Обычный темперамент - Regular temperament

Некоторые примеры линейных темпераментов с генератором, близким к пятой. «линейные темпераменты» - это обычные темпераменты второго ранга, с одним генератором, как показано, а другим - октавой. (Милн 2007).

Регулярный темперамент - это любая умеренная система музыкальной настройки , при которой каждое отношение частот может быть получено как произведение мощностей конечного числа генераторов или генерирующих отношений частот. Например, в 12-TET , музыкальной системе, наиболее часто используемой в западном мире, генератор - это темперированная квинта (700 центов), которая является основой круга квинт .

Когда нужны только два генератора, один из которых октавный, это называется «линейный темперамент». Самый известный пример линейных темпераментов - это одна темперация , где порождающие интервалы обычно задаются в терминах слегка сглаженной пятой части и октавы. Другие линейные темпераменты включают раскольнический темперамент от Германа фон Гельмгольца и чуда темперамента .

Математическое описание

Если образующие - все простые числа до данного простого числа p , у нас есть то, что называется p - ограничение только интонации . Иногда некоторое иррациональное число близко к одному из этих простых чисел является замещенным (пример закалки ) , чтобы благоприятствовать другие простые числа, как и в двенадцати тона равномерной темперации , где 3 смягчаются до 2 19 / 12 в пользу 2, или в четверти запятой Медиантной где- закаляется до 2 4 √ 5 в пользу 2 и 5.

В математической терминологии произведения этих генераторов определяют свободную абелеву группу . Число независимых образующих - это ранг абелевой группы . Системы настройки первого ранга - это равные темпераменты , все из которых могут быть охвачены только одним генератором, хотя они не обязательно должны быть равными темпераментами на основе целых чисел. Неоктавные шкалы Венди Карлос , такие как шкала Alpha , используют один генератор, который не суммируется до октавы. У темперамента второго ранга есть два генератора. Следовательно, один - это темперамент второго ранга.

При изучении обычных темпераментов может быть полезно рассматривать темперамент как имеющий карту от p -limit просто интонации (для некоторого простого p ) к набору умеренных интервалов. Чтобы правильно классифицировать размерность темперамента, необходимо определить, сколько из данных генераторов являются независимыми, потому что их описание может содержать избыточность. Другой способ рассмотрения этой проблемы состоит в том, что ранг темперамента должен быть рангом его изображения на этой карте.

Например, настройщик клавесина может подумать, что четверть-запятая означает, что одна настройка имеет три генератора - октаву, единственную мажорную третью (5: 4) и квинтэссенцию с темперированной четвертью запятой, - но потому что четыре последовательных темперированных квинты производят только мажорную в-третьих, основная треть избыточна, сводя ее к темпераменту второго ранга.

К карте можно применить другие методы линейной и полилинейной алгебры . Например, ядро карты (также известное как «пустое пространство») состоит из p- предельных интервалов, называемых запятыми , которые являются свойством, полезным при описании темпераментов.

Внешние ссылки