Метод Галеркина - Galerkin method

В математике , в области численного анализа , методы Галеркина , названные в честь русского математика Бориса Галеркина , преобразуют непрерывную операторную задачу, такую как дифференциальное уравнение , обычно в слабой формулировке , в дискретную задачу путем применения линейных ограничений, определяемых конечными наборы базисных функций.

Часто, говоря о методе Галеркина, также указывается его название вместе с типичными допущениями и используемыми методами аппроксимации:

Метод Ритца-Галеркина (после того, как Вальтер Ритц )правилопредполагает симметричное и положительно определенную билинейную форму в слабой формулировке , где дифференциальное уравнение для физической системы можно сформулироватьпомощью минимизации из в квадратичной функции , представляющей систему энергии и приближенное решение является линейной сочетание заданного набора базисных функций.
Метод Бубнова – Галеркина (по Ивану Бубнову ) не требует, чтобы билинейная форма была симметричной, и заменяет минимизацию энергии ограничениями ортогональности, определяемыми теми же базисными функциями, которые используются для аппроксимации решения. В операторной формулировке дифференциального уравнения метод Бубнова – Галеркина можно рассматривать как применение ортогональной проекции к оператору.
Метод Петрова – Галеркина (по Георгию И. Петрову) позволяет использовать базисные функции для ограничений ортогональности (называемых тестовыми базисными функциями ), которые отличаются от базисных функций, используемых для аппроксимации решения. Метод Петрова – Галеркина можно рассматривать как расширение метода Бубнова – Галеркина, в котором применяется проекция, которая не обязательно ортогональна в операторной формулировке дифференциального уравнения .

Примеры методов Галеркина:

метод Галеркина взвешенных невязок , наиболее распространенный метод расчета глобальной матрицы жесткости в методе конечных элементов ,
метод граничных элементов для решения интегральных уравнений,
Методы подпространства Крылова .

Пример: матричная линейная система

Сначала мы вводим и проиллюстрируем применение метода Галеркина к системе линейных уравнений со следующей симметричной и положительно определенной матрицей ${\ Displaystyle А \ mathbf {x} = \ mathbf {b}}$

{\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \ end {bmatrix}}}

а вектор решения и правые части

{\ Displaystyle \ mathbf {x} = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix}}, \ quad \ mathbf {b} = {\ begin {bmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix}}.}

Возьмем

{\ displaystyle V = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}},}

то матрица уравнения Галеркина имеет вид

{\ Displaystyle V ^ {*} AV = {\ begin {bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \ end {bmatrix}},}

вектор правой части уравнения Галеркина равен

{\ Displaystyle V ^ {*} \ mathbf {b} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \ end {bmatrix}},}

так что мы получаем вектор решения

{\ displaystyle \ mathbf {y} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \ end {bmatrix}}}

к уравнению Галеркина , которое мы, наконец, подняли, чтобы определить приближенное решение исходного уравнения как ${\ displaystyle \ left (V ^ {*} AV \ right) \ mathbf {y} = V ^ {*} \ mathbf {b}}$

{\ displaystyle V \ mathbf {y} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix}}.}

В этом примере наше исходное гильбертово пространство на самом деле является 3-мерным евклидовым пространством, снабженным стандартным скалярным произведением , наша матрица 3 на 3 определяет билинейную форму , а вектор в правой части определяет ограниченный линейный функционал . Колонны ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ Displaystyle (\ mathbf {u}, \ mathbf {v}) = \ mathbf {u} ^ {T} \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle а (\ mathbf {u}, \ mathbf {v}) = \ mathbf {u} ^ {T} A \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ ${\ Displaystyle е (\ mathbf {v}) = \ mathbf {b} ^ {T} \ mathbf {v}}$

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \ end {bmatrix}} \ quad \ mathbf {e} _ {2} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {bmatrix}},}

матрицы образуют ортонормированный базис двумерного подпространства проекции Галеркина. Элементы матрицы Галеркина 2 на 2 равны , а компоненты вектора правой части уравнения Галеркина равны . Наконец, приближенное решение получается из компонентов вектора решения уравнения Галеркина и базиса as . ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle V ^ {*} AV}$ ${\ displaystyle a (e_ {j}, e_ {i}), \, i, j = 1,2}$ ${\ Displaystyle V ^ {*} \ mathbf {b}}$ ${\ Displaystyle е (е_ {я}), \, я = 1,2}$ ${\ Displaystyle V \ mathbf {y}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {2} \ mathbf {y} _ {j} \ mathbf {e} _ {j}}$

Линейное уравнение в гильбертовом пространстве

Слабая формулировка линейного уравнения

Введем в рассмотрение метод Галеркина абстрактную задачу, сформулированную в виде слабой формулировки в гильбертовом пространстве , а именно: ${\ displaystyle V}$

найти такое что для всех .

