Парадокс лжеца - Liar paradox

В философии и логике классический парадокс лжеца или парадокс лжеца или антиномия лжеца - это утверждение лжеца о том, что он лжет: например, заявление «Я лгу». Если лжец действительно лжет, значит, лжец говорит правду, что означает, что лжец просто солгал. В фразе «эта фраза - ложь» парадокс усилен, чтобы сделать ее доступной для более строгого логического анализа. Это до сих пор обычно называют «парадоксом лжеца», хотя абстрагирование делается именно от лжеца, делающего заявление. Попытка присвоить этому утверждению, усиленному лжецу, классическое бинарное значение истинности приводит к противоречию .

Если «это предложение ложно» верно, то оно ложно, но в предложении говорится, что оно ложно, а если оно ложно, то оно должно быть истинным и так далее.

История

Epimenides парадокс (около 600 г. до н.э.) был предложен в качестве примера лжеца парадокс, но они не являются логически эквивалентными. Полумифический провидец Эпименид , критянин , как сообщается, заявил, что «все критяне - лжецы». Однако утверждение Эпименида о том, что все критяне лжецы, можно признать ложным, учитывая, что он знает по крайней мере еще одного критянина, который не лжет.

Название парадокса переводится как pseudómenos Логоса (ψευδόμενος λόγος) в древнегреческом . Одна из версий парадокса лжеца приписывается греческому философу Евбулиду из Милета , жившему в 4 веке до нашей эры. Сообщается, что Евбулид спросил: «Человек говорит, что он лжет. Верно или ложно то, что он говорит?»

Парадокс однажды обсуждал святой Иероним в своей проповеди:

« Я в тревоге сказал:« Каждый человек - лжец! » Давид говорит правду или он лжет? Если верно, что каждый человек лжец, и утверждение Давида: «Каждый человек лжец» верно, то Давид также лжет; он тоже мужчина. Но если он тоже лжет, то его утверждение, что «каждый лжец», следовательно, неверно. Как бы вы ни перевернули предложение, вывод - противоречие. Поскольку сам Давид - мужчина, значит, он тоже лжет; но если он лжет, потому что каждый лжец, то его ложь иного рода.

Индийский философ-грамматик Бхартрахари (конец V века нашей эры) хорошо знал парадокс лжеца, который он сформулировал как «все, что я говорю, ложно» (сарвам митхья бравими). Он анализирует это утверждение вместе с парадоксом «несущественности» и исследует границу между утверждениями, которые не вызывают проблем в повседневной жизни, и парадоксами.

Парадокс лжеца обсуждался в ранней исламской традиции на протяжении как минимум пяти веков, начиная с конца 9 века, и, очевидно, без влияния какой-либо другой традиции. Натир ад-Дин аль-Хуси мог быть первым логиком, который идентифицировал парадокс лжеца как самореферентный .

Объяснение и варианты

Проблема парадокса лжеца заключается в том, что он, кажется, показывает, что общие представления об истине и лжи на самом деле приводят к противоречию . Могут быть построены предложения, которым нельзя последовательно присвоить значение истинности, даже если они полностью соответствуют грамматическим и семантическим правилам.

Самая простая версия парадокса - это предложение:

Если (A) истинно, то "Это утверждение ложно" истинно. Следовательно, (A) должно быть ложным. Гипотеза о том, что (A) истинно, приводит к заключению, что (A) ложно, противоречие.

Если (A) ложно, то «Это утверждение неверно» неверно. Следовательно, (A) должно быть истинным. Гипотеза о том, что (A) неверно, приводит к заключению, что (A) истинно, это еще одно противоречие. В любом случае (A) одновременно истинно и ложно, что является парадоксом.

Однако то, что предложение лжеца может быть доказано как истинное, если оно ложно, и ложное, если оно истинно, привело некоторых к выводу, что оно «ни истинно, ни ложно». Этот ответ на парадокс, по сути, является отказом от утверждения, что каждое утверждение должно быть истинным или ложным, также известного как принцип двухвалентности , концепция, связанная с законом исключенного третьего .

Предположение, что это утверждение не является ни истинным, ни ложным, привело к следующей усиленной версии парадокса:

Если (B) не является ни истинным, ни ложным, тогда оно не должно быть истинным . Поскольку это то, что утверждает само (B), это означает, что (B) должно быть истинным . Поскольку изначально (B) не было правдой, а теперь верно, возникает другой парадокс.

