Теорема Пуанкаре – Биркгофа – Витта - Poincaré–Birkhoff–Witt theorem

В математике , более конкретно в теории алгебр Ли , теорема Пуанкаре – Биркгофа – Витта (или теорема PBW ) является результатом, дающим явное описание универсальной обертывающей алгебры алгебры Ли. Он назван в честь Анри Пуанкаре , Гарретта Биркгофа и Эрнста Витта .

Термины м.ч. типа теорема и П теорема может также относиться к различным аналогам исходной теоремы, сравнивая отфильтрованный алгебра с ассоциированной градуированной алгеброй, в частности , в области квантовых групп .

Формулировка теоремы

Напомним, что любое векторное пространство V над полем имеет базис ; это набор S таким образом, что любой элемент из V является уникальной (конечной) линейной комбинацией элементов S . В формулировке теоремы Пуанкаре – Биркгофа – Витта мы рассматриваем базы, элементы которых тотально упорядочены некоторым соотношением, которое мы обозначим ≤.

Если L является алгеброй Ли над полем К , пусть ч обозначит канонический K - линейное отображение из L в универсальные обертывающую алгебре U ( L ).

Теорема . Пусть L алгебра Ли над К и X вполне упорядоченный базис L . Каноническое мономиальная над Х представляет собой конечную последовательность ( х ₁ , х ₂ , ..., х _п ) элементов X , который не убывает в порядке ≤, то есть х ₁ ≤ х ₂ ≤ ... ≤ х _п . Продолжим h на все канонические мономы следующим образом: если ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) канонический моном, пусть

{\ displaystyle h (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = h (x_ {1}) \ cdot h (x_ {2}) \ cdots h (x_ {n}). }

Тогда ч является инъективна на множестве канонических одночленов и образ этого множества образует базис для U ( L ) , как K -векторного пространство. ${\ Displaystyle \ {час (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) | x_ {1} \ leq ... \ leq x_ {n} \}}$

Иначе говоря, рассмотрим Y = h ( X ). У полностью упорядочен по наведенному упорядочению из X . Множество одночленов

{\ displaystyle y_ {1} ^ {k_ {1}} y_ {2} ^ {k_ {2}} \ cdots y _ {\ ell} ^ {k _ {\ ell}}}

где y ₁ < y ₂ <... < y _n - элементы Y , а показатели степени неотрицательны , вместе с мультипликативной единицей 1 образуют базис для U ( L ). Обратите внимание, что единичный элемент 1 соответствует пустому каноническому одночлену. Затем теорема утверждает, что эти одночлены составляют основу U ( L ) как векторного пространства. Легко видеть, что эти мономы порождают U ( L ); содержание теоремы состоит в том, что они линейно независимы.

Мультипликативная структура U ( L ) определяется структурными константами в базисе X , то есть такими коэффициентами , что ${\ displaystyle c_ {u, v} ^ {x}}$

{\ displaystyle [u, v] = \ sum _ {x \ in X} c_ {u, v} ^ {x} \; x.}

Это соотношение позволяет свести любое произведение y к линейной комбинации канонических одночленов: структурные константы определяют y _i y _j - y _j y _i , т.е. что делать, чтобы изменить порядок двух элементов Y в продукт. Этот факт, по модулю индуктивного аргумента о степени (неканонических) мономов, показывает, что всегда можно получить продукты, в которых факторы упорядочены неубывающим образом.

Теорему Пуанкаре – Биркгофа – Витта можно интерпретировать как утверждение, что конечный результат этой редукции единственен и не зависит от порядка, в котором меняются местами соседние элементы.

Следствие . Если L - алгебра Ли над полем, каноническое отображение L → U ( L ) инъективно. В частности, любая алгебра Ли над полем изоморфна подалгебре Ли ассоциативной алгебры.

Более общие контексты

Уже на самых ранних этапах было известно, что K можно заменить любым коммутативным кольцом при условии, что L является свободным K -модулем, т. Е. Имеет базис, как указано выше.

Чтобы распространиться на случай, когда L больше не является свободным K -модулем, необходимо сделать переформулировку, не использующую базисы. Это включает в себя замену пространства мономов в некотором базисе с симметричной алгеброй , S ( L ), на L .

В случае, когда K содержит поле рациональных чисел, можно рассмотреть естественное отображение из S ( L ) в U ( L ), отправляющее моном . для элемента ${\ displaystyle v_ {1} v_ {2} \ cdots v_ {n}}$ ${\ displaystyle v_ {i} \ in L}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {n!}} \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} v _ {\ sigma (1)} v _ {\ sigma (2)} \ cdots v _ {\ sigma ( n)}.}

Тогда справедлива теорема о том, что это отображение является изоморфизмом K -модулей.

