Харди космос - Hardy space

В комплексном анализе , что пространства Харди (или классы Харди ) Н ^р определенные пространства из голоморфных функций на единичном круге или верхней полуплоскости . Они были введены Фридьесом Риссом ( Riesz 1923 ), который назвал их в честь Г. Х. Харди из-за статьи ( Hardy 1915 ). В реальном анализе пространства Харди определенные пространства распределений на вещественной оси, которые (в смысле распределений) граничных значений голоморфных функций комплексных пространств Харди, и которые связаны с L ^р пространств в функциональном анализе . Для 1 ≤  р  ≤ ∞ эти реальные пространства Харди Н ^р определенные подмножества из L ^р , а при р <1 L ^р пространства имеют некоторые нежелательные свойства, и пространства Харди намного лучше себя.

Существуют также многомерные обобщения, состоящие из некоторых голоморфных функций на трубчатых областях в комплексном случае или определенных пространств распределений на R ⁿ в вещественном случае.

Пространства Харди имеют ряд приложений в самом математическом анализе , а также в теории управления (например, методы H ^∞ ) и в теории рассеяния .

Пространства Hardy для блочного диска

Для пространств голоморфных функций на открытом единичном круге пространство Харди H ² состоит из функций f , среднее квадратическое значение которых на окружности радиуса r остается ограниченным снизу при r → 1.

В более общем смысле, пространство Харди H ^p для 0 < p <∞ - это класс голоморфных функций f на открытом единичном круге, удовлетворяющих

${\ displaystyle \ sup _ {0 \ leqslant r <1} \ left ({\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ left | f \ left (re ^ {i \ theta} \ right) \ right | ^ {p} \; \ mathrm {d} \ theta \ right) ^ {\ frac {1} {p}} <\ infty.}$

Этот класс H ^p является векторным пространством. Число в левой части приведенного выше неравенства - это p -норма пространства Харди для f , обозначаемая как Это норма при p ≥ 1, но не при 0 < p  <1. ${\ displaystyle \ | f \ | _ {H ^ {p}}.}$

Пространство H ^∞ определяется как векторное пространство ограниченных голоморфных функций на круге с нормой

${\ Displaystyle \ | е \ | _ {H ^ {\ infty}} = \ sup _ {| z | <1} \ left | f (z) \ right |.}$

При 0 <р ≤ Q ≤ ∞, класс Н ^д является подмножеством из Н ^р и Н ^р -норма возрастает с р (это является следствием неравенства Гельдера , что L ^р -норм увеличивается для вероятностных мер , т.е. меры общей массой 1).

Пространства Харди на единичном круге

Пространства Харди, определенные в предыдущем разделе, также можно рассматривать как некоторые замкнутые векторные подпространства комплексных пространств L ^p на единичной окружности. Эта связь обеспечивается следующей теоремой ( Кацнельсон, 1976 , теор. 3.8): для заданного f ∈ H ^p , p ≥ 0, радиальный предел

${\ Displaystyle {\ тильда {е}} \ влево (е ^ {я \ тета} \ вправо) = \ лим _ {г \ к 1} е \ влево (ре ^ {я \ тета} \ вправо)}$

существует почти для любого θ. Функция принадлежит пространству L ^p для единичной окружности, и мы имеем, что ${\ displaystyle {\ tilde {f}}}$

${\ displaystyle \ | {\ тильда {f}} \ | _ {L ^ {p}} = \ | f \ | _ {H ^ {p}}.}$

Обозначая единичную окружность через T , а через H ^p ( T ) - векторное подпространство в L ^p ( T ), состоящее из всех предельных функций , когда f изменяется в H ^p , тогда получается подпространство при p  ≥ 1 ( Katznelson 1976 ) ${\ displaystyle {\ tilde {f}}}$

${\ displaystyle g \ in H ^ {p} \ left (\ mathbf {T} \ right) {\ text {тогда и только тогда, когда}} g \ in L ^ {p} \ left (\ mathbf {T} \ right ) {\ text {and}} {\ hat {g}} (n) = 0 {\ text {для всех}} n <0,}$

где ĝ ( n ) - коэффициенты Фурье функции g, интегрируемой на единичной окружности,

${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbf {Z}, \ \ \ {\ hat {g}} (n) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} g \ left (e ^ {i \ phi} \ right) e ^ {- in \ phi} \, \ mathrm {d} \ phi.}$

Пространство H ^p ( T ) является замкнутым подпространством в L ^p ( T ). Поскольку L ^p ( T ) - банахово пространство (для 1 ≤ p ≤ ∞), то H ^p ( T ) также.

