Постоянная связка - Constant sheaf

В математике , то постоянный пучок на топологическом пространстве X , ассоциированный с множеством А является пучком множеств на X , чьи стебли все равны А . Он обозначается через A или A X . Константа Предпучок со значением А является Предпучком которое каждое непустое открытым подмножество из X значения A , и все, ограничение которого карты тождественного отображения → . Постоянный пучок , связанный с А является sheafification постоянной предпучки , ассоциированной с A .

В некоторых случаях множество A может быть заменено объектом A из некоторой категории C (например, когда C - категория абелевых групп или коммутативных колец ).

Постоянные пучки абелевых групп появляются, в частности, как коэффициенты в когомологиях пучков .

Основы

Пусть X - топологическое пространство, A - множество. Сечения постоянного пучка A над открытым множеством U можно интерпретировать как непрерывные функции U → A , где A задана дискретная топология . Если U будет подключен , то эти локально постоянные функции постоянны. Если F : X → {пт} является уникальным отображением в одной точке пространства и рассматриваются как пучок на {пт}, то прообраз F -1 является постоянным пучком на X . Пучок пространство из А является проекция отображения Х  ×   →  Х (где задаются дискретная топология).

Подробный пример

Постоянный предпучок на двухточечном дискретном пространстве
Двухточечное дискретное топологическое пространство

Пусть X - топологическое пространство, состоящее из двух точек p и q с дискретной топологией . X имеет четыре открытых множества: ∅, { p }, { q }, { p , q }. Пять нетривиальных включений открытых множеств X показаны на диаграмме.

Предварительный пучок на X выбирает набор для каждого из четырех открытых наборов X и карту ограничений для каждого из девяти включений (пять нетривиальных включений и четыре тривиальных). Постоянная Предпучок со значением Z , которое мы будем обозначать F , является Предпучком , который выбирает все четыре комплекта быть Z , целыми числами, и все ограничения карты тождественными. F - функтор, следовательно, предпучок, поскольку он постоянен. F удовлетворяет аксиоме склеивания, но это не пучок, потому что он не соответствует аксиоме локального тождества на пустом множестве. Это связано с тем, что пустое множество покрывается пустым семейством множеств: Вакуумно любые две секции F над пустым множеством равны, если ограничены любым множеством в пустом семействе. Таким образом, из аксиомы локального тождества следует, что любые две секции F на пустом множестве равны, но это неверно.

Аналогичный предпучок G , удовлетворяющий аксиоме локального тождества над пустым множеством, строится следующим образом. Пусть G (∅) = 0 , где 0 - одноэлементное множество. На всех непустых множеств, дают гайанских значение Z . Для каждого включения открытых множеств, G возвращает либо уникальную карту до 0, если меньший набор пуст, или тождественное отображение на Z .

Промежуточная ступень для постоянного пучка

Обратите внимание, что вследствие аксиомы локального тождества для пустого множества все карты ограничений, включающие пустое множество, утомительны. Это верно для любого предпучка, удовлетворяющего аксиоме локальной идентичности для пустого множества, и, в частности, для любого пучка.

G - отделенный предпучок (то есть удовлетворяет аксиоме локального тождества), но, в отличие от F, не удовлетворяет аксиоме склейки. { p , q } покрывается двумя открытыми наборами { p } и { q }, и эти множества имеют пустое пересечение. Участок на { p } или на { q } является элементом Z , то есть это число. Выберите сечение m над { p } и n над { q } и предположите, что m ≠ n . Поскольку m и n ограничиваются одним и тем же элементом 0 над ∅, аксиома склейки требует существования единственного сечения s на G ({ p , q }), которое ограничивается до m на { p } и n на { q }. Но поскольку отображение ограничения из { p , q } в { p } является тождественным, s = m , и аналогично s = n , поэтому m = n , противоречие.

Постоянный пучок на двухточечном топологическом пространстве

G ({ p , q }) слишком мала, чтобы нести информацию как о { p }, так и о { q }. Для того, чтобы увеличить его таким образом что она удовлетворяет приклеивание аксиомы, пусть H ({ р , Q }) = Z ⊕ Z . Пусть π 1 и П 2 быть две проекции карты Z ⊕ Z → Z . Определим H ({ р }) = Im (π 1 ) = Z и Н ({ д }) = Im (π 2 ) = Z . Для остальных открытых множеств и включений, пусть Н равна G . Н является пучком называется постоянный пучок на X со значением Z . Поскольку Z - кольцо, а все отображения ограничения - гомоморфизмы колец, H - пучок коммутативных колец.

Смотрите также

Рекомендации

  • Раздел II.1 Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry , Graduate Texts in Mathematics , 52 , New York: Springer-Verlag, ISBN   978-0-387-90244-9 , MR   0463157
  • Раздел 2.4.6 Tennison, BR (1975), Sheaf theory , ISBN   978-0-521-20784-3