Теорема Крулля об основном идеале - Krull's principal ideal theorem

В коммутативной алгебре , основная теорема идеала Крулля , названная в честь Вольфганга Крулля (1899-1971), дает оценку на высоту от более главного идеала в коммутативном нётеровом кольце . Теорема иногда упоминается под немецким названием Krulls Hautilealsatz ( Satz, что означает «предложение» или «теорема»).

А именно, если R - нетерово кольцо, а I - главный собственный идеал кольца R , то каждый минимальный простой идеал над I имеет высоту не более единицы.

Эту теорему можно обобщить на не главные идеалы , и результат часто называют теоремой Крулля о высоте . Это говорит о том, что если R - нетерово кольцо, а I - собственный идеал, порожденный n элементами кольца R , то каждое минимальное простое число над I имеет высоту не более n . Верно и обратное: если простой идеал имеет высоту n , то это минимальный простой идеал над идеалом, порожденным n элементами.

Теорема о главном идеале и обобщение, теорема о высоте, следуют из основной теоремы теории размерности в коммутативной алгебре (см. Также ниже прямые доказательства). Коммутативная алгебра Бурбаки дает прямое доказательство. В « Коммутативных кольцах» Каплански есть доказательство, принадлежащее Дэвиду Рису .

Доказательства

Доказательство теоремы о главном идеале

Пусть - нётерово кольцо, x - его элемент и минимальное простое число над x . Заменив A на локализацию , мы можем считать локальным с максимальным идеалом . Пусть будет строго меньше простой идеал , и пусть , что это - первичный идеал называется п ей символической власти из . Он образует нисходящую цепочку идеалов . Таким образом, в кольце существует нисходящая цепочка идеалов . Теперь радикал - это пересечение всех минимальных простых идеалов, содержащих ; среди них. Но есть единственный максимальный идеал и при этом . Поскольку содержит некоторую степень своего радикала, следует, что кольцо является артиновым и, следовательно, цепь стабилизируется, и поэтому существует некоторое n такое, что . Это подразумевает: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle А _ {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} \ subsetneq {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {q}} ^ {(n)} = {\ mathfrak {q}} ^ {n} A _ {\ mathfrak {q}} \ cap A}$${\ displaystyle {\ mathfrak {q}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {q}}}$${\ Displaystyle A \ supset {\ mathfrak {q}} \ supset {\ mathfrak {q}} ^ {(2)} \ supset {\ mathfrak {q}} ^ {(3)} \ supset \ cdots}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} ^ {(п)} + (х) / (х)}$${\ displaystyle {\ overline {A}} = A / (x)}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {(x)}}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {(x)}} = {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle (х)}$${\ displaystyle {\ overline {A}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} ^ {(п)} + (х) / (х)}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} ^ {(n)} + (x) = {\ mathfrak {q}} ^ {(n + 1)} + (x)}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {q}} ^ {(n)} = {\ mathfrak {q}} ^ {(n + 1)} + x \, {\ mathfrak {q}} ^ {(n)}}$ ,

от того , является -примарным (если в , то с и . Поскольку минимален над , и поэтому предполагает в .) Теперь, Факторизуя из обоего сторон по урожайности . Тогда по лемме Накаямы (которая гласит, что конечно порожденный модуль M равен нулю, если для некоторого идеала I содержится в радикале), мы получаем ; т.е. и таким образом . Снова используя лемму Накаямы, и является артиновым кольцом; таким образом, высота равна нулю. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} ^ {(п)}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {q}}}$${\ displaystyle y}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} ^ {(п)}}$${\ displaystyle y = z + ax}$${\ Displaystyle г \ ин {\ mathfrak {д}} ^ {(п + 1)}}$${\ displaystyle a \ in A}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle х \ not \ in {\ mathfrak {q}}}$${\ displaystyle ax \ in {\ mathfrak {q}} ^ {(n)}}$${\ displaystyle a}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} ^ {(п)}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} ^ {(п + 1)}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {q}} ^ {(n)} / {\ mathfrak {q}} ^ {(n + 1)} = (x) {\ mathfrak {q}} ^ {(n)} / {\ mathfrak {q}} ^ {(n + 1)}}$${\ displaystyle M = IM}$${\ displaystyle M = {\ mathfrak {q}} ^ {(n)} / {\ mathfrak {q}} ^ {(n + 1)} = 0}$${\ displaystyle {\ mathfrak {q}} ^ {(n)} = {\ mathfrak {q}} ^ {(n + 1)}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {q}} ^ {n} A _ {\ mathfrak {q}} = {\ mathfrak {q}} ^ {n + 1} A _ {\ mathfrak {q}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} ^ {n} А _ {\ mathfrak {q}} = 0}$${\ Displaystyle А _ {\ mathfrak {q}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {q}}}$${\ Displaystyle \ квадрат}$

Доказательство теоремы о высоте

Теорема Крулля о высоте может быть доказана как следствие теоремы о главном идеале индукцией по числу элементов. Пусть - элементы в , минимальное простое число над и такой простой идеал, что строго между ними нет простого числа. Заменив локализацией, мы можем предположить, что это локальное кольцо; обратите внимание, что мы тогда имеем . По минимальности не может содержать все ; смены метки индексов, скажем, . Поскольку каждый содержащий простой идеал находится между и , и поэтому мы можем написать для каждого , ${\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {n}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} \ subsetneq {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle А _ {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle (А, {\ mathfrak {p}})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} = {\ sqrt {(x_ {1}, \ dots, x_ {n})}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {q}}}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle x_ {1} \ not \ in {\ mathfrak {q}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} + (x_ {1})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {q}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle {\ sqrt {{\ mathfrak {q}} + (x_ {1})}} = {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle i \ geq 2}$

${\ displaystyle x_ {i} ^ {r_ {i}} = y_ {i} + a_ {i} x_ {1}}$

с и . Теперь рассмотрим кольцо и соответствующую ему цепь . Если - минимальное простое число над , то содержит и, таким образом ; то есть является минимальным простым числом над и, следовательно, по теореме Крулля о главном идеале, является минимальным простым числом (над нулем); является минимальным простым числом над . По индуктивному предположению, а значит . ${\ displaystyle y_ {i} \ in {\ mathfrak {q}}}$${\ displaystyle a_ {i} \ in A}$${\ displaystyle {\ overline {A}} = A / (y_ {2}, \ dots, y_ {n})}$${\ Displaystyle {\ overline {\ mathfrak {q}}} \ subset {\ overline {\ mathfrak {p}}}}$${\ displaystyle {\ overline {\ mathfrak {r}}}}$${\ displaystyle {\ overline {x_ {1}}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {r}}}$${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2} ^ {r_ {2}}, \ dots, x_ {n} ^ {r_ {n}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {r}} = {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ overline {\ mathfrak {p}}}}$${\ displaystyle {\ overline {x_ {1}}}}$${\ displaystyle {\ overline {\ mathfrak {q}}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {q}}}$${\ displaystyle (y_ {2}, \ dots, y_ {n})}$${\ Displaystyle \ OperatorName {HT} ({\ mathfrak {q}}) \ Leq N-1}$${\ Displaystyle \ OperatorName {HT} ({\ mathfrak {p}}) \ Leq N}$${\ Displaystyle \ квадрат}$

Рекомендации

• Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии . Тексты для выпускников по математике. 150 . Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1 . ISBN   0-387-94268-8 .
• Мацумура, Хидеюки (1970), Коммутативная алгебра , Нью-Йорк: Бенджамин , см., в частности, раздел (12.I), с. 77
• http://www.math.lsa.umich.edu/~hochster/615W10/supDim.pdf