Вышесказанное можно изменить. Для функции ∈ L ^p ( T ) при p ≥ 1 можно восстановить ( гармоническую ) функцию f на единичном круге с помощью ядра Пуассона P _r : ${\ displaystyle {\ tilde {f}}}$

${\ displaystyle f \ left (re ^ {i \ theta} \ right) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} P_ {r} (\ theta - \ phi) {\ tilde {f}} \ left (e ^ {i \ phi} \ right) \, \ mathrm {d} \ phi, \ quad r <1,}$

и f принадлежит H ^p именно тогда, когда находится в H ^p ( T ). Предположим, что он находится в H ^p ( T ), т. Е. Имеет коэффициенты Фурье ( a _n ) _{n ∈ Z} с a _n = 0 для любого n <0, тогда элемент f пространства Харди H ^p, связанный с, является голоморфной функцией ${\ displaystyle {\ tilde {f}}}$${\ displaystyle {\ tilde {f}}}$${\ displaystyle {\ tilde {f}}}$${\ displaystyle {\ tilde {f}}}$

${\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n}, \ \ \ | z | <1.}$

В приложениях функции с исчезающими отрицательными коэффициентами Фурье обычно интерпретируются как причинные решения. Таким образом, пространство Н ² видно , чтобы сидеть , естественно , внутри L ² пространства, и представлена бесконечных последовательностей , индексированных N ; в то время как L ² состоит из би-бесконечных последовательностей , индексированных Z .

Связь с настоящими пространствами Харди на круге

Когда 1 ≤ p <∞, реальные пространства Харди H ^p, обсуждаемые далее в этой статье, легко описать в данном контексте. Действительная функция f на единичной окружности принадлежит действительному пространству Харди H ^p ( T ), если она является действительной частью функции из H ^p ( T ), а комплексная функция f принадлежит действительному пространству Харди тогда и только тогда, когда Re ( f ) и Im ( f ) принадлежат пространству (см. раздел о вещественных пространствах Харди ниже). Таким образом, для 1 ≤ p <∞ реальное пространство Харди содержит пространство Харди, но оно намного больше, поскольку между действительной и мнимой частью функции не налагается никакого отношения.

При 0 < p <1 такие инструменты, как коэффициенты Фурье, интеграл Пуассона, сопряженная функция, больше не действуют. Например, рассмотрим функцию

${\ Displaystyle F (z) = {\ frac {1 + z} {1-z}}, \ quad | z | <1.}$

Тогда F находится в H ^p для любого 0 < p <1, и радиальный предел

${\ Displaystyle F (е ^ {я \ theta}): = \ lim _ {r \ to 1} F (re ^ {i \ theta}) = я \, \ cot ({\ tfrac {\ theta} {2 }}).}$

существует для п.в. θ и находится в H ^p ( T ), но Re ( f ) равно 0 почти всюду, поэтому восстановить F из Re ( f ) уже невозможно . Как следствие этого примера, можно увидеть, что для 0 < p <1 нельзя охарактеризовать реальную H ^p ( T ) (определенную ниже) простым способом, указанным выше, но необходимо использовать фактическое определение с использованием максимальных функций, которые дается где-то ниже.

Для той же функции F пусть f _r (e ^iθ ) = F ( re ^iθ ). Предел при r → 1 для Re ( f _r ) в смысле распределений на окружности является ненулевым кратным распределению Дирака при z = 1. Распределение Дирака в точке единичной окружности принадлежит вещественному - H ^p ( T ) для любого p  <1 (см. Ниже).

