Бинарная функция - Binary function

В математике , A бинарная функция (также называется двумерным функцией , или функцией двух переменных ) является функцией , которая принимает два входа.

Точно сказано, функция является двоичной, если существуют такие множества , что

где это декартово произведение из и

Альтернативные определения

Set-теоретически , двоичная функция может быть представлена в виде подмножества в декартово произведение , где принадлежит к подгруппе тогда и только тогда . С другой стороны , подмножество определяет бинарную функцию , если и только если для любого и , существует уникальный таким образом, что принадлежит . затем определяется как это .

В качестве альтернативы двоичную функцию можно интерпретировать как просто функцию от до . Однако, даже если подумать об этом, обычно вместо . (То есть одна и та же пара круглых скобок используется для обозначения как применения функции, так и формирования упорядоченной пары .)

Примеры

Деление целых чисел можно рассматривать как функцию. Если - набор целых чисел , - набор натуральных чисел (кроме нуля) и - набор рациональных чисел , то деление является двоичной функцией .

Другой пример - это внутренние продукты или, в более общем смысле, функции формы , где x , y - векторы с действительными значениями соответствующего размера, а M - матрица. Если M - положительно определенная матрица , это дает внутренний продукт .

Функции двух действительных переменных

Функции, область определения которых является подмножеством , часто также называют функциями двух переменных, даже если их область определения не образует прямоугольник и, следовательно, декартово произведение двух наборов.

Ограничения на обычные функции

В свою очередь, можно также получить обычные функции одной переменной из двоичной функции. Для любого элемента существует функция или , от до , заданная как . Точно так же для любого элемента существует функция или , от до , заданная как . В информатике это отождествление функции от до и функции от до , где - набор всех функций от до , называется каррированием .

Обобщения

Различные концепции, относящиеся к функциям, также можно обобщить на бинарные функции. Например, приведенный выше пример деления является сюръективным (или на ), потому что каждое рациональное число может быть выражено как частное целого и натурального числа. Этот пример инъективен для каждого входа отдельно, потому что функции f x и f y всегда инъективны. Однако он не является инъективным в обеих переменных одновременно, потому что (например) f (2,4) = f (1,2).

Можно также рассматривать частичные двоичные функции, которые могут быть определены только для определенных значений входов. Например, приведенный выше пример деления также можно интерпретировать как частичную двоичную функцию от Z и N до Q , где N - это набор всех натуральных чисел, включая ноль. Но эта функция не определена, когда второй вход равен нулю.

Бинарная операция является бинарной функцией где множества X , Y и Z все равны; бинарные операции часто используются для определения алгебраических структур .

В линейной алгебре , А преобразование билинейного является бинарной функцией где множество Х , Y и Z являются всеми векторными пространствами и производные функции F х и F у всех линейные преобразования . Билинейное преобразование, как и любую двоичную функцию, можно интерпретировать как функцию от X × Y до Z , но эта функция в целом не будет линейной. Однако преобразование билинейной также можно интерпретировать как единое линейное преобразование от тензора продукта до Z .

Обобщения на тернарные и другие функции

Концепция двоичной функции обобщается на троичную (или 3-арную ) функцию , четверную (или 4-арную ) функцию или, в более общем смысле, на n-арную функцию для любого натурального числа n . 0-арной функции до Z просто задается элементом из Z . Можно также определить A-арную функцию, где A - любое множество ; есть один вход для каждого элемента A .

Теория категорий

В теории категорий , п -арными функция обобщается п -арные морфизмов в multicategory . Интерпретация n -арного морфизма как обычных морфизмов, область определения которых является своего рода продуктом областей исходного n -арного морфизма, будет работать в моноидальной категории . Построение производных морфизмов одной переменной будет работать в замкнутой моноидальной категории . Категория множеств является замкнутой моноидальной, но также и категория векторных пространств, что дает понятие билинейного преобразования выше.

Рекомендации