Мультикатегория - Multicategory

В математике (особенно в теории категорий ) мультикатегория - это обобщение понятия категории, которое допускает морфизмы множественной арности . Если морфизмы в категории рассматриваются как аналог функций , то морфизмы в мультикатегории аналогичны функциям нескольких переменных. Мультикатегории также иногда называют операдами или цветными операдами.

Определение

(Несимметричная) мультикатегория состоит из

набор (часто соответствующий класс ) объектов ;
для каждой конечной последовательности объектов (для ординала фон Неймана ) и объекта Y - набор морфизмов из в Y ; а также ${\ Displaystyle (X_ {я}) _ {я \ в п}}$ ${\ Displaystyle п \ в \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle (X_ {я}) _ {я \ в п}}$
для каждого объекта X , специальный тождественный морфизм (с п = 1) из X в X .

Кроме того, существуют операции композиции: для данной последовательности последовательностей объектов, последовательности объектов и объекта Z : если ${\ displaystyle ((X_ {ij}) _ {я \ in n_ {j}}) _ {j \ in m}}$ ${\ displaystyle (Y_ {j}) _ {j \ in m}}$

для каждого , е _J морфизм из в Y _J ; а также ${\ displaystyle j \ in m}$ ${\ displaystyle (X_ {ij}) _ {i \ in n_ {j}}}$
g - это морфизм от до Z : ${\ displaystyle (Y_ {j}) _ {j \ in m}}$

то есть композитный морфизм от до Z . Это должно удовлетворять определенным аксиомам: ${\ displaystyle g (f_ {j}) _ {j \ in m}}$ ${\ displaystyle (X_ {ij}) _ {я \ in n_ {j}, j \ in m}}$

Если m = 1, Z = Y ₀ и g тождественный морфизм для Y ₀ , то g ( f ₀ ) = f ₀ ;
если для каждого , п _J = 1, и е _J тождественный морфизм для Y _J , то ; а также ${\ displaystyle j \ in m}$ ${\ displaystyle X_ {0j} = Y_ {j}}$ ${\ displaystyle g (f_ {j}) _ {j \ in m} = g}$
ассоциативность условие: если для каждого и , является Морфизмом к , то есть одинаковые морфизмы из к Z . ${\ displaystyle j \ in m}$ ${\ displaystyle i \ in n_ {j}}$ ${\ displaystyle e_ {ij}}$ ${\ displaystyle (W_ {hij}) _ {h \ in o_ {ij}}}$ ${\ displaystyle X_ {ij}}$ ${\ displaystyle g \ left (f_ {j} (e_ {ij}) _ {i \ in n_ {j}} \ right) _ {j \ in m} = g (f_ {j}) _ {j \ in m} (e_ {ij}) _ {i \ in n_ {j}, j \ in m}}$ ${\ displaystyle (W_ {hij}) _ {h \ in o_ {ij}, i \ in n_ {j}, j \ in m}}$

Категории

Comcategory (со-мульти-категория) представляет собой упорядоченное множество О объектов, множество из multiarrows с двумя функциями

${\ displaystyle \ mathrm {head}: A \ rightarrow O,}$

${\ displaystyle \ mathrm {земля}: A \ rightarrow O ^ {\%},}$

где О ^% есть множество всех конечных упорядоченных последовательностей элементов O . Двойственный образ многострелки f можно резюмировать

${\ displaystyle f: \ mathrm {head} (f) \ Leftarrow \ mathrm {ground} (f).}$

В категории C также есть мультипродукция с обычным характером операции композиции. C называется ассоциативным, если по отношению к этому оператору верна аксиома множественного произведения.

Любая мультикатегория, симметричная или несимметричная, вместе с полным упорядочением набора объектов, может быть преобразована в эквивалентную категорию.

Multiorder является comcategory , удовлетворяющих следующим условиям.

Существует не более одной многострелки с указанными головкой и землей.
У каждого объекта x есть единичная многострелка.
Многострелка - это единица, если на ее земле есть одна запись.

Мультиупорядочения - это обобщение частичных порядков (посетов), и они были впервые введены (мимоходом) Томом Ленстером.

Примеры

Существует мультикатегория, объектами которой являются (маленькие) множества , где морфизм множеств X ₁ , X ₂ , ... и X _n в множество Y является n -арной функцией , то есть функцией от декартова произведения X ₁ × X ₂ × ... × X _п до Y .

Существует мультикатегория, объектами которой являются векторные пространства ( скажем, над рациональными числами ), где морфизм векторных пространств X ₁ , X ₂ , ... и X _n в векторное пространство Y является полилинейным оператором , т. Е. линейное преобразование из тензорного произведения Х ₁ ⊗ X ₂ ⊗ ... ⊗ X _п к Y .

В более общем смысле, для любой моноидальной категории C существует мультикатегория, объекты которой являются объектами C , где морфизм из C -объектов X ₁ , X ₂ , ... и X _n в C -объект Y является C -морфизм от моноидального продукта X ₁ , X ₂ , ..., и Х _п к Y .

Операда является multicategory с одним уникальным объектом; за исключением вырожденных случаев, такая мультикатегория не происходит из моноидальной категории.

Примеры множественных порядков включают в себя точечные мультимножества (последовательность A262671 в OEIS ), целочисленные разделы (последовательность A063834 в OEIS ) и комбинаторные разделения (последовательность A269134 в OEIS ). Треугольники (или композиции) любого многопорядка являются морфизмами (не обязательно ассоциативной) категории сжатий и категории разложений . Категория сжатия для мультиупорядоченности мультиминных разделов (последовательность A255397 в OEIS ) является самой простой известной категорией мультимножеств.

Приложения

Мультикатегории часто неправильно считают принадлежащими к теории более высоких категорий , поскольку их первоначальным применением было наблюдение, что операторы и тождества, удовлетворяемые более высокими категориями, являются объектами и множественными стрелками мультикатегории. Изучение n- категорий, в свою очередь, было мотивировано приложениями в алгебраической топологии и попытками описать гомотопическую теорию многомерных многообразий . Однако он в основном вырос из этой мотивации и теперь также считается частью чистой математики. [1]

Соответствие между сжатиями и разложениями треугольников в многопорядке позволяет построить ассоциативную алгебру, называемую ее алгеброй инцидентности . Любой элемент, который не равен нулю на всех единичных стрелках, имеет композиционный обратный, а функция Мёбиуса многопорядка определяется как композиционный обратный дзета-функции (константа-единица) в его алгебре инцидентности.

История

Мультикатегории были впервые введены под этим именем Джимом Ламбеком в «Дедуктивных системах и категориях II» (1969). Он упоминает (стр. 108), что ему «сказали, что мультикатегории также изучались [Жаном] Бенабу и [Пьером] Картье». , и действительно, Ленстер полагает, что «идея могла прийти в голову любому, кто знал, что такое категория и полилинейная карта».

Languages

In other projects