Инвариант Хассе алгебры - Hasse invariant of an algebra

В математике , то инвариант Хассе алгебры является инвариантом привязанных к классу Брауэра из алгебр над полем . Концепция названа в честь Хельмута Хассе . Инвариант играет роль в локальной теории полей классов .

Местные поля

Пусть K - локальное поле со нормированием v, а D - K -алгебра. Мы можем предположить , D является алгеброй с делением с центром К степени п . Оценка v может быть расширен до D , например, разбавления его совместимость с каждым коммутативным подполем D : группа значений этой оценки является (1 / п ) Z .

Существует коммутативное подполе л из D , который неразветвленный над K и D расщепляется над L . Поле L не является уникальным , но все такие расширения сопряжены по теореме Сколема-Нетер , который также показывает , что любой автоморфизм L индуцируется сопряжением в D . Возьмем γ в D так , чтобы сопряжение с помощью γ индуцировало автоморфизм Фробениуса группы L / K, и пусть v (γ) = k / n . Тогда K / п по модулю 1 инвариант Хассе D . Это зависит только от класса D по Брауэру .

Инвариант Хассы, таким образом, отображение , определенное на группе Брауэра о наличии локального поля K с делимой группой Q / Z . Каждый класс в группе Брауэра представлена классом в группе Брауэра неразветвленного расширения L / K степени п , что по теореме Grunwald-Ван и Альберт-Брауэра-Хассе-Нётер мы можем предпринять , чтобы быть циклическая алгебра ( L , φ, π k ) для некоторого k mod n , где φ - отображение Фробениуса, а π - униформизатор. Инвариантная карта присоединяет элемент k / n mod 1 к классу. Это демонстрирует инвариантное отображение как гомоморфизм

Инвариантное отображение продолжается до Br ( K ), представляя каждый класс некоторым элементом Br ( L / K ), как указано выше.

Для неархимедова локального поля инвариантное отображение является групповым изоморфизмом .

В случае поле R из действительных чисел , есть два класса Брауэр, представленные алгебры R сами и кватернион алгебра H . Классу R удобно присвоить инвариант ноль, а классу кватернионов - инвариант 1/2 по модулю 1.

В случае поля комплексных чисел C единственным классом Брауэра является тривиальный, с инвариантом нуля.

Глобальные поля

Для глобального поля K , учитывая центральную простую алгебру D над K, тогда для каждого нормирования v поля K мы можем рассмотреть расширение скаляров D v = D ⊗ K v Расширение D v расщепляется для всех, кроме конечного числа v , так что локальный инвариант из D V почти всегда равен нулю. Группа Брауэра Br ( K ) укладывается в точную последовательность

где S - множество всех оценок K, а стрелка вправо - сумма локальных инвариантов. Инъективность левой стрелки является содержанием теоремы Альберта – Брауэра – Хассе – Нётер . Точность в среднем значении - это глубокий факт из теории глобального поля классов .

Ссылки

  • Жиль, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006). Центральные простые алгебры и когомологии Галуа . Кембриджские исследования в области высшей математики. 101 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-86103-9. Zbl  1137.12001 .
  • Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и сложные темы . Springer. С. 231–238. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl  1130.12001 .
  • Серр, Жан-Пьер (1967). «VI. Теория поля локальных классов». В Касселсе, JWS ; Fröhlich, A. (ред.). Алгебраическая теория чисел. Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО) при поддержке Международного математического союза . Лондон: Academic Press. С. 128–161. Zbl  0153.07403 .
  • Серр, Жан-Пьер (1979). Местные поля . Тексты для выпускников по математике . 67 . Перевод Гринберга, Марвин Джей . Springer-Verlag . ISBN 0-387-90424-7. Zbl  0423.12016 .

дальнейшее чтение