Лагранжев грассманиан - Lagrangian Grassmannian

В математике , то Лагранжев грассманиан является гладким многообразием из лагранжевых подпространств действительной симплектическому векторного пространства V . Его размер1/2n ( n + 1) (где размерность V равна 2n ). Его можно отождествить с однородным пространством

U ( n ) / O ( n ) ,

где U ( n ) - унитарная группа, а O ( n ) - ортогональная группа . Следуя Владимиру Арнольду, он обозначается Λ ( n ). Лагранжев грассманиан является подмногообразием обычной грассманиане из V .

Комплекс Лагранжев грассманиан является комплексным однородным многообразием из лагранжевых подпространств комплексной симплектической векторного пространства V размерности 2 п . Его можно отождествить с однородным пространством сложной размерности.1/2п ( п + 1)

Sp ( n ) / U ( n ) ,

где Sp ( n ) - компактная симплектическая группа .

Топология

Стабильная топология лагранжевого грассманиана и комплексного лагранжевого грассманиана полностью понятна, поскольку эти пространства появляются в теореме периодичности Ботта :, и - таким образом, они являются в точности гомотопическими группами стабильной ортогональной группы с точностью до сдвига в индексировании (размерности) . ${\ Displaystyle \ Omega (\ mathrm {Sp} / \ mathrm {U}) \ simeq \ mathrm {U} / \ mathrm {O}}$${\ Displaystyle \ Omega (\ mathrm {U} / \ mathrm {O}) \ simeq \ mathbb {Z} \ times \ mathrm {BO}}$

В частности, фундаментальная группа из является бесконечной циклической , с выделенным генератором , заданной площади детерминанта о наличии унитарной матрицы , как отображение на единичной окружности . Следовательно, его первая группа гомологий также бесконечна циклическая, как и ее первая группа когомологий. Арнольд показал, что это приводит к описанию индекса Маслова , введенного В.П. Масловым . ${\ Displaystyle U / O}$

Для лагранжевого подмногообразия M в V действительно существует отображение

M → λ ( п )

который классифицирует свое касательное пространство в каждой точке (см. карту Гаусса ). Индекс Маслова является откатом через это отображение, в

${\ Displaystyle Н ^ {\ кинжал} (М, \ mathbb {Z})}$

выдающегося генератора

${\ Displaystyle Н ^ {\ кинжал} (\ Lambda (п), \ mathbb {Z})}$.

Индекс Маслова

Пути симплектоморфизмов симплектического векторного пространства можно присвоить индекс Маслова , названный в честь В.П. Маслова ; это будет целое число, если путь представляет собой цикл, и полуцелое число в целом.

Если этот путь возникает из тривиализации симплектического векторного расслоения над периодической орбитой гамильтонова векторного поля на симплектическом многообразии или векторного поля Риба на контактном многообразии , он известен как индекс Конли – Цендера . Это вычисляет спектральный поток из Коши-Риман операторов -типа , которые возникают в Флоер гомологии .

Первоначально он появился при изучении приближения ВКБ и часто появляется при изучении квантования , формул следов квантового хаоса , а также в симплектической геометрии и топологии. Его можно описать, как указано выше, в терминах индекса Маслова для линейных лагранжевых подмногообразий.

использованная литература

• В.И. Арнольд, Характеристический класс, входящий в условия квантования , Функциональный анализ и его приложения, 1967 , 1,1, 1-14, doi : 10.1007 / BF01075861 .
• В. П. Маслов , Теория асимптотик возмущений и методов . 1972 г.
• Раниц- кий, Andrew, индекс домашняя страница Маслова , архивируются с оригинала на 2015-12-01 , извлекаться 2009-10-23 Подборка исходных материалов по индексу Маслова.