Локальная система - Local system

В математике , локальные коэффициенты идея из алгебраической топологии , своего рода полупути стадии между теорией гомологии или теорией когомологий с коэффициентами в обычном смысле, в фиксированных абелевых группы А , и общих когомологиями пучков , которые, грубо говоря, позволяют коэффициенты изменяться от точки к точке в топологическом пространстве X . Такую концепцию ввел Норман Стинрод в 1943 году.

Определение

Пусть X - топологическое пространство . Локальная система (абелевых группы / модулей / ...) на X является локально постоянным пучком (из абелевых групп / модулей ...) на X . Другими словами, пучок является локальной системой, если каждая точка имеет открытую окрестность , которая является постоянным пучком . ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} | _ {U}}$

Эквивалентные определения

Связанные пути пространства

Если Х является линейно связным , локальной система абелевых групп имеет то же волокно L в каждой точке. Дать такую ​​локальную систему - все равно что дать гомоморфизм ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$

${\ displaystyle \ rho: \ pi _ {1} (X, x) \ to {\ text {Aut}} (L)}$

а так же для локальных систем модулей, ... Карта дает локальную систему называется монодромией представление о . ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x) \ to {\ text {End}} (L)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$

Это показывает, что (для линейной связности X ) локальная система - это в точности пучок, откат которого к универсальному покрытию X является постоянным пучком.

Более сильное определение на несвязных пространствах

Другое (более сильное, неэквивалентное) определение, обобщающее 2 и работающее для несвязного X , это: ковариантный функтор

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ двоеточие \ Pi _ {1} (X) \ to {\ textbf {Mod}} (R)}$

от фундаментального группоида к категории модулей над коммутативным кольцом . Обычно . Это означает, что в каждой точке мы должны назначить модуль с таким представлением , чтобы эти представления были совместимы с изменением базовой точки для фундаментальной группы . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle R = \ mathbb {Q}, \ mathbb {R}, \ mathbb {C}}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x) \ to {\ text {Aut}} _ {R} (M)}$${\ Displaystyle от х \ до у}$

Примеры

• Постоянные связки. Так , например, . Это полезный инструмент для вычисления когомологий, поскольку когомологии пучков ${\ displaystyle {\ underline {\ mathbb {Q}}} _ {X}}$
  $${\ displaystyle H ^ {k} (X, {\ underline {\ mathbb {Q}}} _ {X}) \ cong H _ {\ text {sing}} ^ {k} (X, \ mathbb {Q}) }$$

  
  изоморфна сингулярным когомологиям . ${\ displaystyle X}$
• ${\ Displaystyle X = \ mathbb {R} ^ {2} \ setminus \ {(0,0) \}}$ . Так как на X существует -многочисленных линейных систем , та задается представлением монодромии ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (\ mathbb {R} ^ {2} \ setminus \ {(0,0) \}) = \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle S ^ {1}}$${\ displaystyle \ theta \ in \ mathbb {R}}$
  $${\ displaystyle \ pi _ {x} (X) = \ mathbb {Z} \ to {\ text {Aut}} _ {\ mathbb {C}} (\ mathbb {C})}$$

  
  отправив ${\ displaystyle n \ mapsto e ^ {in \ theta}}$

• Горизонтальные сечения векторных пучков с плоской связью. Если - векторное расслоение с плоской связностью , то ${\ displaystyle E \ to X}$${\ displaystyle \ nabla}$

  $${\ displaystyle E_ {U} ^ {\ nabla} = \ left \ {{\ text {section}} s \ in \ Gamma (U, E) {\ text {, которые горизонтальны:}} \ nabla s = 0 \ верно\}}$$

  
  это локальная система.