Факторизация на внутренние и внешние функции (Берлинг)

Для 0 <  p  ≤ ∞ любую ненулевую функцию f в H ^p можно записать как произведение f = Gh, где G - внешняя функция, а h - внутренняя функция , как определено ниже ( Rudin 1987 , Thm 17.17). Эта « факторизация Берлинга » позволяет полностью охарактеризовать пространство Харди пространствами внутренних и внешних функций.

Говорят, что G ( z ) - внешняя (внешняя) функция, если она принимает вид

${\ Displaystyle G (z) = c \, \ exp \ left ({\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} {\ frac {e ^ {i \ theta} + z} {e ^ {i \ theta} -z}} \ log \! \ left (\ varphi \! \ left (e ^ {i \ theta} \ right) \ right) \, \ mathrm {d } \ theta \ right)}$

для некоторого комплексного числа c с | c | = 1, и некоторая положительная измеримая функция на единичной окружности, интегрируемая на окружности. В частности, когда интегрируемо на окружности, G находится в H ^1, потому что вышеприведенное принимает форму ядра Пуассона ( Рудин, 1987 , Thm 17.16). Это означает, что ${\ displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle \ журнал (\ varphi)}$${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle \ lim _ {r \ to 1 ^ {-}} \ left | G \ left (re ^ {i \ theta} \ right) \ right | = \ varphi \ left (e ^ {i \ theta} \ Правильно)}$

почти для каждого θ.

Говорят, что h - внутренняя (внутренняя) функция тогда и только тогда, когда | h | ≤ 1 на единичном диске и предел

${\ Displaystyle \ lim _ {г \ к 1 ^ {-}} ч (ре ^ {я \ тета})}$

существует почти для всех θ и его модуль равен 1 п.в. В частности, h принадлежит H ^∞ . Внутренняя функция может быть дополнительно преобразована в форму, включающую произведение Бляшке .

Функции F , разлагают , как ф = Gh , в H ^р тогда и только тогда , когда φ принадлежит L ^р ( Т ), где φ является положительной функцией в представлении внешней функции G .

Пусть G - внешняя функция, представленная, как указано выше, функцией φ на окружности. При замене φ на φ ^α , α> 0, получается семейство внешних функций ( G _α ) со свойствами:

G ₁  = G , G _{α + β} = G _α  G _β   и | G _α | = | G | ^α почти всюду на окружности.

Отсюда следует, что всякий раз, когда 0 < p , q , r <∞ и 1 / r = 1 / p + 1 / q , каждая функция f из H ^r может быть выражена как произведение функции из H ^p и функции из H ^q . Например: каждая функция в H ¹ является произведением двух функций в H ² ; каждая функция из H ^p , p <1, может быть выражена как произведение нескольких функций из некоторого H ^q , q  > 1.

Техники с вещественными переменными на единичном круге

Методы вещественных переменных, в основном связанные с изучением реальных пространств Харди, определенных на R ⁿ (см. Ниже), также используются в более простой структуре круга. Обычной практикой является разрешение сложных функций (или распределений) в этих «реальных» пространствах. В последующем определении не делается различия между реальным и сложным случаем.

Пусть P _г обозначим через ядро Пуассона на единичной окружности Т . Для распределения f на единичной окружности положим

${\ Displaystyle (Mf) (е ^ {я \ тета}) = \ sup _ {0 <г <1} \ влево | (е * P_ {г}) \ влево (е ^ {я \ тета} \ вправо) \ right |,}$

где звездочка означает свертку между распределением f и функцией e ^iθ → P _r (θ) на окружности. А именно, ( f ∗ P _r ) (e ^iθ ) является результатом действия f на C ^∞ -функцию, определенную на единичной окружности формулой

${\ displaystyle e ^ {я \ varphi} \ rightarrow P_ {r} (\ theta - \ varphi).}$

При 0 < p  <∞ вещественное пространство Харди H ^p ( T ) состоит из таких распределений f , что M f   принадлежит L ^p ( T ).

