Теория высших категорий - Higher category theory

В математике , выше теории категорий являются частью категории теории при более высоком порядке , что означает , что некоторые Равенства заменены явными стрелки для того , чтобы иметь возможность явно изучить структуру за эти равенствами. Теория высшей категории часто применяется в алгебраической топологии (особенно в теории гомотопий ), где изучается алгебраические инварианты из пространств , такие как их фундаментальный слабая ∞-группоид .

Строгие высшие категории

В обычной категории есть объекты и морфизмы , которые в контексте теории высших категорий называются 1-морфизмами. 2-категория обобщает это, в том числе и 2-морфизмы между 1-морфизмов. Продолжение этого до n -морфизмов между ( n  - 1) -морфизмами дает n -категорию.

Так же, как категория, известная как Cat , которая является категорией малых категорий и функторов, на самом деле является 2-категорией с естественными преобразованиями в качестве 2-морфизмов, категория n - Cat (малых) n -категорий на самом деле является ( n  + 1) -категория.

П -category определяется индукцией по п по:

Таким образом, 1-категория - это просто категория ( локально небольшая ).

Моноидальная структура Набор является одним задается декартовым произведением в качестве тензора и одноточечного в качестве единицы. Фактически любой категории с конечными продуктами можно придать моноидальную структуру. Рекурсивная конструкция n - Cat отлично работает, потому что, если категория C имеет конечные продукты, категория категорий, обогащенных C, также имеет конечные продукты.

Хотя это понятие является слишком строгим для некоторых целей, например, в теории гомотопий , где «слабые» структуры возникают в форме высших категорий, строгие кубические высшие гомотопические группоиды также возникли как новые основы алгебраической топологии на границе между гомологиями. и теория гомотопии ; см. статью Неабелева алгебраическая топология , ссылка на которую приведена в книге ниже.

Слабые высшие категории

Основная статья: Слабая n-категория

В слабых n -категориях условия ассоциативности и тождества перестают быть строгими (т.е. они не задаются равенствами), а удовлетворяются с точностью до изоморфизма следующего уровня. Примером в топологии является композиция путей , где условия тождества и ассоциации выполняются только до повторной параметризации и, следовательно, до гомотопии , которая является 2-изоморфизмом для этой 2-категории . Эти n -изоморфизмы должны хорошо вести себя между hom-множествами, и выразить это - трудность в определении слабых n -категорий . Слабые 2-категории , также называемые бикатегориями , были первыми, которые были определены явно. Их особенность состоит в том, что бикатегория с одним объектом является в точности моноидальной категорией , так что бикатегории можно назвать «моноидальными категориями со многими объектами». Слабые 3-категории , также называемые трикатегориями , и обобщения более высокого уровня становится все труднее определить явно. Было дано несколько определений, и сообщение о том, когда они эквивалентны и в каком смысле, стало новым объектом исследования в теории категорий.

Квазикатегории

Основная статья: Квазикатегория

Слабые комплексы Кана или квазикатегории - это симплициальные множества, удовлетворяющие слабой версии условия Кана. Андре Жоял показал, что они являются хорошей основой для теории высших категорий. Недавно, в 2009 году, теория была дополнительно систематизирована Якобом Лурье, который просто назвал их категориями бесконечности, хотя последний термин также является общим термином для всех моделей категорий (бесконечности, k ) для любого k .

Симплициально обогащенные категории

Основная статья: Симплициально обогащенная категория

Симплициально обогащенные категории или симплициальные категории - это категории, обогащенные над симплициальными множествами. Однако, когда мы рассматриваем их как модель для (бесконечности, 1) -категорий , то многие категориальные понятия (например, пределы ) не согласуются с соответствующими понятиями в смысле расширенных категорий. То же самое и для других расширенных моделей, таких как топологически обогащенные категории.

Топологически обогащенные категории

Основная статья: Топологическая категория

Топологически обогащенные категории (иногда называемые просто топологическими категориями) - это категории, обогащенные некоторой удобной категорией топологических пространств, например категорией компактно порожденных хаусдорфовых пространств .

Категории Segal

Основная статья: Категория Segal

Это модели более высоких категорий, представленные Хиршовицем и Симпсоном в 1998 году, частично вдохновленные результатами Грэма Сигала в 1974 году.

Смотрите также

Заметки

использованная литература

  • Лурье, Джейкоб (2009). Теория высших топосов . Издательство Принстонского университета. arXiv : math.CT / 0608040 . ISBN   978-0-691-14048-3 . В формате PDF .
  • nLab , коллективный и открытый проект вики-блокнотов по теории высших категорий и приложениям в физике, математике и философии
  • Joyal's Catlab , вики, посвященная отточенным изложениям категориальной и высшей категориальной математики с доказательствами
  • Браун, Рональд ; Хиггинс, Филип Дж .; Сивера, Рафаэль (2011). Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды . Трактаты по математике. 15 . Европейское математическое общество. ISBN   978-3-03719-083-8 .

внешние ссылки