Проблема Синьорини - Signorini problem

Проблема Синьорини является эластостатикой проблемы в линейной упругости : она состоит в нахождении упругого равновесия конфигурации в качестве анизотропного неоднородного упругого тела , покоится на жесткую трени поверхности и только с учетом ее массовыми сил . Название было придумано Гаэтано Фичера в честь своего учителя Антонио Синьорини : первоначальное название, придуманное им, - проблема с неоднозначными граничными условиями .

История

Классическая проблема Синьорини: какой будет равновесная конфигурация оранжевого упругого тела сферической формы, покоящегося на голубой жесткой плоскости без трения ?

Проблема была поставлена Антонио Синьорини во время курса, преподаваемого в Istituto Nazionale di Alta Matematica в 1959 году, позже опубликованной в виде статьи ( Signorini 1959 ), расширяющей предыдущее краткое изложение, которое он дал в заметке, опубликованной в 1933 году. Синьорини (1959 , стр. 128) сам назвал это проблемой с неоднозначными граничными условиями , поскольку существует два альтернативных набора граничных условий, которым решение должно удовлетворять в любой заданной точке контакта . Постановка задачи включает в себя не только равенство , но и неравенство , а не априори известно , что из двух наборов граничных условий выполняются в каждой точке . Signorini попросили определить , является ли проблема корректна или не в физическом смысле, то есть , если ее решение существует и единственно или нет: он явно пригласил молодые аналитик изучить эту проблему.

Гаэтано Фичера и Мауро Пиконе посетили курс, и Фичера начал исследовать проблему: поскольку он не нашел ссылок на аналогичные проблемы в теории краевых задач , он решил подойти к ней, исходя из первых принципов , в частности, из принципа виртуальной работы. .

Во время исследований Фичеры по этой проблеме Синьорини начал страдать от серьезных проблем со здоровьем: тем не менее он хотел узнать ответ на свой вопрос перед смертью. Пиконе, которого связывала крепкая дружба с Синьорини, начал преследовать Фичеру, чтобы найти решение: сам Фичера, связанный с Синьорини аналогичными чувствами, воспринимал последние месяцы 1962 года как тревожные дни. Наконец, в первые дни января 1963 года Фичера смог дать полное доказательство существования единственного решения проблемы с неоднозначными граничными условиями, которую он назвал «проблемой Синьорини» в честь своего учителя. Объявление о предварительном исследовании, позднее опубликованное как ( Fichera 1963 ), было составлено и отправлено Синьорини ровно за неделю до его смерти. Синьорини выразил большое удовлетворение, увидев решение своего вопроса.

Несколько дней спустя во время разговора с семьей доктор Дамиано Априле Синьорини сказал ему:

Согласно Антману (1983 , с. 282) решение проблемы Синьорини совпадает с рождением области вариационных неравенств .

Формальная постановка проблемы

Содержание этого раздела и следующих подразделов тесно связано с трактовкой Гаэтано Фичеры в Fichera 1963 , Fichera 1964b, а также Fichera 1995 : его вывод проблемы отличается от вывода Синьорини тем, что он не рассматривает только несжимаемые тела и плоская поверхность отдыха , как это делает Синьорини. Проблема состоит в нахождении вектора смещения от естественной конфигурации в качестве анизотропного неоднородного упругого тела , что лежит в подмножестве из трех- мерного евклидова пространства , чья граница является и чьим внутренней нормалью является вектор , покоится на жесткую трени поверхности которого контактная поверхность (или в более общем случае контакта множество ) является и только с учетом ее сил организма , а также поверхностные силы наносят на свободный (т.е. не в контакте с поверхностью покоя) поверхности : множество , и контактная поверхность характеризуют естественную конфигурацию корпуса и известны априори. Следовательно, тело должно удовлетворять общим уравнениям равновесия${\ displaystyle \ scriptstyle {\ boldsymbol {u}} ({\ boldsymbol {x}}) = \ left (u_ {1} ({\ boldsymbol {x}}), u_ {2} ({\ boldsymbol {x}) }), u_ {3} ({\ boldsymbol {x}}) \ right)}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ partial A}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ boldsymbol {f}} ({\ boldsymbol {x}}) = \ left (f_ {1} ({\ boldsymbol {x}}), f_ {2} ({\ boldsymbol {x}) }), f_ {3} ({\ boldsymbol {x}}) \ right)}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ boldsymbol {g}} ({\ boldsymbol {x}}) = \ left (g_ {1} ({\ boldsymbol {x}}), g_ {2} ({\ boldsymbol {x}) }), g_ {3} ({\ boldsymbol {x}}) \ right)}$${\ Displaystyle \ scriptstyle \ partial A \ setminus \ Sigma}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ Sigma}$