{\ displaystyle u \ in V}

{\ Displaystyle v \ в V, а (и, v) = е (v)}

Здесь - билинейная форма (точные требования будут указаны позже) и - ограниченный линейный функционал на . ${\ Displaystyle а (\ cdot, \ cdot)}$ ${\ Displaystyle а (\ cdot, \ cdot)}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle V}$

Понижение размерности Галеркина

Выберите подпространство размерности n и решите предполагаемую задачу: ${\ Displaystyle V_ {п} \ подмножество V}$

Найдите такое, что для всех .

{\ displaystyle u_ {n} \ in V_ {n}}

{\ displaystyle v_ {n} \ in V_ {n}, a (u_ {n}, v_ {n}) = f (v_ {n})}

Мы называем это уравнением Галеркина . Обратите внимание, что уравнение осталось неизменным, и изменились только пробелы. Сведение проблемы к конечномерному векторному подпространству позволяет нам численно вычислять как конечную линейную комбинацию базисных векторов в . ${\ displaystyle u_ {n}}$ ${\ displaystyle V_ {n}}$

Галеркин ортогональность

Ключевым свойством подхода Галеркина является то, что ошибка ортогональна выбранным подпространствам. Так как мы можем использовать в качестве тестового вектора в исходном уравнении. Вычитая два, мы получаем соотношение ортогональности Галеркина для ошибки, которая является ошибкой между решением исходной задачи , и решением уравнения Галеркина, ${\ Displaystyle V_ {п} \ подмножество V}$ ${\ displaystyle v_ {n}}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {n} = u-u_ {n}}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle u_ {n}}$

{\ displaystyle a (\ epsilon _ {n}, v_ {n}) = a (u, v_ {n}) - a (u_ {n}, v_ {n}) = f (v_ {n}) - f (v_ {n}) = 0.}

Матричная форма уравнения Галеркина

Поскольку целью метода Галеркина является построение линейной системы уравнений , мы строим ее матричную форму, которую можно использовать для алгоритмического вычисления решения.

Пусть будет основой для . Затем достаточно использовать их по очереди для проверки уравнения Галеркина, т. Е. Найти такое, что ${\ displaystyle e_ {1}, e_ {2}, \ ldots, e_ {n}}$ ${\ displaystyle V_ {n}}$ ${\ displaystyle u_ {n} \ in V_ {n}}$

{\ displaystyle a (u_ {n}, e_ {i}) = f (e_ {i}) \ quad i = 1, \ ldots, n.}

Мы расширяем этот базис и вставляем его в приведенное выше уравнение, чтобы получить ${\ displaystyle u_ {n}}$ ${\ displaystyle u_ {n} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} u_ {j} e_ {j}}$

{\ displaystyle a \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n} u_ {j} e_ {j}, e_ {i} \ right) = \ sum _ {j = 1} ^ {n} u_ { j} a (e_ {j}, e_ {i}) = f (e_ {i}) \ quad i = 1, \ ldots, n.}

Это предыдущее уравнение на самом деле является линейной системой уравнений , где ${\ displaystyle Au = f}$

{\ displaystyle A_ {ij} = a (e_ {j}, e_ {i}), \ quad f_ {i} = f (e_ {i}).}

Симметрия матрицы

Из-за определения элементов матрицы матрица уравнения Галеркина является симметричной тогда и только тогда, когда билинейная форма симметрична. ${\ Displaystyle а (\ cdot, \ cdot)}$

Анализ методов Галеркина

Здесь мы ограничимся симметричными билинейными формами , т. Е.

{\ Displaystyle а (и, v) = а (v, и).}

Хотя на самом деле это не ограничение методов Галеркина, применение стандартной теории становится намного проще. Кроме того, в несимметричном случае может потребоваться метод Петрова – Галеркина .

Анализ этих методов проводится в два этапа. Сначала мы покажем, что уравнение Галеркина является корректной задачей в смысле Адамара и поэтому допускает единственное решение. На втором этапе исследуем качество аппроксимации решения Галеркина . ${\ displaystyle u_ {n}}$

Анализ будет в основном опираться на два свойства билинейной формы , а именно:

Ограниченность: для всех трюмов ${\ displaystyle u, v \ in V}$
${\ Displaystyle а (и, v) \ Leq С \ | и \ | \, \ | v \ |}$ для некоторой постоянной ${\ displaystyle C> 0}$
Эллиптичность: для всех зацепок ${\ displaystyle u \ in V}$
${\ Displaystyle а (и, и) \ geq с \ | и \ | ^ {2}}$ для некоторой постоянной ${\ displaystyle c> 0.}$

По теореме Лакса-Милграма (см. Слабую формулировку ) эти два условия подразумевают корректность исходной задачи в слабой формулировке. Все нормы в следующих разделах будут нормами, для которых выполняются указанные выше неравенства (эти нормы часто называют энергетической нормой).