Другая реакция на парадокс (A) состоит в том, чтобы постулировать, как это сделал Грэм Прист , что утверждение одновременно истинно и ложно. Тем не менее, даже анализ Приста восприимчив к следующей версии лжеца:

Если (C) одновременно истинно и ложно, то (C) только ложно. Но тогда это неправда . Поскольку изначально (C) было правдой, а теперь неверно , это парадокс. Однако утверждалось, что, приняв двузначную реляционную семантику (в отличие от функциональной семантики ), диалетеический подход может преодолеть эту версию лжеца.

Существуют также версии парадокса лжеца, состоящие из нескольких предложений. Ниже приводится версия из двух предложений:

Предположим, что (D1) верно. Тогда (D2) верно. Это означало бы, что (D1) ложно. Следовательно, (D1) одновременно истинно и ложно.

Предположим, что (D1) неверно. Тогда (D2) ложно. Это означало бы, что (D1) верно. Таким образом, (D1) одновременно истинно и ложно. В любом случае (D1) одновременно истинно и ложно - тот же парадокс, что и (A) выше.

Версия с несколькими предложениями парадокса лжеца обобщается на любую циклическую последовательность таких утверждений (в которой последнее утверждение утверждает истинность / ложность первого утверждения), при условии, что имеется нечетное количество утверждений, утверждающих ложность их преемника; Ниже приводится версия из трех предложений, где каждое утверждение утверждает ложность своего преемника:

Предположим, что (E1) верно. Тогда (E2) ложно, что означает, что (E3) истинно, и, следовательно, (E1) ложно, что приводит к противоречию.

Предположим, что (E1) неверно. Тогда (E2) истинно, что означает, что (E3) ложно, и, следовательно, (E1) истинно. В любом случае (E1) одновременно истинно и ложно - тот же парадокс, что и для (A) и (D1).

Есть много других вариантов и множество дополнений. В обычном построении предложений простейшим вариантом дополнения является предложение:

Если предполагается, что F имеет значение истинности, тогда возникает проблема определения объекта этого значения. Но возможна и более простая версия, если предположить, что единственное слово «истина» имеет значение истинности. Аналог парадокса состоит в том, чтобы предположить, что единственное слово «ложь» также имеет значение истинности, а именно, что оно ложно. Это показывает, что парадокс можно свести к мыслительному акту предположения, что сама идея заблуждения имеет истинное значение, а именно, что сама идея заблуждения ложна: акт искажения. Итак, симметричная версия парадокса будет выглядеть так:

Возможные решения

Нечеткая логика

В нечеткой логике значение истинности утверждения может быть любым действительным числом от 0 до 1 включительно, в отличие от логической логики , где значениями истинности могут быть только целые числа 0 или 1. В этой системе утверждение "Это утверждение ложно »больше не является парадоксальным, поскольку ему может быть присвоено значение истинности 0,5, что делает его наполовину истинным и наполовину ложным. Ниже показано упрощенное объяснение.

Обозначим значение истинности утверждения «Это утверждение ложно» через x. Заявление становится

$${\ Displaystyle х = НЕ (х)}$$

путем обобщения оператора НЕ на эквивалентный оператор Заде из нечеткой логики, утверждение становится

$${\ Displaystyle х = 1-х}$$

откуда следует, что

$${\ displaystyle x = 0,5}$$

Альфред Тарски

Альфред Тарский диагностировал парадокс как возникающий только в языках, которые «семантически закрыты», под которым он имел в виду язык, в котором одно предложение может предикатировать истинность (или ложность) другого предложения на том же языке (или даже самого себя). ). Чтобы избежать внутреннего противоречия, при обсуждении значений истинности необходимо представить себе уровни языков, каждый из которых может предикатировать истину (или ложь) только языков на более низком уровне. Итак, когда одно предложение ссылается на истинностное значение другого, оно семантически выше. Упомянутое предложение является частью «объектного языка», в то время как ссылающееся предложение считается частью «метаязыка» по отношению к объектному языку. Для предложений на «языках» выше по семантической иерархии правомерно относиться к предложениям ниже по «языковой» иерархии, но не наоборот. Это предотвращает превращение системы в самореферентную.

