Йорданова алгебра - Jordan algebra
В абстрактной алгебре , йорданова алгебра является неассоциативной алгеброй над полем которой умножение удовлетворяет следующие аксиомы:
- ( коммутативный закон)
- ( Иорданская идентичность ).
Произведение двух элементов x и y в йордановой алгебре также обозначается x ∘ y , в частности, чтобы избежать путаницы с произведением связанной ассоциативной алгебры .
Эти аксиомы подразумевают, что йорданова алгебра ассоциативна по степеням, что означает, что это не зависит от того, как мы заключили это выражение в скобки. Из них также следует, что для всех натуральных чисел m и n . Таким образом, мы можем эквивалентно определить йорданову алгебру как коммутативную ассоциативную по степеням алгебру, такую, что для любого элемента операции умножения на степени коммутируют.
Йордановы алгебры были впервые введены Паскуалем Джорданом ( 1933 ) для формализации понятия алгебры наблюдаемых в квантовой механике . Первоначально они назывались «r-числовыми системами», но были переименованы в «йордановы алгебры» Абрахамом Адрианом Альбертом ( 1946 ), который начал систематическое изучение общих йордановых алгебр.
Специальные йордановы алгебры
Учитывая ассоциативную алгебру A (не характеристики 2), можно построить йорданову алгебру A +, используя то же самое основное векторное пространство сложения. Сначала заметим, что ассоциативная алгебра является йордановой алгеброй тогда и только тогда, когда она коммутативна. Если он не коммутативен, мы можем определить новое умножение на A, чтобы сделать его коммутативным и фактически сделать его йордановой алгеброй. Новое умножение x ∘ y - это произведение Жордана :
Это определяет йордановую алгебру A + , и мы называем эти йордановы алгебры, а также любые подалгебры этих йордановых алгебр специальными йордановыми алгебрами . Все остальные йордановы алгебры называются исключительными йордановыми алгебрами . Теорема Ширшова – Кона утверждает, что любая йорданова алгебра с двумя образующими является специальной. В связи с этим теорема Макдональда утверждает, что любой многочлен от трех переменных, который имеет степень один по одной из переменных и который равен нулю в каждой специальной йордановой алгебре, обращается в нуль в каждой йордановой алгебре.
Эрмитовы йордановы алгебры
Если ( A , σ ) ассоциативная алгебра с инволюцией σ , то из σ ( x ) = x и σ ( y ) = y следует, что
Таким образом, множество всех элементов, зафиксированных инволюцией (иногда называемых эрмитовыми элементами), образуют подалгебру в A + , которую иногда обозначают H ( A , σ ).
Примеры
1. Множество самосопряженных вещественных , комплексных или кватернионных матриц с умножением
образуют специальную йорданову алгебру.
2. Набор самосопряженных матриц 3 × 3 над октонионами , снова с умножением
является 27-мерной исключительной йордановой алгеброй (она исключительна, потому что октонионы не ассоциативны). Это был первый пример алгебры Альберта . Его группа автоморфизмов - это исключительная группа Ли F₄ . Так как над комплексными числами это единственная простая исключительная йорданова алгебра с точностью до изоморфизма, ее часто называют «исключительной йордановой алгеброй». Над действительными числами существует три класса изоморфизма простых исключительных йордановых алгебр.
Выводы и структурная алгебра
Вывод йордановой алгебры А является эндоморфизмом D из A такой , что Д ( х ) = Д ( х ) у + XD ( у ). Выводы образуют алгебру Ли der ( A ). Тождество Жордана означает, что если x и y являются элементами A , то эндоморфизм, переводящий z в x ( yz ) - y ( xz ), является производным. Таким образом, прямая сумма А и дер ( A ) может быть превращено в алгебре Ли, называется структура алгебры из А , ул ( A ).
Простой пример - эрмитовы йордановы алгебры H ( A , σ ). В этом случае любой элемент x из A с σ ( x ) = - x определяет дифференцирование. Во многих важных примерах, структура алгебра Н ( А , сг ) является .