Функция F , определенная на единичном круге F ( повторно ^iθ ) = ( е * Р _г ) (е ^iθ ) является гармоническим, а М е   является радиальной максимальной функцией из F . Когда М е   принадлежит L ^р ( Т ) и р  ≥ 1, то распределение F   « является » функцией в L ^р ( Т ), а именно граничного значения F . При p  ≥ 1 вещественное пространство Харди H ^p ( T ) является подмножеством L ^p ( T ).

Сопряженная функция

Каждому вещественному тригонометрическому многочлену u на единичной окружности ставится в соответствие действительный сопряженный многочлен v такой, что u + i v продолжается до голоморфной функции в единичном круге,

${\ Displaystyle и (е ^ {я \ theta}) = {\ frac {a_ {0}} {2}} + \ sum _ {k \ geqslant 1} a_ {k} \ cos (k \ theta) + b_ {k} \ sin (k \ theta) \ longrightarrow v (e ^ {i \ theta}) = \ sum _ {k \ geqslant 1} a_ {k} \ sin (k \ theta) -b_ {k} \ cos (k \ theta).}$

Это отображение u → v продолжается до ограниченного линейного оператора H на L ^p ( T ), когда 1 < p  <∞ (с точностью до скалярного кратного, это преобразование Гильберта на единичной окружности), и H также отображает L ¹ ( T ) до слабого - L ¹ ( T ) . Когда 1 ≤ p  <∞, для вещественнозначной интегрируемой функции f на единичной окружности эквивалентны следующие утверждения:

• функция f является действительной частью некоторой функции g ∈ H ^p ( T )
• функция f и сопряженная с ней H (f) принадлежат L ^p ( T )
• радиальная максимальная функция M f   принадлежит L ^p ( T ).

Когда 1 < p <∞, H (f) принадлежит L ^p ( T ), когда f ∈ L ^p ( T ), следовательно, вещественное пространство Харди H ^p ( T ) совпадает с L ^p ( T ) в этом случае. При p = 1 вещественное пространство Харди H ¹ ( T ) является собственным подпространством в L ¹ ( T ).

Случай p = ∞ был исключен из определения вещественных пространств Харди, потому что максимальная функция M f   функции L ^∞ всегда ограничена, и потому что нежелательно, чтобы вещественное H ^∞ было равно L ^∞ . Однако два следующих свойства эквивалентны для вещественнозначной функции f

• функция f   является действительной частью некоторой функции g ∈ H ^∞ ( T )
• функция f   и сопряженная с ней H (f) принадлежат L ^∞ ( T ).

Вещественные пространства Харди для 0 < p <1

Когда 0 < p <1, функция F в H ^p не может быть восстановлена ​​по действительной части ее граничной предельной функции на окружности из-за отсутствия выпуклости L ^p в этом случае. Выпуклость не выполняется, но остается своего рода « комплексная выпуклость », а именно тот факт, что z → | z | ^д является субгармоничен для любого д > 0. Как следствие, если

${\ Displaystyle F (z) = \ сумма _ {n = 0} ^ {+ \ infty} c_ {n} z ^ {n}, \ quad | z | <1}$

находится в H ^p , можно показать, что c _n = O ( n ^{1 / p –1} ). Отсюда следует, что ряд Фурье

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} c_ {n} e ^ {in \ theta}}$

сходится в смысле распределений к распределению f на единичной окружности, причем F ( re ^iθ ) = ( f  ∗  P _r ) (θ). Функция F ∈ H ^p может быть восстановлена ​​из действительного распределения Re ( f ) на окружности, поскольку коэффициенты Тейлора c _n функции F могут быть вычислены из коэффициентов Фурье Re ( f ).

Распределения на окружности достаточно общие для работы с пространствами Харди, когда p  <1. Распределения, которые не являются функциями, действительно встречаются, как это видно с функциями F ( z ) = (1− z ) ^{- N} (для | z | <1), которые принадлежат H ^p, когда 0 < N  p  <1 (и N целое число ≥ 1).

