Метрическая карта - Metric map

В математической теории метрических пространств , метрика карта является функцией между метрическими пространствами , которые не увеличивают никаких расстояний (такие функции всегда непрерывны ). Эти карты являются морфизмами в категории метрических пространств , Met (Исбелла 1964). Их также называют липшицевыми функциями с константой Липшица 1, нерасширяющими отображениями , нерасширяющими отображениями , слабыми сжатиями или короткими отображениями .

В частности, предположим , что X и Y метрические пространства и ƒ является функцией от X до Y . Таким образом , мы имеем метрическую карту , когда для любых точек х и у в X ,

${\ displaystyle d_ {Y} (f (x), f (y)) \ leq d_ {X} (x, y). \!}$

Здесь d _X и d _Y обозначают метрики на X и Y соответственно.

Примеры

Рассмотрим метрическое пространство с евклидовой метрикой . Тогда функция является метрической картой, так как для , . ${\ displaystyle [0,1 / 2]}$${\ Displaystyle е (х) = х ^ {2}}$${\ Displaystyle х \ neq y}$${\ Displaystyle | f (x) -f (y) | = | x + y || ху | <| ху |}$

Категория метрических карт

Композит метрических карт также метрическая карта, а тождественное отображение ID _M   : M → M на метрическом пространстве М является метрикой на карту. Таким образом, метрические пространства вместе с метрическими отображениями образуют категорию Met . Met - подкатегория категории метрических пространств и липшицевых функций. Отображение ƒ между метрическими пространствами является изометрией тогда и только тогда, когда это биективное метрическое отображение, обратное которому также является метрическим отображением. Таким образом, изоморфизмы в Met - это в точности изометрии.

Строго метрические карты

Можно сказать, что строго метрическое, если неравенство строгое для любых двух разных точек. Таким образом, сжатие отображения строго метрическое, но не обязательно наоборот. Обратите внимание, что изометрия никогда не бывает строго метрической, за исключением вырожденного случая пустого пространства или одноточечного пространства.

Многозначная версия

Отображение метрического пространства X в семейство непустых подмножеств X называется липшицевым, если существует такое, что ${\ displaystyle T: X \ to {\ mathcal {N}} (X)}$${\ displaystyle L \ geq 0}$

${\ Displaystyle H (Tx, Ty) \ leq Ld (x, y),}$

для всех , где H - расстояние Хаусдорфа . Когда , T называется нерастягивающим и когда , Т называется сжатием . ${\ displaystyle x, y \ in X}$${\ displaystyle L = 1}$${\ Displaystyle L <1}$

Смотрите также

• Фактор растяжения
• Карта субподряда

Рекомендации

• Исбелл, младший (1964). «Шесть теорем об инъективных метрических пространствах» . Комментарий. Математика. Helv . 39 : 65–76. DOI : 10.1007 / BF02566944 .