Еще более широко и естественно, что можно рассматривать U ( L ) как фильтрованную алгебру , снабженную фильтрацией, заданной путем определения того, что лежит в фильтрованной степени . Отображение L → U ( L ) K -модулей канонически продолжается до отображения T ( L ) → U ( L ) алгебр, где T ( L ) - тензорная алгебра на L (например, в силу универсального свойства тензорной алгебры), и это фильтрованная карта, снабжающая T ( L ) фильтрацией, помещающей L в степень один (фактически, T ( L ) градуируется). Тогда, переходя к ассоциированной градуированной, мы получаем канонический морфизм T ( L ) → gr U ( L ), который убивает элементы vw - wv для v, w ∈ L и, следовательно, спускается до канонического морфизма S ( L ) → гр U ( L ). Тогда (градуированная) теорема PBW может быть переформулирована как утверждение, что при определенных предположениях этот финальный морфизм является изоморфизмом коммутативных алгебр . ${\ displaystyle v_ {1} v_ {2} \ cdots v_ {n}}$ ${\ Displaystyle \ Leq п}$

Это верно не для всех K и L (см., Например, последний раздел статьи Кона 1961 г.), но верно во многих случаях. К ним относятся упомянутые выше, где либо L - свободный K -модуль (следовательно, если K - поле), либо K содержит поле рациональных чисел. В более общем смысле теорема PBW, сформулированная выше, распространяется на такие случаи, как, например, когда (1) L - плоский K -модуль, (2) L не имеет кручения как абелева группа , (3) L является прямой суммой циклических модулей (или все его локализации в простых идеалах K обладают этим свойством), или (4) K - дедекиндова область . См., Например, эти утверждения в статье Хиггинса 1969 года.

Наконец, стоит отметить, что в некоторых из этих случаев также получается более сильное утверждение о том, что канонический морфизм S ( L ) → gr U ( L ) поднимается до изоморфизма K -модулей S ( L ) → U ( L ) , не принимая связанных оценок. Это верно в первых упомянутых случаях, когда L - свободный K -модуль или K содержит поле рациональных чисел, используя описанную здесь конструкцию (фактически, результатом является изоморфизм коалгебр , а не просто K -модуль изоморфизм, снабдив S ( L ) и U ( L ) их естественными структурами коалгебр такими, что для v ∈ L ). Однако это более сильное утверждение может не распространяться на все случаи, описанные в предыдущем абзаце. ${\ Displaystyle \ Delta (v) = v \ otimes 1 + 1 \ otimes v}$

История теоремы

В четырех работах с 1880 - ых Alfredo Capelli доказал, в другой терминологии, что теперь известно как теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта в случае с общей алгебры Ли линейна ; в то время как Пуанкаре позже сформулировал это в более общем виде в 1900 году. Арман Борель говорит, что эти результаты Капелли были «полностью забыты почти на столетие» , и он не предполагает, что Пуанкаре знал о результате Капелли. ${\ Displaystyle L = {\ mathfrak {gl}} _ {n},}$

Тон-То и Тран исследовали историю этой теоремы. Они выяснили, что большинство источников до книги Бурбаки 1960 года называют ее теоремой Биркгофа-Витта. Следуя этой старой традиции, Фофанова в своей энциклопедической статье говорит, что Пуанкаре получил первый вариант теоремы. Далее она говорит, что теорема была впоследствии полностью продемонстрирована Виттом и Биркгофом. Похоже, что источники до Бурбаки не были знакомы с работой Пуанкаре.

Биркгоф и Витт не упоминают работу Пуанкаре в своих статьях 1937 года. Картан и Эйленберг называют теорему Пуанкаре-Витта теоремой и приписывают Витту полное доказательство. Бурбаки были первыми, кто использовал все три имени в своей книге 1960 года. Кнапп представляет собой яркую иллюстрацию меняющейся традиции. В своей книге 1986 года он называет это теоремой Биркгофа-Витта , а в своей более поздней книге 1996 года он переходит к теореме Пуанкаре-Биркгофа-Витта .

Неясно, был ли результат Пуанкаре полным. Тон-Тат и Тран приходят к выводу, что «Пуанкаре открыл и полностью продемонстрировал эту теорему по крайней мере за тридцать семь лет до Витта и Биркгофа» . С другой стороны, они указывают, что «Пуанкаре делает несколько утверждений, не утруждая себя их доказательством» . Их собственные доказательства всех шагов, по их признанию, довольно длинные. Борель утверждает, что Пуанкаре « более или менее доказал теорему Пуанкаре-Биркгофа-Витта » в 1900 году.

Languages

In other projects

Теорема Пуанкаре – Биркгофа – Витта - Poincaré–Birkhoff–Witt theorem

СОДЕРЖАНИЕ

Формулировка теоремы

Более общие контексты

История теоремы

Заметки

Рекомендации