Однако эта система неполная. Хотелось бы иметь возможность делать такие утверждения, как «Для каждого утверждения на уровне α иерархии существует утверждение на уровне α +1, которое утверждает, что первое утверждение ложно». Это истинное, значимое утверждение об иерархии, которую определяет Тарский, но оно относится к утверждениям на каждом уровне иерархии, поэтому оно должно быть выше каждого уровня иерархии и, следовательно, невозможно внутри иерархии (хотя и ограниченные версии предложение возможно). Саулу Крипке приписывают определение этой неполноты в иерархии Тарского в его широко цитируемой статье «Краткое изложение теории истины», и это признается как общая проблема в иерархических языках.

Артур Прайор

Артур Прайор утверждает, что в парадоксе лжеца нет ничего парадоксального. Его утверждение (которое он приписывает Чарльзу Сандерсу Пирсу и Джону Буридану ) состоит в том, что каждое утверждение включает в себя неявное утверждение своей собственной истинности. Так, например, утверждение «Верно, что два плюс два равно четырем» не содержит больше информации, чем утверждение «два плюс два равно четырем», потому что фраза «верно, что ...» всегда присутствует неявно. И в самореференциальном духе Парадокса лжецов фраза «верно, что ...» эквивалентна «все это утверждение верно и ...».

Таким образом, следующие два утверждения эквивалентны:

Последнее является простым противоречием вида «А, а не А» и, следовательно, неверно. Следовательно, нет никакого парадокса, потому что утверждение, что этот двусвязный лжец ложен, не ведет к противоречию. Юджин Миллс дает аналогичный ответ.

Саул Крипке

Сол Крипке утверждал, что вопрос о том, является ли предложение парадоксальным, может зависеть от случайных фактов. Если единственное, что Смит говорит о Джонсе, это

а Джонс говорит о Смите только три вещи:

Если Смит действительно является крупным спонсором, но не относится к преступлениям снисходительно, то и замечание Смита о Джонсе, и последнее замечание Джонса о Смите парадоксальны.

Крипке предлагает следующее решение. Если истинность утверждения в конечном итоге связана с некоторым поддающимся оценке фактом о мире, это утверждение «обосновано». Если нет, то это утверждение «необоснованно». Необоснованные утверждения не имеют истинной ценности. Лжецкие заявления и утверждения, похожие на лжецы, необоснованны и, следовательно, не имеют ценности.

Джон Барвайз и Джон Эчменди

Джон Барвайз и Джон Эчеменди предполагают, что предложение лжеца (которое они интерпретируют как синоним «Усиленного лжеца») является двусмысленным. Они основывают свой вывод на различии, которое они проводят между «отрицанием» и «отрицанием». Если лжец имеет в виду: «Это утверждение не соответствует действительности», то он отрицает само себя. Если это означает: «Это утверждение не соответствует действительности», то оно отрицает само себя. Они продолжают аргументировать, основываясь на семантике ситуаций , что «отрицательный лжец» может быть истинным без противоречия, в то время как «отрицательный лжец» может быть ложным без противоречия. В их книге 1987 года широко используется необоснованная теория множеств .

Диалетеизм

Грэм Прист и другие логики, в том числе Дж. К. Билл и Брэдли Армор-Гарб, предложили считать лжецовское предложение как истинным, так и ложным, точка зрения, известная как диалетеизм . Диалетеизм - это взгляд на истинные противоречия. Диалетеизм поднимает свои собственные проблемы. Главный из них состоит в том, что, поскольку диалетеизм признает парадокс лжеца, внутреннее противоречие, как истинность, он должен отказаться от давно признанного принципа взрыва , который утверждает, что любое утверждение может быть выведено из противоречия, если диалетеист не желает принять тривиализм - мнение, что все предложения верны. Поскольку тривиализм - это интуитивно ложная точка зрения, диалетеисты почти всегда отвергают принцип взрыва. Отвергающие его логики называются паранепротиворечивыми .

Некогнитивизм

Эндрю Ирвин утверждал в пользу некогнитивистского решения парадокса, предполагая, что некоторые явно правильно сформированные предложения не окажутся ни истинными, ни ложными, и что «одних формальных критериев неизбежно окажется недостаточно» для разрешения парадокса.

