Функтор обратного изображения - Inverse image functor

В математике, особенно в алгебраической топологии и алгебраической геометрии , функтор обратного образа - это контравариантная конструкция пучков ; здесь «контравариантны» в том смысле , какой карта , прообраз функтор функтор из категории пучков на Y к категории пучков на X . Функтор прямым образом является основной операцией на шкивах, с простейшим определением. Обратное изображение демонстрирует некоторые относительно тонкие особенности. ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$

Функторы изображений для пучков
прямое изображение f ∗
прообраз f ∗
прямое изображение с компактной опорой f !
исключительный прообраз Rf !
${\ displaystyle f ^ {*} \ leftrightarrows f _ {*}}$
${\ displaystyle (R) f _ {!} \ leftrightarrows (R) f ^ {!}}$
Теоремы о замене базы
v т е

Определение

Пусть дан пучок на и что мы хотим , чтобы транспортировать в использовании непрерывного отображения . ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle Y}$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$

Результат мы будем называть инверсным изображением или откатной связкой . Если мы попытаемся сымитировать прямое изображение , установив ${\ displaystyle f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$

${\ Displaystyle е ^ {- 1} {\ mathcal {G}} (U) = {\ mathcal {G}} (f (U))}$

для каждого открытого множества из , мы сразу же столкнулись с проблемой: не обязательно открывать. Лучшее, что мы могли сделать, - это аппроксимировать его открытыми множествами, и даже тогда мы получим предпучок, а не пучок. Следовательно, мы определяем , чтобы быть пучком , ассоциированный с предпучкой : ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f (U)}$${\ displaystyle f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$

${\ Displaystyle U \ mapsto \ varinjlim _ {V \ supseteq f (U)} {\ mathcal {G}} (V).}$

(Здесь есть открытое подмножество и копредел пробегает все открытые подмножества из содержащих .) ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f (U)}$

Например, если это только включение точки из , то это только стебель из в этой точке. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f ^ {- 1} ({\ mathcal {F}})}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Карты рестрикции, а также функториальность прообраза следует из универсального свойства из прямых пределов .

При работе с морфизмами из локально окольцованных пространств , например , схемы в алгебраической геометрии , один часто работает с пучками -модулей , где структура пучок . Тогда функтор неуместен, потому что, вообще говоря, он даже не дает пучков -модулей. Чтобы исправить это, в этой ситуации для пучка -модулей определяется его прообраз как ${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f ^ {- 1}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}}$

${\ displaystyle f ^ {*} {\ mathcal {G}}: = f ^ {- 1} {\ mathcal {G}} \ otimes _ {f ^ {- 1} {\ mathcal {O}} _ {Y }} {\ mathcal {O}} _ {X}}$.

Свойства

• Хотя определить сложнее , чем , стебли легче вычислить: дана точка , есть .${\ displaystyle f ^ {- 1}}$${\ displaystyle f _ {\ ast}}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ Displaystyle (е ^ {- 1} {\ mathcal {G}}) _ {х} \ cong {\ mathcal {G}} _ {е (х)}}$
• ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$является точным функтором , как видно из приведенного выше расчета стеблей.
• ${\ displaystyle f ^ {*}}$является (в общем) только правильным. Если точно, f называется плоской .${\ displaystyle f ^ {*}}$
• ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$является сопряженной слева от прямого функтора изображения . Это означает, что существуют естественные морфизмы единицы и группы и . Эти морфизмы дают естественное соответствие присоединения:${\ displaystyle f _ {\ ast}}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}} \ rightarrow f _ {*} f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle f ^ {- 1} f _ {*} {\ mathcal {F}} \ rightarrow {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathbf {Sh} (X)} (f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}, {\ mathcal {F}}) = \ mathrm {Hom} _ { \ mathbf {Sh} (Y)} ({\ mathcal {G}}, f _ {*} {\ mathcal {F}})}$.

Однако морфизмы и почти никогда не бывают изоморфизмами. Например, если обозначает включение замкнутого подмножества, стержень в точке канонически изоморфен, если находится в, а в противном случае. Аналогичное присоединение справедливо для случая пучков модулей с заменой на . ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} \ rightarrow f _ {*} f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle f ^ {- 1} f _ {*} {\ mathcal {F}} \ rightarrow {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle я \ двоеточие от Z \ до Y}$${\ Displaystyle я _ {*} я ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle y \ in Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {y}}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle i ^ {- 1}}$${\ displaystyle i ^ {*}}$

Ссылки

• Иверсен, Биргер (1986), Когомологии пучков , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3, MR  0842190. См. Раздел II.4.