(1)     ${\ displaystyle \ qquad {\ frac {\ partial \ sigma _ {ik}} {\ partial x_ {k}}} - f_ {i} = 0 \ qquad {\ text {for}} i = 1,2,3 }$

записанные с использованием обозначений Эйнштейна, как и все в следующем развитии, обычные граничные условия на${\ Displaystyle \ scriptstyle \ partial A \ setminus \ Sigma}$

(2)     ${\ displaystyle \ qquad \ sigma _ {ik} n_ {k} -g_ {i} = 0 \ qquad {\ text {for}} i = 1,2,3}$

и следующие два набора граничных условий на , где - тензор напряжений Коши . Очевидно, что телесные силы и поверхностные силы не могут быть заданы произвольным образом, но они должны удовлетворять условию, чтобы тело достигло равновесной конфигурации: это условие будет выведено и проанализировано в следующем развитии. ${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ boldsymbol {\ sigma}} ({\ boldsymbol {u}})}$

Неоднозначные граничные условия

Если - любой касательный вектор к контактному множеству , то неоднозначные граничные условия в каждой точке этого множества выражаются следующими двумя системами неравенств${\ displaystyle \ scriptstyle {\ boldsymbol {\ tau}} = (\ tau _ {1}, \ tau _ {2}, \ tau _ {3})}$ ${\ displaystyle \ Sigma}$

(3)      или (4)${\ displaystyle \ quad {\ begin {case} u_ {i} n_ {i} & = 0 \\\ sigma _ {ik} n_ {i} n_ {k} & \ geq 0 \\\ sigma _ {ik} n_ {i} \ tau _ {k} & = 0 \ end {case}}}$               ${\ displaystyle {\ begin {cases} u_ {i} n_ {i} &> 0 \\\ sigma _ {ik} n_ {i} n_ {k} & = 0 \\\ sigma _ {ik} n_ {i } \ tau _ {k} & = 0 \ end {case}}}$

Разберем их значение:

• Каждый набор условий состоит из трех отношений , равенств или неравенств , а все вторые члены являются нулевой функцией .
• В количествах на первый элемент каждого первого соотношения являются пропорционально к норме в компоненте от вектора смещения , направленной вдоль вектора нормали .${\ displaystyle n}$
• Величины при первом члене каждого второго отношения пропорциональны норме составляющей вектора натяжения, направленной вдоль вектора нормали ,${\ displaystyle n}$
• Величины в первом члене каждого третьего отношения пропорциональны норме составляющей вектора натяжения вдоль любого касательного вектора в данной точке к множеству контактов .${\ Displaystyle \ тау}$ ${\ displaystyle \ Sigma}$
• Величины в первом элементе каждый из трех отношений являются положительными , если они имеют один и тот же смысл этого вектора они пропорциональны , чтобы, в то время как они являются отрицательными , если нет, поэтому константа пропорциональности , соответственно , и .${\ displaystyle \ scriptstyle +1}$${\ displaystyle \ scriptstyle -1}$

Зная эти факты, совокупность условий (3) применяется к точкам в границах тела , которые не покидают контактный набор в равновесной конфигурации , так как , в соответствии с первым соотношением , то вектор смещения не имеет компонент , направленные как нормальные вектор , тогда как согласно второму соотношению вектор натяжения может иметь компонент, направленный как вектор нормали и имеющий тот же смысл . Аналогичным образом набор условий (4) применяется к точкам границы тела, которые выходят из этого набора в равновесной конфигурации, поскольку вектор смещения имеет компонент, направленный как вектор нормали , а вектор натяжения не имеет компонент, направленных как нормальный вектор . Для обоих наборов условий вектор натяжения не имеет касательной составляющей к контактному множеству, согласно гипотезе о том, что тело опирается на жесткую поверхность без трения . ${\ displaystyle \ Sigma}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$