  Например, возьмем и тривиальный пучок. Разделы Е являются п -наборов функций на X , так что определяет плоскую связность на Е , равно как и для любой матрицы одного-форм на X . Затем горизонтальные секции ${\ Displaystyle X = \ mathbb {C} \ setminus 0}$${\ displaystyle E = X \ times \ mathbb {C}. ^ {n}}$${\ displaystyle \ nabla _ {0} (f_ {1}, \ dots, f_ {n}) = (df_ {1}, \ dots, df_ {n})}$${\ displaystyle \ nabla (f_ {1}, \ dots, f_ {n}) = (df_ {1}, \ dots, df_ {n}) - \ Theta (x) (f_ {1}, \ dots, f_ {n}) ^ {t}}$${\ displaystyle \ Theta}$

  $${\ displaystyle E_ {U} ^ {\ nabla} = \ left \ {(f_ {1}, \ dots, f_ {n}) \ in E_ {U} :( df_ {1}, \ dots, df_ {n }) = \ Theta (f_ {1}, \ dots, f_ {n}) ^ {t} \ right \}}$$

  
  т.е. решения линейного дифференциального уравнения . ${\ displaystyle df_ {i} = \ sum \ Theta _ {ij} f_ {j}}$

  Если расширение до одной формы в вышеупомянутом, также будет определять локальную систему в , поэтому это будет тривиально, поскольку . Итак, чтобы дать интересный пример, выберите один с полюсом в 0 : ${\ displaystyle \ Theta}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ пи _ {1} (\ mathbb {C}) = 0}$

  $${\ displaystyle \ Theta = {\ begin {pmatrix} 0 & dx / x \\ dx & e ^ {x} dx \ end {pmatrix}}}$$

  
  в этом случае для , ${\ Displaystyle \ набла = д + \ тета}$
  $${\ displaystyle E_ {U} ^ {\ nabla} = \ left \ {f_ {1}, f_ {2}: U \ to \ mathbb {C} \ \ {\ text {with}} f '_ {1} = f_ {2} / x \ \ f_ {2} '= f_ {1} + e ^ {x} f_ {2} \ right \}}$$

  
• П -листного покрытие карты является локальной системой с разделами локально множеством . Точно так же пучок волокон с дискретным слоем является локальной системой, потому что каждый путь поднимается уникальным образом до заданного подъема своей базовой точки. (Определение регулируется для включения многозначных локальных систем очевидным образом). ${\ displaystyle X \ to Y}$${\ Displaystyle \ {1, \ точки, п \}}$
• Локальная система k -векторных пространств на X - это то же самое, что k -линейное представление группы . ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x)}$
• Если X - многообразие, локальные системы - это то же самое, что D -модули, которые, кроме того, когерентны как O -модули.

Если соединение не является плоским, параллельная транспортировка волокна вокруг стягиваемой петли в точке x может дать нетривиальный автоморфизм слоя в базовой точке x , поэтому таким образом невозможно определить локально постоянный пучок.

Соединение Гаусса-Манина очень интересный пример соединения, чьи горизонтальные участки возникают при изучении вариации структур Ходжа .

Обобщение

Локальные системы имеют небольшое обобщение на конструктивные пучки. Конструктивным пучком на локально линейно связном топологическом пространстве называется пучок такой, что существует стратификация ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$

${\ Displaystyle X = \ coprod X _ {\ lambda}}$

где локальная система. Обычно их находят путем взятия когомологий полученного прямого прогноза для некоторого непрерывного отображения . Например, если мы посмотрим на сложные точки морфизма ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} | _ {X _ {\ lambda}}}$${\ displaystyle f: X \ to Y}$

${\ displaystyle f: X = {\ text {Proj}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [s, t] [x, y, z]} {(stf (x, y, z)) }} \ right) \ to {\ text {Spec}} (\ mathbb {C} [s, t])}$

