Локализация категории - Localization of a category

В математике , локализация категории состоит в добавлении к категории обратных морфизмов для некоторого набора морфизмов, сдерживая их , чтобы стать изоморфизмами . Формально это похоже на процесс локализации кольца ; он вообще делает объекты изоморфными, чего не было раньше. В теории гомотопий , например, есть много примеров отображений, обратимых с точностью до гомотопии; и так большие классы гомотопически эквивалентных пространств. Исчисление дробей - это еще одно название для работы в локализованной категории.

Введение и мотивация

Категория C состоит из объектов и морфизмов между этими объектами. Морфизмы отражают отношения между объектами. Во многих ситуациях имеет смысл заменить C другой категорией C ', в которой некоторые морфизмы вынуждены быть изоморфизмами. Этот процесс называется локализацией.

Например, в категории R - модули (для некоторого фиксированного коммутативного кольца R ) умножение на фиксированный элемент г из R , как правило , (то есть, если г не является единицей ) не является изоморфизмом:

${\ displaystyle M \ to M \ quad m \ mapsto r \ cdot m.}$

Категория, наиболее тесно связанная с R -модулями, но в которой это отображение является изоморфизмом, оказывается категорией -модулей. Вот это локализация от R по отношению к (мультипликативно замкнутое) подмножество S , состоящее из всех степеней т , выражение «наиболее тесно связаны» формализуется двух условий: во- первых, существует функтор${\ Displaystyle R [S ^ {- 1}]}$${\ Displaystyle R [S ^ {- 1}]}$${\ Displaystyle S = \ {1, г, г ^ {2}, г ^ {3}, \ точек \}}$

${\ displaystyle \ varphi: {\ text {Mod}} _ {R} \ to {\ text {Mod}} _ {R [S ^ {- 1}]} \ quad M \ mapsto M [S ^ {- 1 }]}$

отправка любой R - модуль для его локализации по отношению к S . Более того, для любой категории C и любого функтора

${\ displaystyle F: {\ text {Mod}} _ {R} \ to C}$

переводя отображение умножения на r на любом R -модуле (см. выше) в изоморфизм C , существует единственный функтор

${\ displaystyle G: {\ text {Mod}} _ {R [S ^ {- 1}]} \ to C}$

такой что . ${\ Displaystyle F = G \ circ \ varphi}$

Локализация категорий

Приведенные выше примеры локализации R -модулей абстрагируются в следующем определении. В этой форме он применяется во многих других примерах, некоторые из которых схематично представлены ниже.

Учитывая категорию C и некоторый класс W из морфизмов в C , локализацию C [ Вт ^-1 ] другая категория , которая получается путем инвертирования всех морфизмов в W . Более формально, он характеризуется универсальным свойством : существует естественный функтор локализации C → C [ W ⁻¹ ] и для другой категории D функтор F : C → D факторизуется однозначно над C [ W ⁻¹ ] тогда и только тогда, когда если F переводит все стрелки в W в изоморфизмы.

Таким образом, локализация категории уникальна с точностью до единственного изоморфизма категорий, если он существует. Одна конструкция локализации делается путем объявления , что его объекты являются такими же , как и в C , но морфизмы повышается за счет добавления формальный обратный для каждого морфизма в W . При подходящих предположениях относительно W морфизмы между двумя объектами X , Y задаются крышами

${\ displaystyle X {\ stackrel {f} {\ leftarrow}} X '\ rightarrow Y}$

(где X ' - произвольный объект C, а f принадлежит данному классу морфизмов W ) по модулю некоторых отношений эквивалентности. Эти отношения превращают карту, идущую в «неправильном» направлении, в обратную f . Эта процедура, однако, в целом , дает собственный класс морфизмов между X и Y . Обычно морфизмы в категории могут образовывать набор. Некоторые авторы просто игнорируют подобные теоретико-множественные вопросы.

Категории моделей

Строгое построение локализации категорий, избегающее этих теоретико-множественных проблем, было одной из первых причин развития теории модельных категорий : модельная категория M - это категория, в которой есть три класса отображений; один из этих классов - класс слабых эквивалентностей . Категория гомотопической Ho ( M ) тогда локализация относительно слабых эквивалентностей. Аксиомы модельной категории гарантируют, что эта локализация может быть определена без теоретико-множественных трудностей.

Альтернативное определение

Некоторые авторы также определяют локализацию категории C как идемпотентный и коаугментированный функтор. Коаугментированный функтор - это пара (L, l), где L: C → C - эндофунктор, а l: Id → L - естественное преобразование тождественного функтора в L (называемое коаугментацией). Коаугментированный функтор идемпотентен, если для любого X оба отображения L (l _X ), l _{L (X)} : L (X) → LL (X) являются изоморфизмами. Можно доказать, что в этом случае обе карты равны.

Это определение связано с приведенным выше следующим образом: применяя первое определение, во многих ситуациях существует не только канонический функтор , но и функтор в противоположном направлении, ${\ displaystyle C \ to C [W ^ {- 1}]}$

${\ Displaystyle C [W ^ {- 1}] \ к C}$

Например, модули над локализацией кольца также являются модулями над самим R , что дает функтор ${\ Displaystyle R [S ^ {- 1}]}$

${\ displaystyle R [S ^ {- 1}] - Mod \ to R-Mod.}$

В этом случае состав

${\ displaystyle L: C \ to C [W ^ {- 1}] \ to C}$

является локализацией C в смысле идемпотентного и коаугментированного функтора.

Примеры

C- теория Серра

Серра представила идею работы в теории гомотопии по модулю некоторого класса С из абелевых групп . Это означало , что группы и Б были обработаны , как изоморфны, если, например , A / B лежит в C . Позже Деннису Салливану пришла в голову смелая идея вместо использования локализации топологического пространства , которая повлияла на лежащие в основе топологические пространства .

Теория модулей

В теории модулей над коммутативным кольцом R , когда R имеет размерность Крулля ≥ 2, может быть полезно рассматривать модули M и N как псевдоизоморфные, если M / N имеет носитель коразмерности не менее двух. Эта идея широко используется в теории Ивасавы .

Производные категории

Производная категория из абелевой категории часто используется в гомологической алгебре . Это локализация категории цепных комплексов (с точностью до гомотопии) относительно квазиизоморфизмов .

Абелевы разновидности до изогении

Изогения из абелева многообразия А на другую B является сюръективным морфизмом с конечным ядром . Некоторые теоремы об абелевых многообразиях для удобной формулировки требуют идеи абелевого многообразия с точностью до изогении . Например, дано абелево подмногообразие A ₁ в A , существует другое подмногообразие A ₂ в A такое, что

А ₁ × А ₂

является изогенно к А (теореме Пуанкаре редуцируемости: смотрите, например , абелевые многообразия по David Mumford ). Чтобы назвать это разложением прямой суммы , мы должны работать в категории абелевых многообразий с точностью до изогении.

Связанные понятия

Локализации топологического пространства создает другое топологическое пространство, гомология является локализацией гомологии исходного пространства.

Гораздо более общее понятие от гомотопической алгебры , в том числе в особых случаях как локализации пространств и категории, является локализацией Боусфилд из модельной категории . Локализация Боусфилда вынуждает определенные отображения становиться слабыми эквивалентностями , что в общем случае слабее, чем принуждение их становиться изоморфизмами.

Смотрите также

• Симплициальная локализация

Ссылки

Габриэль, Пьер ; Зисман, Мишель (1967). Исчисление дробей и теория гомотопий . Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете , группа 35. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-03777-6. Руководство по ремонту  0210125 .