Каждая система выражает одностороннее ограничение в том смысле, что они выражают физическую невозможность упругого тела проникнуть в поверхность, на которой оно покоится: неоднозначность заключается не только в неизвестных значениях, которым должны удовлетворять ненулевые величины на множестве контактов, но также и в в том, что априори неизвестно, удовлетворяет ли точка, принадлежащая этому множеству, системе граничных условий (3) или (4) . Множество точек, в которых выполняется (3) , называется областью опоры упругого тела на , а его дополнение по отношению к называется областью отрыва . ${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ Sigma}$

Выше формулировка вообще , так как напряжение Коши тензора т.е. уравнение состояния из упругого тела не было сделано явным: он одинаково справедливо предполагая , что гипотеза о линейной упругости или те из нелинейной упругости . Однако, как станет ясно из следующих событий, проблема по своей сути нелинейная , поэтому предположение о линейном тензоре напряжений не упрощает задачу .

Форма тензора напряжений в формулировке Синьорини и Фичеры

Форма, принятая Синьорини и Фичерой для упругой потенциальной энергии, следующая (как и в предыдущих разработках, приняты обозначения Эйнштейна )

${\ displaystyle W ({\ boldsymbol {\ varepsilon}}) = a_ {ik, jh} ({\ boldsymbol {x}}) \ varepsilon _ {ik} \ varepsilon _ {jh}}$

где

• ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ boldsymbol {a}} ({\ boldsymbol {x}}) = \ left (a_ {ik, jh} ({\ boldsymbol {x}}) \ right)}$есть тензор упругости
• ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} = {\ boldsymbol {\ varepsilon}} ({\ boldsymbol {u}}) = \ left (\ varepsilon _ {ik} ({\ boldsymbol {u}}) \ right) = \ left ({\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial u_ {i}} {\ partial x_ {k}}}} + {\ frac {\ partial u_ {k }} {\ partial x_ {i}}} \ right) \ right)}$есть тензор бесконечно малой деформации

Таким образом, тензор напряжений Коши имеет следующий вид

(5)     ${\ displaystyle \ sigma _ {ik} = - {\ frac {\ partial W} {\ partial \ varepsilon _ {ik}}} \ qquad {\ text {for}} i, k = 1,2,3}$

и он линейен по отношению к компонентам тензора бесконечно малых деформаций; однако он не является однородным и не изотропным .

Решение проблемы

Что касается раздела, посвященного формальной постановке проблемы Синьорини, содержание этого раздела и включенных в него подразделов тесно связано с трактовкой Gaetano Fichera в Fichera 1963 , Fichera 1964b , Fichera 1972, а также Fichera 1995 : очевидно, что экспозиция фокусируется на основные шаги доказательства существования и единственности решения задачи (1) , (2) , (3) , (4) и (5) , а не технические детали.

Потенциальная энергия

Первым шагом анализа Fichera, а также первым шагом анализа Антонио Синьорини в Синьорини 1959 является анализ потенциальной энергии , то есть следующего функционала

(6)      ${\ displaystyle I ({\ boldsymbol {u}}) = \ int _ {A} W ({\ boldsymbol {x}}, {\ boldsymbol {\ varepsilon}}) \ mathrm {d} x- \ int _ { A} u_ {i} f_ {i} \ mathrm {d} x- \ int _ {\ partial A \ setminus \ Sigma} u_ {i} g_ {i} \ mathrm {d} \ sigma}$

где принадлежит множеству из допустимых перемещений , то есть множество векторов смещения , удовлетворяющее систему граничных условий (3) или (4) . Значение каждого из трех терминов следующее ${\ displaystyle u}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {U}} _ {\ Sigma}}$

• первые из них является общей упругой потенциальной энергией из упругого тела
• второй - это полная потенциальная энергия за счет объемных сил , например гравитационной силы
• третий представляет собой потенциальную энергию за счет поверхностных сил , например, силы , действующей со стороны атмосферного давления

