] минимизируют длину в M от γ ( c ) до γ ( d ). Эквивалентно, γ является геодезической, если она стационарна для функционала энергии
в том смысле, что его функциональная производная обращается в нуль среди дифференцируемых кривых γ : [ a , b ] → M с фиксированными концами γ ( a ) = x и γ ( b ) = y .
Каноническая структура струи на финслеровском коллекторе
Уравнение Эйлера – Лагранжа для функционала энергии E [ γ ] читается в локальных координатах ( x 1 , ..., x n , v 1 , ..., v n ) T M как
где k = 1, ..., n и g ij - координатное представление фундаментального тензора, определяемого как
Предполагая , что сильную выпуклость из F 2 ( х , v ) относительно V ∈ Т х М , матрица г IJ ( х , v ) обратим и обратный обозначается г IJ ( х , v ). Тогда γ : [ , Ь ] → М является геодезической ( M , F ) тогда и только тогда , когда ее касательная кривой γ» : [ , Ь ] → T M ∖ {0} является интегральной кривой из гладкого векторного поля H на T M ∖ {0}, локально определенным
где местные коэффициенты распыления G i определяются выражением
Для векторного поля H на T M ∖ {0} выполняется JH = V и [ V , H ] = H , где J и V - канонический эндоморфизм и каноническое векторное поле на T M ∖ {0}. Следовательно, по определению, Н представляет собой спрей на М . Спрей H определяет нелинейную связь на пучке волокон T M ∖ {0} → M через вертикальную проекцию
По аналогии с римановым случаем существует версия
из уравнения Якоби для общей структуры распыления ( М , Н ) в терминах кривизны Эресмана и нелинейной ковариантной производной .
Уникальность и минимизация свойств геодезических
По теореме Хопфа – Ринова всегда существуют минимизирующие длину кривые (по крайней мере, в достаточно малых окрестностях) на ( M , F ). Кривые, минимизирующие длину, всегда можно положительно перепараметризовать, чтобы они были геодезическими, и любая геодезическая должна удовлетворять уравнению Эйлера – Лагранжа для E [ γ ]. В предположении сильной выпуклости F 2 существует единственная максимальная геодезическая γ с γ (0) = x и γ ' (0) = v для любого ( x , v ) ∈ T M ∖ {0} в силу единственности интегральных кривых .
Если F 2 сильно выпукло, геодезические γ : [0, b ] → M минимизируют длину среди ближайших кривых до тех пор, пока первая точка γ ( s ) не сопряжена с γ (0) вдоль γ , а при t > s всегда существуют более короткие кривые от γ (0) до γ ( t ) вблизи γ , как и в римановом случае.
Заметки
Рекомендации
- Антонелли, Питер Л., изд. (2003), Справочник по финслеровой геометрии. Vol. 1, 2 , Бостон: Kluwer Academic Publishers, ISBN. 978-1-4020-1557-1, Руководство по ремонту 2067663
- Бао, Дэвид; Черн, Шиинг-Шэнь ; Шен, Чжунминь (2000). Введение в геометрию Римана – Финслера . Тексты для выпускников по математике. 200 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-1268-3 . ISBN 0-387-98948-X. Руководство по ремонту 1747675 .
- Картан, Эли (1933), "Sur les espaces de Finsler", CR Acad. Sci. Париж , 196 : 582–586, Zbl 0006.22501
- Черн, Шиинг-Шен (1996), «Финслерова геометрия - это просто риманова геометрия без квадратичного ограничения» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 43 (9): 959–63, MR 1400859
- Финслерово, Пол (1918), Über Kurven унд Flächen в Allgemeinen Räumen , Диссертация, Геттингена, СУЛ 46.1131.02 (Перепечатано Биркхойзером (1951))
- Рунд, Ханно (1959). Дифференциальная геометрия финслеровых пространств . Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 101 . Берлин – Геттинген – Гейдельберг: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-3-642-51610-8 . ISBN 978-3-642-51612-2. Руководство по ремонту 0105726 .
- Шен, Чжунминь (2001). Лекции по финслеровой геометрии . Сингапур: World Scientific. DOI : 10,1142 / 4619 . ISBN 981-02-4531-9. Руководство по ремонту 1845637 .