Вещественное распределение на окружности принадлежит вещественному H ^p ( T ) тогда и только тогда, когда оно является граничным значением действительной части некоторого F ∈ H ^p . Распределение Дирака δ _x в любой точке x единичной окружности принадлежит вещественному H ^p ( T ) для любого p <1; производные δ ′ _x принадлежат, когда p <1/2, вторые производные δ ′ ′ _x, когда p <1/3, и так далее.

Пространства Харди для верхней полуплоскости

Можно определить пространства Харди в других областях, кроме диска, и во многих приложениях используются пространства Харди на комплексной полуплоскости (обычно правой полуплоскости или верхней полуплоскости).

Пространство Харди H ^p ( H ) на верхней полуплоскости H определяется как пространство голоморфных функций f на H с ограниченной нормой, причем норма задается формулой

${\ Displaystyle \ | е \ | _ {H ^ {p}} = \ sup _ {y> 0} \ left (\ int | f (x + iy) | ^ {p} \, \ mathrm {d} x \ right) ^ {\ frac {1} {p}}.}$

Соответствующее H ^∞ ( H ) определяется как функции ограниченной нормы, причем норма задается формулой

${\ Displaystyle \ | е \ | _ {H ^ {\ infty}} = \ sup _ {z \ in \ mathbf {H}} | f (z) |.}$

Хотя единичный круг D и верхняя полуплоскость H могут быть отображены друг в друга с помощью преобразований Мёбиуса , они не взаимозаменяемы как области для пространств Харди. Этому различию способствует тот факт, что единичная окружность имеет конечную (одномерную) меру Лебега, а действительная прямая - нет. Однако для H ² справедлива следующая теорема: если m  : D → H обозначает преобразование Мёбиуса

${\ Displaystyle m (z) = я \ cdot {\ frac {1 + z} {1-z}}.}$

Тогда линейный оператор M  : H ² ( H ) → H ² ( D ), определенный формулой

${\ displaystyle (Mf) (z): = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {1-z}} f (m (z)).}$

является изометрическим изоморфизмом гильбертовых пространств.

Реальные пространства Харди для R ⁿ

При анализе вещественного векторного пространства R ⁿ пространство Харди H ^p (для 0 <  p  ≤ ∞) состоит из умеренных распределений f таких, что для некоторой функции Шварца Φ с ∫Φ = 1 максимальная функция

${\ Displaystyle (M _ {\ Phi} f) (x) = \ sup _ {t> 0} | (f * \ Phi _ {t}) (x) |}$

находится в L ^p ( R ⁿ ), где ∗ - свертка, а Φ _t ( x ) = t ^{- n} Φ ( x  /  t ) . Н ^р - квазинорм || f  || _Hp распределения f для H ^p определяется как L ^p- норма для M _Φ f (это зависит от выбора Φ, но различные варианты выбора функций Шварца Φ дают эквивалентные нормы). Н ^р -quasinorm является нормой при р ≥ 1, но не тогда , когда р  <1.

Если 1 < p  <∞, пространство Харди H ^p является тем же векторным пространством, что и L ^p , с эквивалентной нормой. Когда p  = 1, пространство Харди H ¹ является собственным подпространством в L ¹ . В H ¹ можно найти последовательности , ограниченные в L ^1, но неограниченные в H ¹ , например, на прямой

${\ Displaystyle е_ {к} (х) = \ mathbf {1} _ {[0,1]} (хк) - \ mathbf {1} _ {[0,1]} (х + к), \ \ \ k> 0.}$

В L ¹ и Н ¹ норма не эквивалентна на Н ¹ и Н ^- не замкнуто в L ¹ . Сопряженное к H ¹ пространство BMO функций ограниченного среднего колебания . Пространство BMO содержит неограниченные функции (что еще раз доказывает, что H ¹ не замкнут в L ¹ ).

Если p  <1, то пространство Харди H ^p имеет элементы, не являющиеся функциями, и его двойственное пространство является однородным липшицевым пространством порядка n (1 / p  - 1). Когда p <1, H ^p -квазинорма не является нормой, так как не является субаддитивной. Р й степени || f  || _Hp ^p субаддитивен для p  <1 и, таким образом, определяет метрику в пространстве Харди H ^p , которая определяет топологию и превращает H ^p в полное метрическое пространство.