Корректность уравнения Галеркина.

Поскольку ограниченность и эллиптичность билинейной формы применимы к . Следовательно, корректность проблемы Галеркина фактически унаследована от корректности исходной задачи. ${\ Displaystyle V_ {п} \ подмножество V}$ ${\ displaystyle V_ {n}}$

Квази-наилучшее приближение (лемма Сеа)

Ошибка между исходным решением и решением Галеркина допускает оценку ${\ displaystyle u-u_ {n}}$

{\ displaystyle \ | u-u_ {n} \ | \ leq {\ frac {C} {c}} \ inf _ {v_ {n} \ in V_ {n}} \ | u-v_ {n} \ | .}

Это означает, что с точностью до константы решение Галеркина так же близко к исходному решению, как и любой другой вектор в . В частности, достаточно будет изучить приближение пространством , полностью забыв о решаемом уравнении. ${\ displaystyle C / c}$ ${\ displaystyle u_ {n}}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle V_ {n}}$ ${\ displaystyle V_ {n}}$

Доказательство

Поскольку доказательство очень простое и является основным принципом, лежащим в основе всех методов Галеркина, мы включаем его сюда: в силу эллиптичности и ограниченности билинейной формы (неравенства) и ортогональности Галеркина (знак равенства посередине), мы имеем для произвольных : ${\ displaystyle v_ {n} \ in V_ {n}}$

{\ displaystyle c \ | u-u_ {n} \ | ^ {2} \ leq a (u-u_ {n}, u-u_ {n}) = a (u-u_ {n}, u-v_ { n}) \ leq C \ | u-u_ {n} \ | \, \ | u-v_ {n} \ |.}

Деление на и взятие точной нижней грани по всем возможным дает лемму. ${\ Displaystyle с \ | и-и_ {п} \ |}$ ${\ displaystyle v_ {n}}$

Свойство наилучшего приближения Галеркина по энергетической норме

Для простоты изложения в предыдущем разделе мы предположили, что билинейная форма является симметричной и положительно определенной, что подразумевает, что это скалярное произведение, а выражение на самом деле является допустимой векторной нормой, называемой энергетической нормой . При этих предположениях легко дополнительно доказать свойство наилучшего приближения Галеркина по энергетической норме. ${\ Displaystyle а (и, v)}$ ${\ Displaystyle \ | и \ | _ {а} = {\ sqrt {а (и, и)}}}$

Используя a-ортогональность Галеркина и неравенство Коши – Шварца для нормы энергии, получаем

{\ displaystyle \ | u-u_ {n} \ | _ {a} ^ {2} = a (u-u_ {n}, u-u_ {n}) = a (u-u_ {n}, u- v_ {n}) \ leq \ | u-u_ {n} \ | _ {a} \, \ | u-v_ {n} \ | _ {a}.}

Деление на и взятие точной нижней грани по всем возможным доказывают, что приближение Галеркина является наилучшим приближением в норме энергии в подпространстве , т.е. является не чем иным, как ортогональной относительно скалярного произведения проекцией решения на подпространство . ${\ Displaystyle \ | и-и_ {п} \ | _ {а}}$ ${\ displaystyle v_ {n} \ in V_ {n}}$ ${\ displaystyle u_ {n} \ in V_ {n}}$ ${\ Displaystyle V_ {п} \ подмножество V}$ ${\ displaystyle u_ {n} \ in V_ {n}}$ ${\ Displaystyle а (и, v)}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle V_ {n}}$

Метод Галеркина для ступенчатых конструкций

И. Элишаков , М. Амато, А. Марзани, П. А. Арван и Дж. Н. Редди изучали применение метода Галеркина к ступенчатым конструкциям. Они показали, что обобщенная функция, а именно функция единичного шага, дельта-функция Дирака и функция дублета необходимы для получения точных результатов.

История

Такой подход обычно приписывают Борису Галеркину . Метод был объяснен западному читателю, среди прочих, Хенки и Дункан. Его сходимость изучалась Михлиным и Лейпгольцем. Его совпадение с методом Фурье было проиллюстрировано Элишаковым и др. Его эквивалентность методу Ритца для консервативных задач была показана Зингером. Гандер и Ваннер показали, как методы Ритца и Галеркина привели к современному методу конечных элементов. Репин рассказал о столетнем развитии метода. Елисаков, Каплунов и Каплунов показывают, что метод Галеркина не был разработан Ритцем, вопреки утверждениям Тимошенко.

