Симплектоморфизм - Symplectomorphism

В математике , симплектоморфизм или симплектическое отображение является изоморфизмом в категории из симплектических многообразий . В классической механике симплектоморфизм представляет собой преобразование фазового пространства, которое сохраняет объем и сохраняет симплектическую структуру фазового пространства, и называется каноническим преобразованием .

Формальное определение

Диффеоморфизм между двумя симплектическими многообразиями называются симплектоморфизмом , если ${\ Displaystyle f: (М, \ omega) \ rightarrow (N, \ omega ')}$

${\ displaystyle f ^ {*} \ omega '= \ omega,}$

где это откат от . Симплектические диффеоморфизмы от до являются (псевдо) группой, называемой группой симплектоморфизмов (см. Ниже). ${\ displaystyle f ^ {*}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$

Инфинитезимальная версия симплектоморфизмов дает симплектические векторные поля. Векторное поле называется симплектическим, если ${\ Displaystyle X \ in \ Gamma ^ {\ infty} (TM)}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} \ omega = 0.}$

Кроме того , симплектично тогда и только тогда поток из симплектоморфизма для каждого . Эти векторные поля составляют подалгебру Ли в . Здесь - множество гладких векторных полей на , - производная Ли вдоль векторного поля${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ phi _ {t}: M \ rightarrow M}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle t}$${\ Displaystyle \ Gamma ^ {\ infty} (TM)}$${\ Displaystyle \ Gamma ^ {\ infty} (TM)}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X}}$${\ displaystyle X.}$

Примеры симплектоморфизмов включают канонические преобразования из классической механики и теоретической физики , поток , связанный с какой - либо функцией Гамильтон, отображение на кокасательных пучках , индуцированное любой диффеоморфизмом многообразий и коприсоединенное действие одного из элементов группы Ли на коприсоединенный орбите .

Потоки

Любая гладкая функция на симплектическом многообразии порождает, по определению, к гамильтонова векторного поля и множество всех таких векторных полей образуют подалгебра алгебры Ли в симплектических векторных полей . Интегрирование потока симплектического векторного поля является симплектоморфизмом. Поскольку симплектоморфизмы сохраняют симплектическую 2-форму и, следовательно, симплектическую форму объема , следует теорема Лиувилля в гамильтоновой механике . Симплектоморфизмы, возникающие из гамильтоновых векторных полей, известны как гамильтоновы симплектоморфизмы.

Так как { H , H } = Х _Н ( Н ) = 0, поток гамильтонова векторного поля также сохраняет Н . В физике это интерпретируется как закон сохранения энергии .

Если первое число Бетти связного симплектического многообразия равно нулю, симплектическое и гамильтоново векторные поля совпадают, поэтому понятия гамильтоновой изотопии и симплектической изотопии симплектоморфизмов совпадают.

Можно показать, что уравнения геодезической можно сформулировать как гамильтонов поток, см. Геодезические как гамильтоновы потоки .

Группа (гамильтоновых) симплектоморфизмов

Симплектоморфизмы многообразия обратно на себя образуют бесконечномерную псевдогруппу . Соответствующая алгебра Ли состоит из симплектических векторных полей. Гамильтоновы симплектоморфизмы образуют подгруппу, алгебра Ли которой задается гамильтоновыми векторными полями. Последняя изоморфна алгебре Ли гладких функций на многообразии относительно скобки Пуассона по модулю констант.

Группа гамильтоновых симплектоморфизмов обычно обозначается как . ${\ Displaystyle (М, \ omega)}$${\ displaystyle \ operatorname {Ham} (M, \ omega)}$

Группы гамильтоновых диффеоморфизмов просты по теореме Баньяги . У них естественная геометрия, заданная нормой Хофера . Гомотопический тип из группы симплектоморфизмов для некоторых простых симплектических четырех коллекторов , таких как произведение сфер , может быть вычислен с помощью Громова теории «ы из псевдоголоморфных кривых .

Сравнение с римановой геометрией

В отличие от римановых многообразий симплектические многообразия не очень жесткие: теорема Дарбу показывает, что все симплектические многообразия одной и той же размерности локально изоморфны. Напротив, изометрии в римановой геометрии должны сохранять тензор римановой кривизны , который, таким образом, является локальным инвариантом риманова многообразия. Более того, каждая функция H на симплектическом многообразии определяет гамильтоново векторное поле X _H , экспоненцирующее однопараметрическую группу гамильтоновых диффеоморфизмов. Отсюда следует, что группа симплектоморфизмов всегда очень велика, в частности бесконечномерна. С другой стороны, группа изометрий риманова многообразия всегда является (конечномерной) группой Ли . Более того, римановы многообразия с большими группами симметрий очень специфичны, а риманово многообразие общего положения не имеет нетривиальных симметрий.

Квантования

Представления конечномерных подгрупп группы симплектоморфизмов (вообще говоря, после ħ-деформаций) на гильбертовых пространствах называются квантованием . Когда группа Ли определяется гамильтонианом, это называется «квантованием по энергии». Соответствующий оператор из алгебры Ли в алгебру Ли непрерывных линейных операторов также иногда называют квантованием ; это более распространенный взгляд на это в физике.

Гипотеза Арнольда

Знаменитая гипотеза Владимира Арнольда связывает минимальное количество неподвижных точек для гамильтонова симплектоморфизма f на M , если M - замкнутое многообразие , с теорией Морса . Точнее, гипотеза утверждает, что f имеет по крайней мере столько неподвижных точек, сколько критических точек должна иметь гладкая функция на M (понимается как в общем случае функции Морса , для которых это определенное конечное число, которое минимум 2).

Известно, что это следует из гипотезы Арнольда – Гивенталя, названной в честь Арнольда и Александра Гивенталя , которая является утверждением о лагранжевых подмногообразиях . Во многих случаях это доказывается построением симплектических гомологий Флоера .

Смотрите также

использованная литература

• Макдафф, Дуса и Саламон, Д. (1998), Введение в симплектическую топологию , Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-19-850451-9.
• Абрахам, Ральф и Марсден, Джеррольд Э. (1978), Основы механики , Лондон: Бенджамин-Каммингс, ISBN 0-8053-0102-X. См. Раздел 3.2 .

Группы симплектоморфизмов

• Громов М. (1985), "Псевдоголоморфные кривые в симплектических многообразиях", Inventiones Mathematicae , 82 (2): 307–347, Bibcode : 1985InMat..82..307G , doi : 10.1007 / BF01388806.
• Полтерович, Леонид (2001), Геометрия группы симплектических диффеоморфизмов , Базель; Бостон: Birkhauser Verlag, ISBN 3-7643-6432-7.