Синьорини (1959 , стр. 129-133) удалось доказать , что допустимое смещение , которое минимизирует интеграл является решением задачи с неоднозначным граничными условиями (1) , (2) , (3) , (4) и (5 ) , при условии , что это функция поддерживается на замыкании множества : однако Гаэтано Фикера дал класс контрпримеров в ( Фикер 1964b , С. 619-620) , показывающий , что в общем случае , допустимые смещения нет. гладких функции из этого класса. Поэтому Фичера пытается минимизировать функционал (6) в более широком функциональном пространстве : при этом он сначала вычисляет первую вариацию (или функциональную производную ) заданного функционала в окрестности искомого минимально допустимого смещения , а затем требует его быть больше или равно нулю${\ displaystyle u}$${\ displaystyle I (u)}$${\ displaystyle C ^ {1}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ bar {A}}}$${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ boldsymbol {u}} \ in {\ mathcal {U}} _ {\ Sigma}}$

${\ displaystyle \ left. {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} I ({\ boldsymbol {u}} + t {\ boldsymbol {v}}) \ right \ vert _ { t = 0} = - \ int _ {A} \ sigma _ {ik} ({\ boldsymbol {u}}) \ varepsilon _ {ik} ({\ boldsymbol {v}}) \ mathrm {d} x- \ int _ {A} v_ {i} f_ {i} \ mathrm {d} x- \ int _ {\ partial A \ setminus \ Sigma} \! \! \! \! \! v_ {i} g_ {i} \ mathrm {d} \ sigma \ geq 0 \ qquad \ forall {\ boldsymbol {v}} \ in {\ mathcal {U}} _ {\ Sigma}}$

Определение следующих функционалов

${\ displaystyle B ({\ boldsymbol {u}}, {\ boldsymbol {v}}) = - \ int _ {A} \ sigma _ {ik} ({\ boldsymbol {u}}) \ varepsilon _ {ik} ({\ boldsymbol {v}}) \ mathrm {d} x \ qquad {\ boldsymbol {u}}, {\ boldsymbol {v}} \ in {\ mathcal {U}} _ {\ Sigma}}$

и

${\ displaystyle F ({\ boldsymbol {v}}) = \ int _ {A} v_ {i} f_ {i} \ mathrm {d} x + \ int _ {\ partial A \ setminus \ Sigma} \! \! \! \! \! v_ {i} g_ {i} \ mathrm {d} \ sigma \ qquad {\ boldsymbol {v}} \ in {\ mathcal {U}} _ {\ Sigma}}$

предыдущее неравенство можно записать как

(7)      ${\ displaystyle B ({\ boldsymbol {u}}, {\ boldsymbol {v}}) - F ({\ boldsymbol {v}}) \ geq 0 \ qquad \ forall {\ boldsymbol {v}} \ in {\ mathcal {U}} _ {\ Sigma}}$

Это неравенство является вариационным неравенством для задачи Синьорини .