Атомное разложение

Когда 0 < p ≤ 1, ограниченная измеримая функция f с компактным носителем находится в пространстве Харди H ^p тогда и только тогда, когда все ее моменты

${\ displaystyle \ int _ {\ mathbf {R} ^ {n}} f (x) x_ {1} ^ {i_ {1}} \ ldots x_ {n} ^ {i_ {n}} \, \ mathrm { d} x,}$

порядок i ₁ + ... + i _n не превосходит n (1 / p  - 1), обращается в нуль. Например, интеграл от f должен обратиться в нуль, чтобы f ∈ H ^p , 0 < p ≤ 1, и пока p  > n  / ( n +1), этого также достаточно.

Если, кроме того, f имеет опору в каком-то шаре B и ограничена | B | ^{−1 / p,} то f называется H ^p -атомом (здесь | B | обозначает евклидов объем B в R ⁿ ). Н ^р -quasinorm произвольного Н ^р -атом ограничена константой , зависящей только от р и на функции Ф Шварца.

Когда 0 < p ≤ 1, любой элемент f из H ^p имеет атомное разложение как сходящуюся бесконечную комбинацию H ^p -атомов,

${\ Displaystyle е = \ сумма c_ {j} a_ {j}, \ \ \ \ sum | c_ {j} | ^ {p} <\ infty}$

где a _j - H ^p -атомы, а c _j - скаляры.

На линии, например, разница распределений Дирака е  = δ ₁ -δ ₀ может быть представлена в виде ряда функций Хаара , сходящихся в H ^р -quasinorm когда это 1/2 < р  <1 (на окружности, соответствующее представление справедливо при 0 < р  <1, но на линии, функции Хаара не принадлежат H ^р при р ≤ 1/2 , потому что их максимальная функция эквивалентна на бесконечности в виде  х ^-2 для некоторых  ≠ 0).

Мартингейл H ^p

Пусть ( M _n ) _{n ≥0} - мартингал на некотором вероятностном пространстве (Ω, Σ,  P ) относительно возрастающей последовательности σ-полей (Σ _n ) _{n ≥0} . Предположим для простоты, что Σ равно σ-полю, порожденному последовательностью (Σ _n ) _{n ≥0} . Функция максимальна мартингала определяется

${\ Displaystyle M ^ {*} = \ sup _ {n \ geq 0} \, | M_ {n} |.}$

Пусть 1 ≤ p <∞. Мартингал ( M _n ) _{n ≥0} принадлежит мартингалу - H ^p, когда M * ∈ L ^p .

Если M * ∈ L ^p , мартингал ( M _n ) _{n ≥0} ограничен в L ^p ; следовательно, он почти наверняка сходится к некоторой функции f по теореме о мартингальной сходимости . Более того, M _n сходится к f в L ^p -норме по теореме о мажорируемой сходимости ; следовательно, M _n можно выразить как условное ожидание f на Σ _n . Таким образом, можно отождествить мартингал- H ^p с подпространством L ^p (Ω, Σ,  P ), состоящим из таких f , что мартингал

${\ displaystyle M_ {n} = \ operatorname {E} {\ bigl (} f | \ Sigma _ {n} {\ bigr)}}$

принадлежит martingale- H ^p .

Из максимального неравенства Дуба следует, что мартингал- H ^p совпадает с L ^p (Ω, Σ,  P ) при 1 < p <∞. Интересным пространством является мартингал- H ¹ , дуальный мартингал-BMO ( Гарсия, 1973 ).

Неравенства Буркхолдера – Ганди (когда p  > 1) и неравенство Берджесса Дэвиса (когда p = 1) связывают L ^p -норму максимальной функции ^с нормой квадрата функции мартингала

${\ displaystyle S (f) = \ left (| M_ {0} | ^ {2} + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} | M_ {n + 1} -M_ {n} | ^ { 2} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}.}$

Мартингейл- H ^p можно определить, сказав, что S ( f ) ∈ L ^p ( Гарсия, 1973 ).