Перспективизм Бхартхари

Индийский философ-грамматик Бхартрахари (конец V века нашей эры) имел дело с парадоксами, такими как лжец, в одной из глав своего великого произведения Vākyapadīya. Хотя в хронологическом порядке он предшествует всем современным трактовкам проблемы парадокса лжеца, лишь совсем недавно для тех, кто не умеет читать оригинальные санскритские источники, стало возможным сопоставить его взгляды и анализ с взглядами современных логиков и философов, потому что достаточно надежные издания и переводы. его работы стали доступны только со второй половины 20 века. Решение Бхартхари вписывается в его общий подход к языку, мысли и реальности, который некоторые охарактеризовали как «релятивистский», «ни к чему не обязывающий» или «перспективистский». Что касается парадокса лжеца ( сарвам митхйа бравими «все, что я говорю - ложь»), Бхартхари определяет скрытый параметр, который может превратить беспроблемные ситуации в повседневном общении в упрямый парадокс. Решение Бхартхари можно понять с точки зрения решения, предложенного в 1992 году Джулианом Робертсом: «Парадоксы уничтожают сами себя. Но мы можем отделить враждующие стороны противоречия с помощью простого средства временной контекстуализации: что« истинно »по отношению к одному момент времени не обязательно должен быть таким в другом ... Общая сила аргумента «Остиниан» заключается не только в том, что «вещи меняются», но и в том, что рациональность по существу временна в том смысле, что нам нужно время, чтобы примирить и управлять тем, что в противном случае быть взаимно деструктивными состояниями ". Согласно предложению Роберта, именно фактор «время» позволяет нам согласовать отдельные «части мира», которые играют решающую роль в решении Барвайса и Эчменди. Способность времени предотвратить прямую конфронтацию двух «частей света» здесь является внешней по отношению к «лжецу». Однако в свете анализа Бхартхари протяженность во времени, которая разделяет две точки зрения на мир или две «части мира» - часть до и часть после того, как функция выполняет свою задачу, - присуще любой «функции»: также функция для обозначения, которая лежит в основе каждого утверждения, включая «лжеца». Неразрешимый парадокс - ситуация, в которой мы имеем либо противоречие ( виродха ), либо бесконечный регресс ( анавастха ), - возникает в случае лжеца и других парадоксов, таких как парадокс малозначащей (парадокс Бхартхари ), когда абстрагирование делается от этой функции ( vyāpāra ) и его продление во времени, принимая одновременную противоположную функцию ( apara vyāpāra ), отменяя предыдущую.

Логическая структура

Для лучшего понимания парадокса лжеца полезно записать его более формально. Если «это утверждение ложно» обозначается A и его значение истинности ищется, необходимо найти условие, которое ограничивает выбор возможных значений истинности A. Поскольку A является самореферентным, можно задать условие уравнением.

Если какое-то утверждение B считается ложным, пишут: «B = false». Утверждение (C) о том, что утверждение B ложно, будет записано как «C = 'B = false ' ». Теперь парадокс лжеца может быть выражен как утверждение A, что A ложно:

Это уравнение, из которого можно было бы получить истинное значение A = "это утверждение ложно". В логической области «A = false» эквивалентно «not A», и поэтому уравнение не разрешимо. Это мотивация для переосмысления А. Простейшим логическим подходом к решению уравнения является диалетеистический подход, и в этом случае решение состоит в том, что А одновременно является «истинным» и «ложным». Другие разрешения в основном включают некоторые модификации уравнения; Артур Прайор утверждает, что уравнение должно быть «A = 'A = false и A = true ' », и поэтому A ложно. В вычислительной глагольной логике парадокс лжеца распространяется на такие утверждения, как «Я слышу то, что он говорит; он говорит то, что я не слышу», где для разрешения парадокса необходимо использовать логику глаголов.

Приложения

Первая теорема Гёделя о неполноте

Теоремы Гёделя о неполноте - это две фундаментальные теоремы математической логики, которые устанавливают ограничения, присущие достаточно мощным аксиоматическим системам для математики. Эти теоремы были доказаны Куртом Гёделем в 1931 году и важны для философии математики. Грубо говоря, при доказательстве первой теоремы о неполноте Гёдель использовал модифицированную версию парадокса лжеца, заменив «это предложение ложно» на «это предложение недоказуемо», названное «предложением Гёделя G». Его доказательство показало, что для любой достаточно мощной теории T G истинна, но не доказуема в T. Анализ истинности и доказуемости G является формализованной версией анализа истинности лживого предложения.

