Равенство (математика) - Equality (mathematics)

В математике , равенство является соотношение между двумя величинами или, в более общем плане двух математических выражений , утверждать , что величины имеют то же значение, или что выражения представляют собой один и тот же математический объект . Равенство между A и B записывается A  =  B , и выраженный равен B . Символ « = » называется « знаком равенства ». Два не равных объекта называются различными .

Например:

• ${\ displaystyle x = y}$означает, что x и y обозначают один и тот же объект.
• В идентичности означает , что если х представляет собой любое число, то эти два выражения имеют одинаковое значение. Это также можно интерпретировать как утверждение, что две стороны знака равенства представляют одну и ту же функцию .${\ Displaystyle (х + 1) ^ {2} = х ^ {2} + 2x + 1}$
• ${\ Displaystyle \ {х \ середина Р (х) \} = \ {х \ середина Q (х) \}}$тогда и только тогда, когда Это утверждение, в котором используется нотация построителя множеств , означает, что если элементы, удовлетворяющие свойству, такие же, как элементы, удовлетворяющие, тогда два использования нотации построителя множеств определяют один и тот же набор. Это свойство часто выражается как «два набора, которые имеют одинаковые элементы, равны». Это одна из обычных аксиом теории множеств , называемая аксиомой экстенсиональности .${\ Displaystyle P (x) \ Leftrightarrow Q (x).}$${\ Displaystyle P (x)}$${\ Displaystyle Q (х),}$

Этимология

Этимологию этого слова от латинского aequālis ( «равно», «как», «сопоставимы», «подобные») от aequus ( «равный», «уровень», «ярмарка», «просто»).

Основные свойства

• Свойство замещения : для любых величин a и b и любого выражения F ( x ), если a = b , то F ( a ) = F ( b ) (при условии, что обе стороны правильно сформированы ).

Вот некоторые конкретные примеры этого:

• Для любых действительных чисел a , b и c , если a = b , то a + c = b + c (здесь F ( x ) - это x + c );
• Для любых действительных чисел a , b и c , если a = b , то a - c = b - c (здесь F ( x ) - это x - c );
• Для любых действительных чисел a , b и c , если a = b , то ac = bc (здесь F ( x ) - это xc );
• Для любых действительных чисел a , b и c , если a = b и c не равно нулю , то a / c = b / c (здесь F ( x ) - это x / c ).

• Отражающее свойство : Для любой величины a , a = a .

• Симметричное свойство : для любых величин a и b , если a = b , то b = a .

• Переходное свойство : для любых величин a , b и c , если a = b и b = c , то a = c .

Эти три свойства превращают равенство в отношение эквивалентности . Первоначально они были включены в аксиомы Пеано для натуральных чисел. Хотя симметричные и транзитивные свойства часто рассматриваются как фундаментальные, их можно вывести из свойств замещения и рефлексивных свойств.

Равенство как предикат

Когда A и B не определены полностью или зависят от некоторых переменных , равенство является утверждением , которое может быть истинным для некоторых значений и ложным для других значений. Равенство - это бинарное отношение (т. Е. Предикат с двумя аргументами ), которое может производить значение истинности ( ложное или истинное ) из своих аргументов. В компьютерном программировании его вычисление из двух выражений известно как сравнение .

Идентичности

Когда A и B можно рассматривать как функции некоторых переменных, тогда A  =  B означает, что A и B определяют одну и ту же функцию. Такое равенство функций иногда называют тождеством . Пример: Иногда, но не всегда, личность записывается с тройной чертой :${\ displaystyle \ left (x + 1 \ right) \ left (x + 1 \ right) = x ^ {2} + 2x + 1.}$${\ Displaystyle \ влево (х + 1 \ вправо) \ влево (х + 1 \ вправо) \ эквив х ^ {2} + 2x + 1.}$

Уравнения

Уравнение является задачей нахождения значений некоторых переменных, называемого неизвестными , для которых указанного равенство верно. Термин «уравнение» может также относиться к равенству отношения , которое выполняется только для значений переменных , что один заинтересован. Например, это уравнение на единичной окружности . ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$

Не существует стандартной нотации, которая отличает уравнение от тождества или другого использования отношения равенства: нужно угадывать подходящую интерпретацию из семантики выражений и контекста. Утверждается, что идентичность истинна для всех значений переменных в данной области. «Уравнение» иногда может означать идентичность, но чаще всего оно определяет подмножество пространства переменных как подмножество, в котором уравнение истинно.

Сравнения

В некоторых случаях можно рассматривать как равные два математических объекта, эквивалентных только по рассматриваемым свойствам. В геометрии, например, две геометрические формы считаются равными, если одну можно перемещать, чтобы она совпадала с другой. Слово конгруэнтность (и связанный с ним символ ) также используется для обозначения этого вида равенства. ${\ displaystyle \ cong}$

Примерное равенство

Есть некоторые логические системы , в которых нет понятия равенства. Это отражает неразрешимость равенства двух действительных чисел , определяемого формулами, включающими целые числа , основные арифметические операции , логарифм и экспоненциальную функцию . Другими словами, не может быть никакого алгоритма для определения такого равенства.

