Линейная эластичность - Linear elasticity

Линейная упругость - это математическая модель того, как твердые объекты деформируются и подвергаются внутреннему напряжению из-за заданных условий нагружения. Это упрощение более общей нелинейной теории упругости и раздела механики сплошных сред .

Фундаментальные «линеаризирующие» допущения линейной упругости: бесконечно малые деформации или «малые» деформации (или деформации) и линейные отношения между компонентами напряжения и деформации. Кроме того, линейная упругость действительна только для напряженных состояний, которые не вызывают текучести .

Эти предположения разумны для многих инженерных материалов и сценариев инженерного проектирования. Поэтому линейная упругость широко используется в структурном анализе и инженерном проектировании, часто с помощью анализа методом конечных элементов .

Математическая формулировка

Уравнения , определяющие линейную упругую краевую основаны на три тензорных дифференциальных уравнений с частными для баланса импульса и шесть деформации бесконечно малого - смещения отношений. Система дифференциальных уравнений дополняется набором линейных алгебраических определяющих соотношений .

Прямая тензорная форма

В прямой тензорной форме, которая не зависит от выбора системы координат, эти основные уравнения имеют следующий вид:

  • Материальные уравнения . Для эластичных материалов закон Гука представляет поведение материала и связывает неизвестные напряжения и деформации. Общее уравнение для закона Гука имеет вид

где - тензор напряжений Коши , - тензор бесконечно малых деформаций , - вектор смещения , - тензор жесткости четвертого порядка , - объемная сила на единицу объема, - массовая плотность, представляет оператор набла , представляет транспонирование , представляет собой вторая производная по времени и является скалярным произведением двух тензоров второго порядка (подразумевается суммирование по повторяющимся индексам).

Декартова форма координат

Примечание: ниже используется соглашение Эйнштейна о суммировании повторяющихся индексов.

Выраженные в терминах компонентов по отношению к прямоугольной декартовой системе координат , основные уравнения линейной упругости:

где нижний индекс является сокращением и указывает , - тензор напряжений Коши , - плотность силы тела, - плотность массы, - это смещение.
Это 3 независимых уравнения с 6 независимыми неизвестными (напряжениями).
где напряжение. Это 6 независимых уравнений, связывающих деформации и смещения с 9 независимыми неизвестными (деформации и смещения).
где - тензор жесткости. Это 6 независимых уравнений, связывающих напряжения и деформации. Требование симметрии тензоров напряжений и деформаций приводит к равенству многих упругих постоянных, уменьшая количество различных элементов до 21 .

Упругостатическая краевая задача для изотропно-однородной среды представляет собой систему из 15 независимых уравнений и равного числа неизвестных (3 уравнения равновесия, 6 уравнений деформации-смещения и 6 определяющих уравнений). Задав граничные условия, краевая задача полностью определена. Для решения системы можно использовать два подхода в соответствии с граничными условиями краевой задачи: формулировку смещения и формулировку напряжения .

Цилиндрическая форма координат

В цилиндрических координатах ( ) уравнения движения имеют вид

Соотношения деформация-перемещение:

и определяющие соотношения такие же , как и в декартовой системе координат, за исключением того, что индексы , , теперь стоят на , , соответственно.

Сферическая координатная форма

В сферических координатах ( ) уравнения движения имеют вид

Сферические координаты ( r , θ , φ ), обычно используемые в физике : радиальное расстояние r , полярный угол θ ( тета ) и азимутальный угол φ ( фи ). Вместо r часто используется символ ρ ( rho ) .

Тензор деформации в сферических координатах имеет вид

(An) изотропные (in) однородные среды

В изотропных средах тензор жесткости дает соотношение между напряжениями (результирующими внутренними напряжениями) и деформациями (результирующими деформациями). Для изотропной среды тензор жесткости не имеет предпочтительного направления: приложенная сила будет давать одинаковые смещения (относительно направления силы) независимо от направления приложения силы. В изотропном случае тензор жесткости можно записать:

где - дельта Кронекера , K   - объемный модуль (или несжимаемость), и - модуль сдвига (или жесткость), два модуля упругости . Если среда неоднородна, изотропная модель имеет смысл, если среда либо кусочно-постоянная, либо слабо неоднородная; в сильно неоднородной гладкой модели необходимо учитывать анизотропию. Если среда однородна , то модули упругости не будут зависеть от положения в среде. Материальное уравнение теперь можно записать как:

Это выражение разделяет напряжение на скалярную часть слева, которая может быть связана со скалярным давлением, и бесследную часть справа, которая может быть связана с поперечными силами. Более простое выражение:

где λ - первый параметр Ламе . Поскольку определяющее уравнение представляет собой просто набор линейных уравнений, деформация может быть выражена как функция напряжений как:

что опять же, скалярная часть слева и бесследная часть сдвига справа. Проще:

где это коэффициент Пуассона и является модуль Юнга .

Эластостатика

Эластостатика - это исследование линейной упругости в условиях равновесия, при котором все силы, действующие на упругое тело, в сумме равны нулю, а смещения не являются функцией времени. Тогда уравнения равновесия имеют вид

В этом разделе будет обсуждаться только изотропный однородный случай.

Формулировка смещения

В этом случае перемещения задаются всюду на границе. В этом подходе деформации и напряжения исключаются из формулировки, оставляя смещения в качестве неизвестных, которые необходимо решить в основных уравнениях. Во-первых, уравнения деформации-смещения подставляются в основные уравнения (закон Гука), исключая деформации как неизвестные:

Дифференцирование (предполагая , что и пространственно однородные) дает:

Подстановка в уравнение равновесия дает:

или (замена двойных (фиктивных) (= суммирование) индексов k, k на j, j и замена индексов с ij на ji после, в силу теоремы Шварца )

где и - параметры Ламе . Таким образом, остаются неизвестными только смещения, отсюда и название этой формулировки. Основные уравнения, полученные таким образом, называются уравнениями упругости , частным случаем уравнений Навье – Коши, приведенных ниже.

После того, как поле смещения вычислено, смещения могут быть заменены уравнениями деформации-смещения для решения деформаций, которые позже используются в определяющих уравнениях для определения напряжений.

Бигармоническое уравнение

Уравнение упругости можно записать:

Принимая во внимание расходимость обеих частей уравнения упругости и предполагая, что объемные силы имеют нулевую расходимость (однородную в области) ( ), имеем

Отмечая, что суммированные индексы не обязательно должны совпадать и что частные производные коммутируют, два дифференциальных члена считаются одинаковыми, и мы имеем:

из чего заключаем, что:

Взяв лапласиан обеих частей уравнения упругости и допуская вдобавок , мы имеем

В уравнении дивергенции первый член слева равен нулю (примечание: опять же, суммированные индексы могут не совпадать), и мы имеем:

из чего заключаем, что:

или в безкоординатной записи, которая представляет собой просто бигармоническое уравнение в .

Формулировка стресса

В этом случае поверхностные тяги задаются всюду на границе поверхности. В этом подходе деформации и смещения устраняются, оставляя напряжения в качестве неизвестных, которые необходимо решить в основных уравнениях. После того, как поле напряжений найдено, деформации затем находятся с использованием определяющих уравнений.

Необходимо определить шесть независимых компонентов тензора напряжений, однако в формулировке смещения необходимо определить только три компонента вектора смещения. Это означает, что на тензор напряжений должны быть наложены некоторые ограничения, чтобы уменьшить количество степеней свободы до трех. Используя определяющие уравнения, эти ограничения выводятся непосредственно из соответствующих ограничений, которые должны выполняться для тензора деформации, который также имеет шесть независимых компонентов. Ограничения на тензор деформации выводятся непосредственно из определения тензора деформации как функции векторного поля смещения, что означает, что эти ограничения не вводят никаких новых концепций или информации. Наиболее легко понять ограничения на тензор деформации. Если упругая среда визуализируется как набор бесконечно малых кубов в недеформированном состоянии, то после деформации среды произвольный тензор деформации должен давать ситуацию, в которой искаженные кубы все еще подходят друг к другу без перекрытия. Другими словами, для данной деформации должно существовать непрерывное векторное поле (смещение), из которого может быть получен этот тензор деформации. Ограничения на тензор деформации, которые требуются, чтобы гарантировать, что это так, были обнаружены Сен-Венаном и называются « уравнениями совместимости Сен-Венана ». Это 81 уравнение, 6 из которых являются независимыми нетривиальными уравнениями, связывающими различные компоненты деформации. Они выражаются в индексных обозначениях как:

Затем деформации в этом уравнении выражаются через напряжения с использованием определяющих уравнений, что дает соответствующие ограничения на тензор напряжений. Эти ограничения на тензор напряжений известны как уравнения совместимости Бельтрами-Мичелла :

В особой ситуации, когда объемная сила однородна, приведенные выше уравнения сводятся к

Необходимым, но недостаточным условием совместимости в этой ситуации является или .

Эти ограничения вместе с уравнением равновесия (или уравнением движения для эластодинамики) позволяют вычислить поле тензора напряжений. После того, как поле напряжений было вычислено из этих уравнений, деформации могут быть получены из определяющих уравнений, а поле смещения - из уравнений деформации-смещения.

