Принцип взрыва - Principle of explosion

В классической логике , интуиционистской логике и подобных логических системах принцип взрыва ( латынь : ex falso [sequitur] quodlibet , «из лжи [следует]»; или ex contravemente [sequitur] quodlibet , «из противоречия, что угодно [следует] ] '), или принцип Псевдо-Скота , - это закон, согласно которому любое утверждение может быть доказано из противоречия . То есть, как только противоречие было утверждено, из него можно вывести любое предложение (включая их отрицания ); это известно как дедуктивный взрыв .

Доказательство этого принципа было впервые дано французским философом XII века Вильгельмом Суассонским . Из-за принципа взрыва существование противоречия ( непоследовательности ) в формальной аксиоматической системе губительно; поскольку любое утверждение может быть доказано, оно упрощает понятия истины и ложности. Примерно на рубеже 20-го века открытие противоречий, таких как парадокс Рассела в основаниях математики, таким образом, поставило под угрозу всю структуру математики. Математики, такие как Готтлоб Фреге , Эрнст Цермело , Абрахам Френкель и Торальф Сколем, приложили много усилий для пересмотра теории множеств, чтобы устранить эти противоречия, что привело к современной теории множеств Цермело – Френкеля .

В качестве демонстрации принципа рассмотрим два противоречащих друг другу утверждения - «Все лимоны желтые» и «Не все лимоны желтые» - и предположим, что оба они верны. В этом случае можно доказать все, что угодно, например утверждение, что « единороги существуют», с помощью следующего аргумента:

1. Мы знаем, что «не все лимоны желтые», как это предполагалось.
2. Мы знаем, что «Все лимоны желтые», как это предполагалось.
3. Следовательно, двухчастное утверждение «Все лимоны желтые ИЛИ единороги существуют» также должно быть истинным, поскольку первая часть «Все лимоны желтые» двухчастного утверждения верна (как и предполагалось).
4. Однако, поскольку мы знаем, что «не все лимоны желтые» (как это предполагалось), первая часть ложна, и, следовательно, вторая часть должна быть истинной, чтобы утверждение, состоящее из двух частей, было истинным, т. Е. Единороги существуют. .

В другом решении этих проблем несколько математиков изобрели альтернативные теории логики, названные паранепротиворечивой логикой , которые устраняют принцип взрыва. Это позволяет доказать некоторые противоречивые утверждения, не затрагивая другие доказательства.

Символическое представление

В символической логике принцип взрыва можно схематично выразить следующим образом:

${\ displaystyle P, \ lnot P \ vdash Q}$ Для любых утверждений P и Q , если P и not- P истинны, то логически следует, что Q истинно.

Доказательство

Ниже приводится формальное доказательство принципа с использованием символической логики.

Шаг	Предложение	Вывод
1	${\ displaystyle P}$	Предположение
2	${\ displaystyle \ neg P}$	Предположение
3	${\ Displaystyle P \ lor Q}$	Введение в дизъюнкцию (1)
4	${\ displaystyle Q}$	Дизъюнктивный силлогизм (3,2)

Это всего лишь символическая версия неформального аргумента, приведенного во введении, где «все лимоны желтые» и «единороги существуют». Начнем с предположения, что (1) все лимоны желтые и (2) не все лимоны желтые. Из утверждения, что все лимоны желтые, мы заключаем, что (3) либо все лимоны желтые, либо единороги существуют. Но затем из этого, а также из того факта, что не все лимоны желтые, мы заключаем, что (4) единороги существуют по дизъюнктивному силлогизму. ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$

Семантический аргумент

Альтернативный аргумент в пользу этого принципа проистекает из теории моделей . Предложение является семантическим следствием набора предложений только в том случае, если каждая модель является моделью . Однако модели противоречивого множества нет . Тем более не существует модели , не являющейся образцом . Таким образом, каждая модель бессодержательно является образцом . Таким образом , это семантическое следствие . ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle P}$${\ Displaystyle (P \ клин \ lnot P)}$${\ Displaystyle (P \ клин \ lnot P)}$${\ displaystyle Q}$${\ Displaystyle (P \ клин \ lnot P)}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle Q}$${\ Displaystyle (P \ клин \ lnot P)}$

Паранепротиворечивая логика

Была разработана паранепротиворечивая логика , допускающая субпротиворечивые операторы формирования. Теоретико-модельные паранепротиворечивые логики часто отрицают предположение об отсутствии модели и разрабатывают семантические системы, в которых такие модели существуют. С другой стороны, они отвергают идею о том, что предложения можно классифицировать как истинные или ложные. Теоретико-доказательная паранепротиворечивая логика обычно отрицает обоснованность одного из шагов, необходимых для получения взрыва, обычно включающего дизъюнктивный силлогизм , введение дизъюнкции и сокращение до абсурда . ${\ Displaystyle \ {\ phi, \ lnot \ phi \}}$

использование

Метаматематическое значение принципа взрыва является то , что для любой логической системы , в которой этот принципе имеет место, любые полученные теории , которая доказывает ⊥ (или эквивалентная форму, ) ничего не стоит , потому что все его заявления стали бы теоремами , что делают его невозможно отличить правду от лжи . То есть принцип взрыва является аргументом в пользу закона непротиворечивости в классической логике, потому что без него все утверждения истины становятся бессмысленными. ${\ displaystyle \ phi \ land \ lnot \ phi}$

Снижение стойкости логики без ex falso обсуждается в минимальной логике .

Смотрите также

• Consequentia mirabilis - Закон Клавия
• Диалетеизм - вера в существование истинных противоречий
• Закон исключенной середины - каждое утверждение истинно или ложно
• Закон непротиворечивости - никакое утверждение не может быть одновременно истинным и ложным
• Параконсистентная логика - семейство логик, используемых для разрешения противоречий.
• Парадокс следствия - кажущийся парадокс, вытекающий из принципа взрыва.
• Reductio ad absurdum - заключение, что предложение ложно, потому что оно порождает противоречие
• Тривиализм - вера в то, что все утверждения формы «П и не-П» верны.

использованная литература