Функторы изображений для пучков - Image functors for sheaves

В математике , особенно в теории пучков - области, применяемой в таких областях, как топология , логика и алгебраическая геометрия - существует четыре функтора изображений для пучков, которые связаны друг с другом в различных смыслах.

Учитывая непрерывное отображение F : X → Y из топологических пространств , а категория Sh (-) пучков абелевых групп на топологическом пространстве. Рассматриваемые функторы:

прямой образ f _∗ : Sh ( X ) → Sh ( Y )
прообраз f ^∗ : Sh ( Y ) → Sh ( X )
прямое изображение с компактной опорой f _! : Ш ( X ) → Ш ( Y )
исключительный прообраз Rf ^! : D (Sh ( Y )) → D (Sh ( X )).

Восклицательный знак часто произносится как « крик » (жаргонная для восклицательного знака), а карты под названием « F визга» или « е нижний визг» и « е верхний вопль» -см также вопль карты .

Исключительный прообраз обычно определяется только на уровне производных категорий . Аналогичные соображения применимы к эталонным пучкам на схемах .

Сопряженность

Функторы сопряжены друг с другом, как показано справа, где, как обычно, означает, что F сопряжена слева к G (эквивалентно G сопряжена справа к F ), т. Е. ${\ displaystyle F \ leftrightarrows G}$

Hom ( F ( A ), B ) ≅ Hom ( A , G ( B ))

для любых двух объектов , B в двух категориях будучи сопряженным с помощью F и G .

Например, f ^∗ - левый сопряженный к f _* . Согласно стандартным рассуждениям, связанным с отношениями присоединения, существуют естественные морфизмы единиц и коит и для на Y и на X соответственно. Однако это почти никогда не бывает изоморфизмами - см. Пример локализации ниже. ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} \ rightarrow f _ {*} f ^ {*} {\ mathcal {G}}}$ ${\ Displaystyle е ^ {*} е _ {*} {\ mathcal {F}} \ rightarrow {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Двойственность Вердье

Двойственность Вердье дает еще одну связь между ними: с моральной точки зрения она меняет местами «∗» и «!», То есть в приведенном выше синопсисе меняет местами функторы по диагоналям. Например, прямое изображение двойственно прямому изображению с компактной опорой. Это явление изучается и используется в теории извращенных пучков .

Базовое изменение

Еще одно полезное свойство функторов изображений - смена базы . Для непрерывных отображений и , индуцирующих морфизмы и , существует канонический изоморфизм . ${\ displaystyle f: X \ rightarrow Z}$ ${\ displaystyle g: Y \ rightarrow Z}$ ${\ displaystyle {\ bar {f}}: X \ times _ {Z} Y \ rightarrow Y}$ ${\ displaystyle {\ bar {g}}: X \ times _ {Z} Y \ rightarrow X}$ ${\ displaystyle R {\ bar {f}} _ {*} R {\ bar {g}} ^ {!} \ cong Rf ^ {!} Rg _ {*}}$