Альтернативный метод решения состоит в том, чтобы выразить тензор напряжений через функции напряжения, которые автоматически дают решение уравнения равновесия. Тогда функции напряжения подчиняются одному дифференциальному уравнению, которое соответствует уравнениям совместимости.

Решения для эластостатических случаев

Другие решения:

  • Точечная сила внутри бесконечного изотропного полупространства.
  • Точечная сила на поверхности изотропного полупространства.
  • Контакт двух упругих тел: решение Герца (см. Код Matlab ). См. Также страницу о механике контакта .

Эластодинамика с точки зрения перемещений

Эластодинамика изучает упругие волны и включает линейную упругость с изменением во времени. Упругая волна представляет собой тип механической волны , которая распространяется в упругих или вязкоупругих материалах. Эластичность материала обеспечивает возвращающую силу волны. Когда они возникают на Земле в результате землетрясения или другого возмущения, упругие волны обычно называют сейсмическими волнами .

Уравнение количества движения - это просто уравнение равновесия с дополнительным инерционным членом:

Если материал подчиняется анизотропному закону Гука (с однородным по всему материалу тензором жесткости), получается уравнение смещения эластодинамики :

Если материал изотропный и однородный, получается уравнение Навье – Коши :

Уравнение упругодинамической волны также может быть выражено как

куда

является акустическим дифференциальным оператором и является дельтой Кронекера .

В изотропных средах тензор жесткости имеет вид

где - объемный модуль (или несжимаемость), а - модуль сдвига (или жесткость), два модуля упругости . Если материал однороден (т. Е. Тензор жесткости постоянен по всему материалу), акустический оператор принимает следующий вид:

Для плоских волн указанный выше дифференциальный оператор становится акустическим алгебраическим оператором :

куда

являются собственными значениями из с собственными векторами параллельных и ортогональных к направлению распространения , соответственно. Связанные волны называются продольными и поперечными упругими волнами. В сейсмологической литературе соответствующие плоские волны называются P-волнами и S-волнами (см. Сейсмические волны ).

Упругодинамика с точки зрения напряжений

Исключение смещений и деформаций из основных уравнений приводит к уравнению Игначака упругодинамики

В случае локальной изотропии это сводится к

Основные характеристики этой формулировки включают: (1) избегает градиентов податливости, но вводит градиенты массовой плотности; (2) выводится из вариационного принципа; (3) это полезно для решения начально-краевых задач тяги, (4) позволяет тензорную классификацию упругих волн, (5) предлагает ряд приложений в задачах распространения упругих волн; (6) можно распространить на динамику классических или микрополярных твердых тел с взаимодействующими полями различных типов (термоупругие, насыщенные флюидом пористые, пьезоэлектроупругие ...), а также на нелинейные среды.

Анизотропные однородные среды

Для анизотропных сред тензор жесткости более сложный. Симметрия тензора напряжений означает, что существует не более 6 различных элементов напряжения. Точно так же существует не более 6 различных элементов тензора деформации . Следовательно, тензор жесткости четвертого порядка можно записать как матрицу (тензор второго порядка). Обозначение Фойгта является стандартным отображением для тензорных индексов,

В этих обозначениях матрицу упругости для любой линейно-упругой среды можно записать в виде:

Как показано, матрица является симметричной, это является результатом существования функции плотности энергии деформации, которая удовлетворяет . Следовательно, существует не более 21 различных элементов .

Изотропный частный случай имеет 2 независимых элемента:

В простейшем анизотропном случае кубической симметрии есть 3 независимых элемента:

Случай поперечной изотропии , также называемой полярной анизотропией (с единственной осью (3-осью) симметрии), имеет 5 независимых элементов:

Когда поперечная изотропия мала (то есть близка к изотропии), для формул для волновых скоростей удобна альтернативная параметризация, использующая параметры Томсена .

Корпус ортотропии (симметрия кирпича) имеет 9 независимых элементов:

Эластодинамика

Уравнение упругодинамической волны для анизотропных сред можно представить в виде

куда

является акустическим дифференциальным оператором и является дельтой Кронекера .

Плоские волны и уравнение Кристоффеля

Плоская волна имеет вид

с единичной длины. Это является решением волнового уравнения с нулевым заставляя, тогда и только тогда , когда и составляет собственное значение / собственный вектора пару с акустическим алгебраическим оператором

Это условие распространения (также известное как уравнение Кристоффеля ) можно записать как

где обозначает направление распространения, а - фазовая скорость.

Смотрите также

использованная литература