Бинарное отношение « примерно равно » (обозначается символом ) между действительными числами или другими вещами, даже если более точно определена, не является транзитивным (так как многие небольшие различия могут добавить до что - то большое). Однако, равенство почти всюду является транзитивным. ${\ Displaystyle \ приблизительно}$

Проверяемое сомнительное равенство можно обозначить символом.

Связь с эквивалентностью и изоморфизмом

Рассматриваемое как отношение, равенство является архетипом более общей концепции отношения эквивалентности на множестве: тех бинарных отношений, которые являются рефлексивными , симметричными и транзитивными . Отношение тождества - это отношение эквивалентности. Наоборот, пусть R - отношение эквивалентности, и обозначим через x ^R класс эквивалентности x , состоящий из всех элементов z, таких что x R z . Тогда отношение х R Y эквивалентно с равенством х ^R  =  у ^R . Отсюда следует, что равенство является наилучшим отношением эквивалентности на любом множестве S в том смысле, что это отношение имеет наименьшие классы эквивалентности (каждый класс сводится к одному элементу).

В некоторых контекстах равенство резко отличается от эквивалентности или изоморфизма . Например, можно отличить дроби от рациональных чисел , последние являются классами эквивалентности дробей: дроби и различаются как дроби (как разные строки символов), но они «представляют» одно и то же рациональное число (одна и та же точка на числовой прямой). ). Это различие дает начало понятию факторного множества . ${\ displaystyle 1/2}$${\ displaystyle 2/4}$

Аналогично множества

${\ displaystyle \ {{\ text {A}}, {\ text {B}}, {\ text {C}} \}}$ а также ${\ displaystyle \ {1,2,3 \}}$

не являются равными наборами - первое состоит из букв, а второе - из чисел, но оба они представляют собой наборы из трех элементов и, следовательно, изоморфны, что означает, что между ними существует взаимно однозначное соответствие . Например

${\ displaystyle {\ text {A}} \ mapsto 1, {\ text {B}} \ mapsto 2, {\ text {C}} \ mapsto 3.}$

Однако есть и другие варианты изоморфизма, например

${\ displaystyle {\ text {A}} \ mapsto 3, {\ text {B}} \ mapsto 2, {\ text {C}} \ mapsto 1,}$

и эти множества нельзя идентифицировать, не сделав такого выбора - любое утверждение, которое их идентифицирует, «зависит от выбора идентификации». Это различие между равенством и изоморфизмом имеет фундаментальное значение в теории категорий и является одной из причин развития теории категорий.

Логические определения

Лейбниц охарактеризовал понятие равенства следующим образом:

Для любых x и y , x = y тогда и только тогда , когда для любого предиката P , P ( x ) тогда и только тогда, когда P ( y ).

Равенство в теории множеств

Равенство множеств аксиоматизируется в теории множеств двумя разными способами, в зависимости от того, основаны ли аксиомы на языке первого порядка с равенством или без него.

Установите равенство на основе логики первого порядка с помощью равенства

В логике первого порядка с равенством аксиома протяженности утверждает, что два набора, содержащие одинаковые элементы, являются одним и тем же набором.

• Аксиома логики: x = y ⇒ ∀ z , ( z ∈ x ⇔ z ∈ y )
• Аксиома логики: x = y ⇒ ∀ z , ( x ∈ z ⇔ y ∈ z )
• Аксиома теории множеств: (∀ z , ( z ∈ x ⇔ z ∈ y )) ⇒ x = y

Включение половины работы в логику первого порядка можно рассматривать как простое удобство, как отмечает Леви.

«Причина, по которой мы беремся за исчисление предикатов первого порядка с равенством, заключается в удобстве; тем самым мы экономим труд по определению равенства и доказательству всех его свойств; теперь это бремя ложится на логику».

Установите равенство на основе логики первого порядка без равенства

В логике первого порядка без равенства, два набора определяются равными , если они содержат одни и те же элементы. Тогда аксиома экстенсиональности утверждает, что два равных множества содержатся в одних и тех же множествах.

• Определение теории множеств: « x = y » означает ∀ z , ( z ∈ x ⇔ z ∈ y )
• Аксиома теории множеств: x = y ⇒ ∀ z , ( x ∈ z ⇔ y ∈ z )

Смотрите также

• Расширяемость
• Теория гомотопического типа
• Неравенство
• Список математических символов
• Логическое равенство
• Пропорциональность (математика)

Примечания

использованная литература

внешние ссылки

• "Аксиомы равенства" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]