Смотрите также

• Линейная эластичность
• Вариационное неравенство

Ноты

Ссылки

Исторические ссылки

• Antman, Стюарт (1983), "Влияние эластичности в анализе: современные разработки" , Бюллетень Американского математического общества , 9 (3): 267-291, DOI : 10,1090 / S0273-0979-1983-15185-6 , MR  0714990 , Zbl  0533,73001.
• Duvaut, Georges (1971), "Problèmes unilatéraux en mécanique des milieux continus" (PDF) , Actes du Congrès international des mathématiciens, 1970 , ICM Proceedings , Mathématiques appliquées (E), Histoire et Enseignement (F) - Volume 3, Paris : Готье-Виллар , стр. 71–78.. Краткий исследовательский обзор с описанием области.
• Фичера, Гаэтано (1972), «Краевые задачи теории упругости с односторонними ограничениями», в Flügge, Siegfried ; Трусделл, Клиффорд А. (ред.), Festkörpermechanik / Mechanics of Solids , Handbuch der Physik (Encyclopedia of Physics), VIa / 2 (книга в мягкой обложке, 1984 г.), Берлин- Гейдельберг- Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 391– 424, ISBN 0-387-13161-2, Zbl  0277,73001. Запись в энциклопедии о задачах с односторонними ограничениями (класс краевых задач, к которому принадлежит задача Синьорини) он написал для Handbuch der Physik по приглашению Клиффорда Трусделла .
• Fichera, Gaetano (1995), "La nascita della teoria delle Disquazioni variazionali ricordata dopo trent'anni", Incontro Scientifico italo-spagnolo. Roma, 21 октября 1993 г. , Atti dei Convegni Lincei (на итальянском языке), 114 , Roma : Accademia Nazionale dei Lincei , стр. 47–53. Рождение теории вариационных неравенств, о котором вспоминают тридцать лет спустя (английский перевод названия), представляет собой историческую статью, описывающую начало теории вариационных неравенств с точки зрения ее основателя.
• Fichera, Gaetano (2002), Opere storiche biografiche, разглашающий (на итальянском языке), Napoli : Giannini, p. 491. « Исторические, биографические, разоблачающие труды » в английском переводе: сборник, в котором собраны почти все работы Гаэтано Фичеры в области истории математики и научных исследований.
• Fichera, Gaetano (2004), Opere scelte , Firenze : Edizioni Cremonese (распространено Unione Matematica Italiana ), стр. XXIX + 432 (том 1), стр. VI + 570 (том 2), стр. VI + 583 ( т. 3), в архиве с оригинала на 2009-12-28, ISBN  88-7083-811-0 (том 1), ISBN  88-7083-812-9 (том 2), ISBN  88-7083-813-7 (том 3). « Избранные труды » Гаэтано Фичеры : три тома, в которых собраны его важнейшие математические работы, с биографическим очерком Ольги Александровны Олейник .
• Синьорини, Антонио (1991), Opere scelte , Firenze : Edizioni Cremonese (распространено Unione Matematica Italiana ), стр. XXXI + 695, заархивировано с оригинала 28 декабря 2009 г.. « Избранные произведения » Антонио Синьорини: сборник его наиболее важных работ с введением и комментарием Джузеппе Гриоли .

Исследовательские работы

• Fichera, Gaetano (1963), «Sul проблема эластостатика Синьорини с неоднозначными условиями», Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , 8 (на итальянском языке), 34 (2): 138–142 , Zbl  0128,18305. « Об упругостатической проблеме Синьорини с неоднозначными граничными условиями » (английский перевод названия) - это небольшая исследовательская заметка, объявляющая и описывающая решение проблемы Синьорини.
• Фикера, Гаэтано (1964а), "Problemi elastostatici кон Vincoli unilaterali: IL проблема- ди Синьорини кон ambigue condizioni аль Contorno", Memorie делла Accademia Nazionale дей Линчеи, Classe ди Scienze Fisiche, Matematiche е Naturali , 8 (на итальянском), 7 (2 ): 91–140, Zbl  0146.21204. « Задачи упругости с односторонними ограничениями: задача Синьорини с неоднозначными граничными условиями » (английский перевод названия) - первая статья, в которой доказана теорема существования и единственности для задачи Синьорини.
• Фичера, Гаэтано (1964b), «Задачи упругости с односторонними ограничениями: задача Синьорини с неоднозначными граничными условиями», Seminari dell'istituto Nazionale di Alta Matematica 1962–1963 , Рим : Edizioni Cremonese, стр. 613–679. Английский перевод предыдущей статьи.
• Синьорини, Антонио (1959), «Вопросы нелинейной и полулинейной эластичности», Rendiconti di Matematica e delle sue Applicazioni , 5 (на итальянском языке), 18 : 95–139, Zbl  0091.38006.

• Петросян, Аршак; Шахголиан, Хенрик; Уральцева, Нина (2012), Регулярность свободных границ в задачах типа препятствий. Аспирантура по математике , Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, ISBN 978-0-8218-8794-3.
• Андерссон, Джон (2016), "Оптимальная регулярность для задачи Синьорини и ее свободная граница", Инвент. Математика. , 1 (1): 1–82, arXiv : 1310.2511 , Bibcode : 2016InMat.204 .... 1A , doi : 10.1007 / s00222-015-0608-6.

внешние ссылки

• Барбу В. (2001) [1994], "Проблема Синьорини" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Алессио Фигалли, О глобальных однородных решениях проблемы Синьорини ,