Универсальный набор - Universal bundle

В математике , то универсальное расслоение в теории расслоений со структурной группой заданной топологической группы G , является специфическим расслоением над классифицирующим пространством BG , таким образом, что каждый пучок с заданной структурной группой G над М является откатом с помощью непрерывное отображение M → BG .

Наличие универсального комплекта

В категории CW complex

Когда определение классифицирующего пространства происходит в гомотопической категории из ХО комплексов , теоремы существования универсальных расслоений вытекают из теоремы Брауна представимости .

Для компактных групп Ли

Сначала докажем:

Предложение. Пусть G - компактная группа Ли . Существует стягиваемое пространство EG, на котором G действует свободно. Проекция EG → BG является G -главным расслоением.

Доказательство. Существует инъекция G в унитарную группу U ( n ) для достаточно большого n . Если мы найдем EU ( n ), тогда мы можем принять EG как EU ( n ) . Конструкция EU ( n ) приведена в классифицирующем пространстве для U ( n ) .

Следующая теорема является следствием предыдущего предложения.

Теорема. Если M - паракомпактное многообразие и P → M - главное G- расслоение, то существует отображение f   : M → BG , единственное с точностью до гомотопии, такое, что P изоморфно f ^∗ ( EG ) , обратному образу G -расслоение EG → BG с помощью F .    

Доказательство. С одной стороны, обратным движением расслоения π  : EG → BG посредством естественной проекции P × _G EG → BG является расслоение P × EG . С другой стороны, притягивание главного G- расслоения P → M проекцией p  : P × _G EG → M также является P × EG

${\ displaystyle {\ begin {array} {rcccl} P & \ to & P \ times EG & \ to & EG \\\ downarrow && \ downarrow && \ downarrow \ pi \\ M & \ to _ {\! \! \! \! \ ! \! \! s} & P \ times _ {G} EG & \ to & BG \ end {array}}}$

Поскольку p - расслоение со стягиваемым слоем EG , сечения p существуют. Такому сечению s сопоставим композицию с проекцией P × _G EG → BG . На карте мы получаем это е мы искали.   

Для единственности с точностью до гомотопии заметим, что существует взаимно однозначное соответствие между отображениями f   : M → BG, такими, что f ^∗ ( EG ) → M изоморфно P → M и сечениям p . Мы только что видели, как связать f с разделом. Наоборот, предположим, что f задано. Пусть Φ:   f ^∗ ( EG ) → P - изоморфизм:         

${\ Displaystyle \ Phi: \ left \ {(x, u) \ in M ​​\ times EG \: \ f (x) = \ pi (u) \ right \} \ to P}$

Теперь просто определите раздел с помощью

${\ displaystyle {\ begin {cases} M \ to P \ times _ {G} EG \\ x \ mapsto \ lbrack \ Phi (x, u), u \ rbrack \ end {cases}}}$

Поскольку все секции p гомотопны, гомотопический класс f единственен.   

Использование при изучении групповых действий

Общее пространство универсального пучка обычно обозначается EG . Эти пространства представляют интерес сами по себе, несмотря на то, что обычно их можно сжимать . Например, при определении гомотопического фактора или гомотопическое пространства орбит из в действия группы из G , в тех случаях , когда пространство орбит является патологическим (в том смысле , будучи не- хаусдорфовым , например). Идея, если G действует в пространстве X , состоит в том, чтобы вместо этого рассмотреть действие на Y = X × EG и соответствующий фактор. См. Более подробное обсуждение в эквивариантных когомологиях .

Если EG стягивается , то X и Y являются гомотопическими эквивалентными пространствами. Но диагональное действие на Y , то есть когда G действует как на координаты X, так и на EG , может иметь хорошее поведение, когда действие на X - нет.

Примеры

• Классифицирующее пространство для U (n)

Смотрите также

• Черн класс
• тавтологическое расслоение , универсальное расслоение для полной линейной группы.

внешние ссылки

• Страница PlanetMath с примерами универсальных пакетов

Ноты