затем волокна над

${\ Displaystyle \ mathbb {A} _ {s, t} ^ {2} - \ mathbb {V} (st)}$

- гладкая плоская кривая, заданная формулой , но слои над ней . Если мы возьмем производный pushforward, то получим конструктивный пучок. У нас есть локальные системы ${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle \ mathbb {V}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {R} f _ {!} ({\ underline {\ mathbb {Q}}} _ {X})}$${\ Displaystyle \ mathbb {V}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {R} ^ {0} f _ {!} ({\ underline {\ mathbb {Q}}} _ {X}) | _ {\ mathbb {V} (st) } & = {\ underline {\ mathbb {Q}}} _ {\ mathbb {V} (st)} \\\ mathbf {R} ^ {2} f _ {!} ({\ underline {\ mathbb {Q} }} _ {X}) | _ {\ mathbb {V} (st)} & = {\ underline {\ mathbb {Q}}} _ {\ mathbb {V} (st)} \\\ mathbf {R} ^ {4} f _ {!} ({\ Underline {\ mathbb {Q}}} _ {X}) | _ {\ mathbb {V} (st)} & = {\ underline {\ mathbb {Q}}} _ {\ mathbb {V} (st)} \\\ mathbf {R} ^ {k} f _ {!} ({\ underline {\ mathbb {Q}}} _ {X}) | _ {\ mathbb {V } (st)} & = {\ underline {0}} _ {\ mathbb {V} (st)} {\ text {иначе}} \ end {align}}}$

в то время как у нас есть локальные системы ${\ Displaystyle \ mathbb {A} _ {s, t} ^ {2} - \ mathbb {V} (st)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {R} ^ {0} f _ {!} ({\ underline {\ mathbb {Q}}} _ {X}) | _ {\ mathbb {A} _ {s , t} ^ {2} - \ mathbb {V} (st)} & = {\ underline {\ mathbb {Q}}} _ {\ mathbb {A} _ {s, t} ^ {2} - \ mathbb {V} (st)} \\\ mathbf {R} ^ {1} f _ {!} ({\ Underline {\ mathbb {Q}}} _ {X}) | _ {\ mathbb {A} _ {s , t} ^ {2} - \ mathbb {V} (st)} & = {\ underline {\ mathbb {Q}}} _ {\ mathbb {A} _ {s, t} ^ {2} - \ mathbb {V} (st)} ^ {\ oplus 2g} \\\ mathbf {R} ^ {2} f _ {!} ({\ Underline {\ mathbb {Q}}} _ {X}) | _ {\ mathbb {A} _ {s, t} ^ {2} - \ mathbb {V} (st)} & = {\ underline {\ mathbb {Q}}} _ {\ mathbb {A} _ {s, t} ^ {2} - \ mathbb {V} (st)} \\\ mathbf {R} ^ {k} f _ {!} ({\ Underline {\ mathbb {Q}}} _ {X}) | _ {\ mathbb {A} _ {s, t} ^ {2} - \ mathbb {V} (st)} & = {\ underline {0}} _ {\ mathbb {A} _ {s, t} ^ {2} - \ mathbb {V} (st)} {\ text {иначе}} \ end {align}}}$

где - род плоской кривой (которая есть ). ${\ displaystyle g}$${\ Displaystyle г = (\ град (е) -1) (\ град (е) -2) / 2}$

Приложения

Когомологии с локальными коэффициентами в модуле, соответствующем ориентационному покрытию, могут быть использованы для формулировки двойственности Пуанкаре для неориентируемых многообразий: см. Скрученную двойственность Пуанкаре .

Смотрите также

• Спектральная последовательность Лере
• Связь Гаусса – Манина
• D-модуль
• Гомология пересечения
• Извращенная связка

Рекомендации

Внешние ссылки

• «Что такое локальная система на самом деле» . Обмен стеками .
• Шнелл, Кристиан. "Вычислительные когомологии локальных систем" (PDF) . Обсуждает вычисление когомологий с коэффициентами в локальной системе с помощью скрученного комплекса де Рама.
• Уильямсон, Джорди . «Иллюстрированное руководство по извращенным связкам» (PDF) .
• Макферсон, Роберт (15 декабря 1990 г.). «Гомологии пересечения и извращенные пучки» (PDF) .
• Эль-Зейн, Фуад; Снусси, Джавад. «Локальные системы и конструктивные пучки» (PDF) .