Также можно рассматривать мартингалы с параметром непрерывного времени. Прямая связь с классической теорией достигается через комплексное броуновское движение ( B _t ) в комплексной плоскости, начиная с точки z = 0 в момент времени t = 0. Пусть τ обозначает время попадания в единичную окружность. Для любой голоморфной функции F в единичном круге

${\ Displaystyle М_ {т} = F (В_ {т \ клин \ тау})}$

является мартингалом, который принадлежит мартингалу- H ^p тогда и только тогда, когда F  ∈  H ^p ( Burkholder, Gundy & Silverstein, 1971 ).

Пример: диадический мартингал- H ¹

В этом примере Ω = [0, 1] и Σ _n - конечное поле, порожденное диадическим разбиением [0, 1] на 2 ⁿ интервалов длины 2 ^{- n} для любого n ≥ 0. Если функция f на [0, 1] представляется своим разложением по системе Хаара ( h _k )

${\ displaystyle f = \ sum c_ {k} h_ {k},}$

тогда мартингальная норма H ¹ функции f может быть определена нормой L ¹ функции квадрата

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ Bigl (} \ sum | c_ {k} h_ {k} (x) | ^ {2} {\ Bigr)} ^ {\ frac {1} { 2}} \, \ mathrm {d} x.}$

Это пространство, иногда обозначаемое H ¹ (δ), изоморфно классическому вещественному пространству H ¹ на окружности ( Мюллер, 2005 ). Система Хаара является безусловным базисом для H ¹ (δ).

Примечания

использованная литература

• Burkholder, Donald L .; Ганди, Ричард Ф .; Silverstein, Martin L. (1971), "Функция максимальной характеристика класса Н ^р " , Труды Американского математического общества , 157 : 137-153, DOI : 10,2307 / 1995838 , JSTOR  1995838 , MR  0274767 , S2CID  53996980 .
• Cima, Joseph A .; Росс, Уильям Т. (2000), Обратный сдвиг в пространстве Харди , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2083-4
• Колвелл, Питер (1985), Продукты Бляшке - ограниченные аналитические функции , Анн-Арбор: University of Michigan Press , ISBN 978-0-472-10065-1
• Дурен, П. (1970), Теория H ^p -пространств , Academic Press
• Фефферман, Чарльз ; Штейн, Элиас М. (1972), " Н ^р пространства нескольких переменных", Acta Mathematica , 129 (3-4): 137-193, DOI : 10.1007 / BF02392215 , МР  0447953 .
• Folland, GB (2001) [1994], "Пространства Харди" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Гарсия, Адриано М. (1973), Неравенства Мартингейла: Заметки семинара о недавнем прогрессе , Серия заметок к лекциям по математике, WA Benjamin Руководство по ремонту 0448538
• Hardy, GH (1915), "О среднем значении модуля аналитической функции" , Труды Лондонского математического общества , 14 : 269-277, DOI : 10,1112 / ПНИЛИ / s2_14.1.269 , JFM  45.1331.03
• Хоффман, Кеннет (1988), банаховы пространства аналитических функций , Dover Publications , ISBN 978-0-486-65785-1
• Кацнельсон, Ицхак (1976), Введение в гармонический анализ , Dover Publications , ISBN 978-0-486-63331-2
• Косис, П. (1998), Введение в пространства H _p (второе изд.), Cambridge University Press
• Машреги, Дж. (2009), Теоремы представления в пространствах Харди , Cambridge University Press, ISBN 9780521517683
• Мюллер, Пауль FX (2005), Изоморфизмы между пространствами H ¹ , Институт математики Польской академии наук. Математические монографии (новая серия), Базель: Биркхойзер , ISBN 978-3-7643-2431-5, Руководство по ремонту  2157745
• Рисса, Ф. (1923), "Убер умереть Randwerte етег analytischen Funktion", Mathematische Zeitschrift , 18 : 87-95, DOI : 10.1007 / BF01192397 , S2CID  121306447
• Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ , McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-100276-9
• Шведенко, С.В. (2001) [1994], "Классы Харди" , Энциклопедия математики , EMS Press