Выведение и структура алгебра также является частью Титс строительства "из магического квадрата Фрейденталь .
Формально вещественные йордановы алгебры
Алгебра (возможно, неассоциативная) над действительными числами называется формально реальной, если она удовлетворяет тому свойству, что сумма n квадратов может исчезнуть только в том случае, если каждый из них обращается в нуль индивидуально. В 1932 году Джордан попытался аксиоматизировать квантовую теорию, заявив, что алгебра наблюдаемых любой квантовой системы должна быть формально реальной алгеброй, которая является коммутативной ( xy = yx ) и ассоциативной по степеням (закон ассоциации выполняется для произведений, содержащих только x , поэтому что мощности любого элемента x определены однозначно). Он доказал, что любая такая алгебра является йордановой алгеброй.
Не всякая йорданова алгебра формально реальна, но Йордан, фон Нейман и Вигнер (1934) классифицировали конечномерные формально вещественные йордановы алгебры, также называемые евклидовыми йордановыми алгебрами . Всякая формально вещественная йорданова алгебра может быть записана как прямая сумма так называемых простых алгебр , которые нетривиальным образом сами по себе не являются прямыми суммами. В конечных размерностях простые формально вещественные йордановы алгебры делятся на четыре бесконечных семейства вместе с одним исключительным случаем:
- Йорданова алгебра самосопряженных вещественных матриц размера n × n , как указано выше.
- Йорданова алгебра самосопряженных комплексных матриц размера n × n , как указано выше.
- Йорданова алгебра самосопряженных кватернионных матриц размера n × n . как указано выше.
- Йорданова алгебра, свободно порожденная R n с соотношениями
- где правая часть определяется с помощью обычного скалярного произведения на R n . Иногда это называют спин-фактором или йордановой алгеброй типа Клиффорда .
- Йорданова алгебра самосопряженных октонионных матриц 3 × 3, как и выше (исключительная йорданова алгебра, называемая алгеброй Альберта ).
Из этих возможностей пока кажется, что природа использует только комплексные матрицы n × n в качестве алгебр наблюдаемых. Однако спиновые факторы играют роль в специальной теории относительности , и все формально вещественные йордановы алгебры связаны с проективной геометрией .
Разложение Пирса
Если e - идемпотент в йордановой алгебре A ( e 2 = e ) и R - операция умножения на e , то
- R (2 R - 1) ( R - 1) = 0
поэтому единственными собственными значениями R являются 0, 1/2, 1. Если йорданова алгебра A конечномерна над полем характеристики, отличной от 2, это означает, что она является прямой суммой подпространств A = A 0 ( e ) ⊕ A 1/2 ( e ) ⊕ A 1 ( e ) из трех собственных подпространств. Это разложение было впервые рассмотрено Джорданом, фон Нейманом и Вигнером (1934) для вполне вещественных йордановых алгебр. Позже она была изучена в полной общности Альберты (1947) и называется разложение Пирса из А относительно идемпотента е .
Обобщения
Бесконечномерные йордановы алгебры
В 1979 году Ефим Зельманов классифицировал бесконечномерные простые (и первичные невырожденные) йордановы алгебры. Они либо эрмитского, либо клиффордского типа. В частности, единственными исключительными простыми йордановыми алгебрами являются конечномерные алгебры Альберта размерности 27.
Йордановы операторные алгебры
Теория операторных алгебр была распространена на йордановы операторные алгебры .
Аналогами C * алгебр являются алгебры JB, которые в конечных размерностях называются евклидовыми йордановыми алгебрами . Норма на вещественной йордановой алгебре должна быть полной и удовлетворять аксиомам:
Эти аксиомы гарантируют, что йорданова алгебра формально реальна, так что, если сумма квадратов членов равна нулю, эти члены должны быть равны нулю. Комплексификации алгебр JB называются йордановыми алгебрами C * или алгебрами JB *. Они широко использовались в сложной геометрии для расширения йордановой алгебраической трактовки Кохера ограниченных симметричных областей до бесконечных измерений. Не все алгебры JB могут быть реализованы как йордановы алгебры самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, как в конечномерном пространстве. Исключительная алгебра Альберта - обычное препятствие.