Чтобы доказать первую теорему о неполноте, Гёдель представил утверждения числами . Затем имеющаяся теория, которая, как предполагается, доказывает определенные факты о числах, также доказывает факты о своих собственных утверждениях. Вопросы о доказуемости утверждений представлены как вопросы о свойствах чисел, которые были бы разрешены теорией, если бы она была полной. Таким образом, предложение Гёделя утверждает, что не существует натурального числа с некоторым странным свойством. Число с этим свойством закодировало бы доказательство несостоятельности теории. Если бы было такое число, теория была бы противоречивой, вопреки гипотезе согласованности. Итак, если предположить, что теория непротиворечива, такого числа не существует.

Невозможно заменить «недоказуемое» на «ложное» в предложении Гёделя, потому что предикат «Q - гёделевское число ложной формулы» не может быть представлен как формула арифметики. Этот результат, известный как теорема Тарского о неопределенности , был открыт независимо Геделем (когда он работал над доказательством теоремы о неполноте) и Альфредом Тарским .

С тех пор Джордж Булос набросал альтернативное доказательство первой теоремы о неполноте, которое использует парадокс Берри, а не парадокс лжеца, для построения истинной, но недоказуемой формулы.

В популярной культуре

Парадокс лжеца иногда используется в художественной литературе, чтобы отключить искусственный интеллект, который представлен как неспособный обработать приговор. В эпизоде ​​« Я, Мадд » из « Звездного пути: оригинальная серия » парадокс лжеца используется капитаном Кирком и Гарри Маддом, чтобы сбить с толку и в конечном итоге вывести из строя андроида, удерживающего их в плену. В сериале « Доктор Кто» 1973 года «Зеленая смерть» Доктор временно ставит в тупик безумного компьютерного БОССА, спрашивая его: «Если бы я сказал вам, что следующее, что я скажу, было бы правдой, но последнее, что я сказал, было ложью, было бы ты мне веришь?" БОСС пытается выяснить это, но не может и в конечном итоге решает, что вопрос не имеет отношения к делу, и вызывает охрану.

В видеоигре Portal 2 2011 года искусственный интеллект GLaDOS пытается использовать парадокс «это предложение ложно», чтобы убить другой искусственный интеллект, Уитли . Однако, не имея ума, чтобы понять, что это утверждение является парадоксом, он просто отвечает: «Гм, правда. Я буду придерживаться истины. Вот, это было легко». и не подвержен влиянию. Как ни странно, все остальные присутствующие ИИ, за исключением GLaDOS, которые значительно менее разумны и ясны, чем она и Уитли, все еще убиты, услышав парадокс. Однако позже ГЛаДОС отмечает, что она чуть не покончила с собой из-за собственной попытки убить Уитли.

Дево песня, достаточно сказал , включает в себя текст Следующее , что я говорю вам будет верно / Последнее , что я сказал , было ложным.

В седьмом эпизоде Minecraft: Story Mode под названием «Доступ запрещен» главный герой Джесси и его друзья захвачены суперкомпьютером PAMA. После того, как PAMA контролирует двух друзей Джесси, Джесси узнает, что PAMA останавливается при обработке и использует парадокс, чтобы сбить его с толку и сбежать со своим последним другом. Один из парадоксов, который игрок может заставить его сказать, - парадокс лжеца.

В 21 главе Дугласа Адамса «Автостопом по галактике» он описывает одинокого старика, населяющего небольшой астероид в пространственных координатах, где должна была быть целая планета, посвященная жизненным формам Биро . Этот старик неоднократно утверждал, что все было неправдой, хотя позже выяснилось, что он лгал.

Песня Rollins Band 1994 года " Liar " намекает на парадокс, когда рассказчик заканчивает песню словами: "Я буду лгать снова и снова, и я буду лгать, я обещаю".

Песня Роберта Эрла Кина «Дорога продолжается и продолжается» намекает на парадокс. Считается, что эта песня была написана как часть вражды Кина с Тоби Кейтом, который, по-видимому, является «лжецом», о котором говорит Кин.

Смотрите также

• Перформативное противоречие
• Парадокс Гильберта-Бернейса
• Insolubilia
• Рыцари и Кнейвы
• Самостоятельная ссылка

Примечания

использованная литература

внешние ссылки

• Дауден, Брэдли. «Парадокс лжецов» . Интернет-энциклопедия философии .
• Beall, JC; Гланцберг, Майкл. «Парадокс лжецов» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .