Гиперболический кватернион - Hyperbolic quaternion

Гиперболическое умножение кватернионов

×	1	я	j	k
1	1	я	j	k
я	я	+1	k	- j
j	j	- к	+1	я
k	k	j	- я	+1

В абстрактной алгебре , то алгебра из гиперболических кватернионов является неассоциативной алгеброй над вещественными числами с элементами вида

${\ displaystyle q = a + bi + cj + dk, \ quad a, b, c, d \ in \ mathbb {R} \!}$

где квадраты i, j и k равны +1, а различные элементы {i, j, k} умножаются с антикоммутативным свойством.

Четырехмерная алгебра гиперболических кватернионов включает в себя некоторые особенности более старой и большей алгебры бикватернионов . Оба они содержат подалгебры, изоморфные плоскости расщепленных комплексных чисел . Кроме того, как алгебру кватернионов H можно рассматривать как объединение комплексных плоскостей , так и гиперболическая алгебра кватернионов представляет собой объединение плоскостей с расщепленными комплексными числами, разделяющих одну и ту же действительную прямую .

Именно Александр Макфарлейн продвигал эту концепцию в 1890-х годах в качестве своей алгебры физики сначала через Американскую ассоциацию развития науки в 1891 году, затем в своей книге из пяти статей по космическому анализу 1894 года и в серии лекций в Лихайе. Университет в 1900 году.

Алгебраическая структура

Подобно кватернионам , набор гиперболических кватернионов образует векторное пространство над действительными числами от размерности 4. линейной комбинации

${\ displaystyle q = a + bi + cj + dk}$

является гиперболическим кватернионом, когда и являются действительными числами, а базисный набор имеет следующие продукты: ${\ displaystyle a, b, c,}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle \ {1, я, j, k \}}$

${\ displaystyle ij = k = -ji}$

${\ Displaystyle jk = я = -kj}$

${\ displaystyle ki = j = -ik}$

${\ displaystyle i ^ {2} = + 1 = j ^ {2} = k ^ {2}}$

Используя свойство распределенности , эти отношения можно использовать для умножения любых двух гиперболических кватернионов.

В отличие от обычных кватернионов, гиперболические кватернионы не ассоциативны . Например , в то время как . Фактически, этот пример показывает, что гиперболические кватернионы даже не являются альтернативной алгеброй . ${\ Displaystyle (ij) j = kj = -i}$${\ Displaystyle я (jj) = я}$

Первые три соотношения показывают, что произведения (нереальных) базисных элементов антикоммутативны . Хотя этот базисный набор не образует группу , набор

${\ Displaystyle \ {1, я, j, k, -1, -i, -j, -k \}}$

образует квазигруппу . Также можно отметить, что любая подплоскость множества гиперболических кватернионов M , содержащая действительную ось, образует плоскость расщепленных комплексных чисел . Если

${\ displaystyle q ^ {*} = a-bi-cj-dk}$

является конъюгатом , то произведение ${\ displaystyle q}$

${\ displaystyle q (q ^ {*}) = a ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2} -d ^ {2}}$

- квадратичная форма, используемая в теории пространства-времени . На самом деле, для событий р и д , тем билинейная форма

${\ displaystyle \ eta (p, q) = - p_ {0} q_ {0} + p_ {1} q_ {1} + p_ {2} q_ {2} + p_ {3} q_ {3}}$

возникает как отрицание действительной части гиперболического кватернионного произведения pq * и используется в пространстве Минковского .

Обратите внимание, что множество единиц U = { q  : qq * ≠ 0} не замкнуто при умножении. См. Ссылки (внешняя ссылка) для подробностей.

Обсуждение

Гиперболические кватернионы образуют неассоциативное кольцо ; несостоятельность ассоциативности этой алгебры ограничивает возможности этой алгебры в теории преобразований. Тем не менее, эта алгебра сфокусировалась на аналитической кинематике, предложив математическую модель : когда один выбирает единичный вектор r в гиперболических кватернионах, тогда r ² = +1. Плоскость с гиперболическим умножением кватернионов является коммутативной и ассоциативной подалгеброй, изоморфной плоскости расщепленных комплексных чисел. Гиперболической versor преобразования D _г по ${\ Displaystyle D_ {r} = \ lbrace t + xr: t, x \ in R \ rbrace}$ ${\ Displaystyle \ ехр (ар) = \ сш (а) + р \ зп (а)}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} t + xr && \ mapsto \ quad & \ exp (ar) (t + xr) \\ && = \ quad & (\ cosh (a) t + x \ sinh (a)) + (\ sh (a) t + x \ cosh (a)) r. \ end {align}}}$

Поскольку направление r в пространстве произвольно, это гиперболическое умножение кватернионов может выразить любое усиление Лоренца с помощью параметра a, называемого быстротой . Однако гиперболическая алгебра кватернионов недостаточна для представления полной группы Лоренца (см. Вместо этого бикватернион ).

Написав в 1967 году о диалоге о векторных методах в 1890-х годах, историк прокомментировал:

Внедрение другой системы векторного анализа, даже своего рода компромиссной системы, такой как система Макфарлейна, вряд ли могло быть хорошо воспринято сторонниками уже существующих систем и, более того, вероятно, способствовало расширению вопроса, выходящему за рамки понимания пока еще непосвященного читателя. .

Геометрия

Позже Макфарлейн опубликовал статью в Proceedings of the Royal Society of Edinburgh в 1900 году. В ней он рассматривает модель гиперболического пространства H ³ на гиперболоиде.

${\ displaystyle H ^ {3} = \ {q \ in M: q (q ^ {*}) = 1 \}.}$

Эта изотропная модель называется гиперболоидной моделью и состоит из всех гиперболических версоров в кольце гиперболических кватернионов.

Исторический обзор

В 1890 - х годах ощущалось влияние посмертных публикаций WK Клиффорд и непрерывных групп по Софус Ли . Примером однопараметрической группы является гиперболический версор с параметром гиперболического угла . Этот параметр является частью полярного разложения комплексного числа с расщеплением. Но это поразительный аспект конечной математики, который отличает гиперболическое кватернионное кольцо:

Базис векторного пространства гиперболических кватернионов не замкнут относительно умножения: например ,. Тем не менее, множество замкнуто относительно умножения. Он удовлетворяет всем свойствам абстрактной группы, кроме свойства ассоциативности; будучи конечным, это латинский квадрат или квазигруппа , периферийная математическая структура . Утрата свойства ассоциативности умножения, обнаруженная в теории квазигрупп, несовместима с линейной алгеброй, поскольку все линейные преобразования составляют ассоциативным образом. Тем не менее , физические ученые называли в 1890 - х годах для мутации квадратов , и быть вместо  : Йельского университета физик Уиллард Гиббс был памфлеты с плюс один квадрат в его трехмерной векторной системы. Оливер Хевисайд из Англии писал колонки в « Электрик» , отраслевой газете, отстаивая положительный квадрат. В 1892 году он собрал свои работы в « Транзакциях Королевского общества А», где, по его словам, его векторная система ${\ Displaystyle \ {1, \, я, \, j, \, к \}}$${\ displaystyle ji = - \! k}$${\ displaystyle \ {1, \, i, \, j, \, k, \, - \! 1, \, - \! i, \, - \! j, \, - \! k \}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle +1}$${\ displaystyle -1}$

просто элементы кватернионов без кватернионов, с предельно упрощенной нотацией и с очень неудобным знаком минус перед тем, как скалярное произведение покончено.

Таким образом, появление гиперболических кватернионов Макфарлейна имело некоторую мотивацию, но неприятная неассоциативность спровоцировала реакцию. Компания Cargill Gilston Knott предложила следующее:

Теорема (Knott 1892).

Если 4-алгебра по базису ассоциативна и недиагональные произведения задаются правилами Гамильтона, то . ${\ Displaystyle \ {1, \, я, \, j, \, к \}}$${\ displaystyle i ^ {2} = - \! 1 = j ^ {2} = k ^ {2}}$

Доказательство:

${\ Displaystyle j = ки = (- ji) я = -j (ii)}$ , так что . Цикл буквы , , чтобы получить . QED . ${\ displaystyle i ^ {2} = - 1}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle i ^ {2} = - 1 = j ^ {2} = k ^ {2}}$

Эта теорема нуждалась в формулировке, чтобы оправдать сопротивление призыву физиков и электриков . Квазигруппа вызвала значительный ажиотаж в 1890-х годах: журнал Nature особенно способствовал демонстрации того, что было известно, дав два дайджеста работ Нотта, а также некоторых других теоретиков векторов. Майкл Дж. Кроу посвящает шестую главу своей книги «История векторного анализа» различным опубликованным представлениям и отмечает гиперболический кватернион:

Макфарлейн построил новую систему векторного анализа, больше гармонирующую с системой Гиббса – Хевисайда, чем с системой кватернионов. ... он ... определил полное произведение двух векторов, которое было сравнимо с полным произведением кватернионов, за исключением того, что скалярная часть была положительной, а не отрицательной, как в старой системе.

В 1899 году Чарльз Джаспер Джоли отметил гиперболический кватернион и свойство неассоциативности, приписывая его происхождение Оливеру Хевисайду.

Гиперболические кватернионы, как алгебра физики , подрывают утверждения, которые обычные кватернионы предъявляют к физике. Что касается математики, гиперболический кватернион - еще одно гиперкомплексное число , как в то время назывались такие структуры. К 1890-м годам Ричард Дедекинд ввел понятие кольца в коммутативную алгебру, а понятие векторного пространства абстрагировалось Джузеппе Пеано . В 1899 году Альфред Норт Уайтхед продвигал универсальную алгебру , выступая за инклюзивность. Понятия квазигруппы и алгебры над полем являются примерами математических структур, описывающих гиперболические кватернионы.

Гиперболический кватернион Макфарлейна 1900 г.

В Трудах Королевского общества Эдинбурга опубликовали «гиперболические кватернионы» в 1900 году, документ , в котором Макфарлейн восстанавливает ассоциативности для умножения на возврат к комплексифицированным кватернионам . Там он использовал некоторые выражения, ставшие впоследствии знаменитыми благодаря Вольфгангу Паули : где Макфарлейн писал

${\ displaystyle ij = к {\ sqrt {-1}}}$

${\ displaystyle jk = я {\ sqrt {-1}}}$

${\ displaystyle ki = j {\ sqrt {-1}},}$

что матрицы Паули удовлетворяют

${\ displaystyle \ sigma _ {1} \ sigma _ {2} = \ sigma _ {3} {\ sqrt {-1}}}$

${\ displaystyle \ sigma _ {2} \ sigma _ {3} = \ sigma _ {1} {\ sqrt {-1}}}$

${\ displaystyle \ sigma _ {3} \ sigma _ {1} = \ sigma _ {2} {\ sqrt {-1}}}$

имея в виду одни и те же комплексообразные кватернионы.

Вступительное предложение статьи: «Хорошо известно, что кватернионы тесно связаны со сферической тригонометрией и фактически сводят предмет к разделу алгебры». Это утверждение можно проверить, сославшись на современную работу « Векторный анализ», которая работает с сокращенной системой кватернионов, основанной на скалярном произведении и перекрестном произведении . В статье Макфарлейна предпринята попытка создать «тригонометрию на поверхности равносторонних гиперболоидов» с помощью алгебры гиперболических кватернионов, которые теперь повторно идентифицированы в ассоциативном кольце восьми реальных измерений. Усилия подкреплены табличкой с девятью рисунками на странице 181. Они иллюстрируют описательную силу его метода «анализа пространства». Например, рисунок 7 - это обычная диаграмма Минковского, используемая сегодня в специальной теории относительности для обсуждения изменения скорости системы отсчета и относительности одновременности .

На странице 173 Макфарлейн расширяет свою большую теорию кватернионных переменных. Для контраста он отмечает, что Феликс Кляйн, похоже, не выходит за рамки теории кватернионов и пространственного вращения .

Рекомендации