Аналог йордановой алгебры алгебр фон Неймана играют алгебры JBW. Оказывается, это алгебры JB, которые, как банаховы пространства, являются пространствами, сопряженными к банаховым пространствам. Большая часть структурной теории алгебр фон Неймана может быть перенесена на алгебры JBW. В частности, факторы JBW - факторы с центром, приведенным к R - полностью понимаются в терминах алгебр фон Неймана. Помимо исключительной алгебры Альберта , все факторы JWB могут быть реализованы как йордановы алгебры самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, замкнутые в слабой операторной топологии . Из них спиновые факторы могут быть очень просто построены из реальных гильбертовых пространств. Все другие факторы JWB являются либо самосопряженной частью фактора фон Неймана, либо его подалгеброй неподвижных точек при периоде 2 * -антиаутоморфизма фактора фон Неймана.
Кольца Jordan
Жордановое кольцо - это обобщение йордановых алгебр, требующее только, чтобы жордановое кольцо находилось над общим кольцом, а не над полем. В качестве альтернативы можно определить жордановое кольцо как коммутативное неассоциативное кольцо, которое соблюдает тождество Жордана.
Иорданские супералгебры
Иорданские супералгебры были введены Кацем, Кантором и Капланским; это -градуированные алгебры, где - йорданова алгебра и имеет «лиевидное» произведение со значениями в .
Любая -градуированная ассоциативная алгебра становится йордановой супералгеброй относительно градуированной йордановой скобки
Йордановы простые супералгебры над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 были классифицированы Кацем (1977) . Они включают несколько семейств и некоторые исключительные алгебры, в частности и .
J-структуры
Концепция J-структуры была введена Спрингером (1973) для развития теории йордановых алгебр с использованием линейных алгебраических групп и аксиом, в которых инверсия Йордана была основной операцией, а тождество Хуа - основным отношением. По характеристике, отличной от 2, теория J-структур по существу такая же, как и у йордановых алгебр.
Квадратичные йордановы алгебры
Квадратичные йордановы алгебры являются обобщением (линейных) йордановых алгебр, введенных Кевином МакКриммоном ( 1966 ). Фундаментальные тождества квадратичного представления линейной йордановой алгебры используются в качестве аксиом для определения квадратичной йордановой алгебры над полем произвольной характеристики. Имеется единообразное описание конечномерных простых квадратичных йордановых алгебр, не зависящих от характеристики: в характеристике, не равной 2, теория квадратичных йордановых алгебр сводится к теории линейных йордановых алгебр.
Смотрите также
- Алгебра Фрейденталя
- Тройная система Иордана
- Иорданская пара
- Конструкция Кантора – Кехера – Титса.
- Сорт Скорца
Примечания
использованная литература
- Альберт, А. Адриан (1946), "О Жордана алгебры линейных преобразований", Труды Американского математического общества , 59 (3): 524-555, дой : 10,1090 / S0002-9947-1946-0016759-3 , ISSN 0002 -9947 , JSTOR 1990270 , Руководство по ремонту 0016759
- Альберт, А. Адриан (1947), "Теория структуры для йордановых алгебр", Анналы математики , второй серии 48 (3): 546-567, DOI : 10,2307 / 1969128 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969128 , MR 0021546
- Баэз, Джон С. (2002). «§3: Проективная октонионная геометрия» . Octonions . Бюллетень Американского математического общества . Бык. Амер. Математика. Soc. 39 . С. 145–205. DOI : 10.1090 / S0273-0979-01-00934-X . Руководство по ремонту 1886087 . S2CID 586512 .. Онлайн-версия HTML .
- Faraut, J .; Кораньи, А. (1994), Анализ на симметричных конусах , Оксфордские математические монографии, Oxford University Press, ISBN 0198534779
- Hanche-Olsen, H .; Стёрмер Э. (1984), Йордановы операторные алгебры , Монографии и исследования по математике, 21 , Pitman, ISBN 0273086197
- Джейкобсон, Натан (2008) [1968], Структура и представления йордановых алгебр , Публикации Коллоквиума Американского математического общества, 39 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 9780821831793, MR 0251099
- Jordan, Pascual (1933), "Über Verallgemeinerungsmöglichkeiten des Formalismus der Quantenmechanik", Nachr. Акад. Wiss. Гёттинген. Математика. Phys. Kl. I , 41 : 209–217
- Jordan, P .; фон Нейман, J .; Вигнера, Е. (1934), "Об алгебраической обобщения квантово - механического формализма", Анналы математики , 35 (1): 29-64, DOI : 10,2307 / 1968117 , JSTOR 1968117
- Каца, Victor G (1977), "Классификация простых Z-градуированных супералгебр Ли и простых йордановых супералгебр", Связь в алгебре , 5 (13): 1375-1400, DOI : 10,1080 / 00927877708822224 , ISSN 0092-7872 , MR 0498755
- МакКриммон, Кевин (1966), "Общая теория жордановых колец", Proc. Natl. Акад. Sci. США , 56 (4): 1072-1079, Bibcode : 1966PNAS ... 56.1072M , DOI : 10.1073 / pnas.56.4.1072 , JSTOR 57792 , МР 0202783 , КУП 220000 , PMID 16591377 , Zbl +0139,25502
- Маккриммон, Kevin (2004), Вкус Иордания алгебр , Universitext, Берлин, Нью - Йорк: Springer-Verlag , да : 10,1007 / b97489 , ISBN 978-0-387-95447-9, MR 2014924 , Zbl 1044.17001 , Errata
- Ичиро Сатаке (1980), Алгебраические структуры симметричных областей , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08271-4. Рассмотрение
- Шафер, Ричард Д. (1996), Введение в неассоциативные алгебры , Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-68813-8, Zbl 0145.25601
- Жевлаков, К.А.; Слинько AM; Шестаков, ИП; Ширшов А.И. (1982) [1978]. Кольца, которые почти ассоциативны . Академическая пресса . ISBN 0-12-779850-1. Руководство по ремонту 0518614 . Zbl 0487.17001 .
- Слинько, AM (2001) [1994], "Йорданова алгебра" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Спрингер, Тонни А. (1998) [1973], Йордановы алгебры и алгебраические группы , Classics in Mathematics, Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-3-642-61970-0 , ISBN 978-3-540-63632-8, Руководство по ремонту 1490836 , Zbl 1024.17018
- Спрингер, Тонни А .; Велдкамп, Фердинанд Д. (2000) [1963], Октонионы, йордановы алгебры и исключительные группы , Монографии Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-3-662-12622-6 , ISBN 978-3-540-66337-9, Руководство по ремонту 1763974
- Апмайер, Х. (1985), Симметричные банаховы многообразия и йордановы C ∗ -алгебры , North-Holland Mathematics Studies, 104 , ISBN 0444876510
- Апмайер, Х. (1987), Йордановы алгебры в анализе, теории операторов и квантовой механике , CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 67 , American Mathematical Society, ISBN 082180717X
дальнейшее чтение
- Кнус, Макс-Альберт; Меркурьев, Александр ; Рост, Маркус ; Тиньоль, Жан-Пьер (1998), Книга инволюций , Colloquium Publications, 44 , с предисловием Дж. Титса, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 0-8218-0904-0, Zbl 0955,16001
внешние ссылки
- Йорданова алгебра в PlanetMath
- Жорданов-банахова и жорданова-ли алгебры в PlanetMath