Смотрите также

Метод Ритца

использованная литература

^ А. Эрн, Дж. Л. Гермонд, Теория и практика конечных элементов , Springer, 2004, ISBN 0-387-20574-8
^ «Георгий Иванович Петров (к 100-летию со дня рождения)», Fluid Dynamics, май 2012 г., том 47, выпуск 3, стр. 289-291, DOI 10.1134 / S0015462812030015
^ С. Бреннер, Р.Л. Скотт, Математическая теория методов конечных элементов , 2-е издание, Springer, 2005, ISBN 0-387-95451-1
^ PG Ciarlet, Метод конечных элементов для эллиптических задач , Северная Голландия, 1978, ISBN 0-444-85028-7
^ Y. Саад , Итерационные методы для разреженных линейных систем , 2-е издание, SIAM, 2003, ISBN 0-89871-534-2
^ Элишаков И., Марко Амато, Пракаш Анкита Арван и Алессандро Марзани, 2021 г. «Строгая реализация метода Галеркина для ступенчатых структур требует обобщенных функций», Journal of Sound and Vibration, Vol. 490, артикул 115708
^ Элишаков И., Марко Амато и Алессандро Марцани, 2021, «Метод Галеркина пересмотрен и исправлен в проблеме Яворского и Доуэлла», Механические системы и обработка сигналов, Vol. 156, статья 107604
^ Elishakoff И. и Марко Amato, 2021, «флаттер пучка в сверхзвуковом потоке: усеченный вариант уравнения Тимошенко-эренфестовского достаточно», Международный журнал механики и материалов вдизайна, в прессе.
^ Marco Amato, Elishakoff И. и JN Reddy, 2021, «флаттер многокомпонентного пучка в сверхзвуковом потоке», AIAA Journal, в прессе.
↑ Галеркин Б.Г., 1915, Стержни и пластины, ряды, встречающиеся в различных вопросах, касающихся упругого равновесия стержней и пластин, Вестник Инженеров и Техников, (Бюллетень инженеров и технологов), т. 19, 897-908 (на русском языке), (английский перевод: 63-18925, Clearinghouse Fed. Sci. Tech. Info, 1963).
^ "Le destin douloureux de Walther Ritz (1878-1909)", (Жан-Клод Пон, редактор), Cahiers de Vallesia, 24, (2012), ISBN 978-2-9700636-5-0
^ Генки Г., 1927, Eine Важная Vereinfachung дер Methode фон цур Ritz angennäherten Behandlung фон Variationproblemen, ZAMM: Zeitschrift für Angewandte Mathematik унд Mechanik, Vol. 7, 80-81 (на немецком языке).
^ Дункан, У. Дж., 1937, Метод Галеркина в механике и дифференциальных уравнениях, Отчеты и меморандумы Комитета по авиационным исследованиям, № 1798.
^ Дункан, WJ, 1938, Принципы метода Галеркина, Отчет и меморандумы об авиационных исследованиях, № 1894.
^ С.Г. Михлин, "Вариационные методы в математической физике", Pergamon Press, 1964
^ Leipholz HHE, 1976, Использование метода Галеркина для проблем с вибрацией, Shock and Vibration Digest, Vol. 8, 3-18
^ Leipholz HHE, 1967, Über умирают Wahl дер Ansatzfunktionen BEI дер Durchfuchrung де Verfahrens фон ГАЛЕРКИНА, Acta Mech., Vol. 3, 295-317 (на немецком языке).
^ Leipholz HHE, 1967, Über умирают Befreiung дер Anzatzfunktionen де Ritzschen унд Galerkinschen Verfahrens Фон ден Randbedingungen, Ing. Arch., Vol. 36, 251-261 (на немецком языке).
^ Leipholz, HHE, 1976, Использование метода Галеркина для проблем с вибрацией, The Shock and Vibration Digest Vol. 8, 3-18, 1976.
^ Elishakoff И., Ли, LHN, 1986, О Эквивалентность Галеркина и Фурье методов серии для одного класса задач, журнал звука и вибрации, Vol. 109, 174–177.
^ Elishakoff И., Zingales, М., 2003, Совпадение Бубнова-Галеркина и точное решение в прикладной механики Проблема, Журнал прикладной механики, Vol. 70, 777-779.
^ Elishakoff И., Zingales М., 2004, Конвергенция Бубнова-ГалеркинаПРИМЕРЕ, АИАА Journal, Vol. 42 (9), 1931-1933.
↑ Сингер Дж., 1962, Об эквивалентности методов Галеркина и Рэлея-Ритца, Журнал Королевского авиационного общества, Vol. 66, No. 621, p.592.
^ Гандер, MJ, Ваннер, Г., 2012, От Эйлера, Ритца и Галеркина до современных вычислений, SIAM Review, Vol. 54 (4), 627-666.
^ ] Репин С., 2017, Сто лет метода Галеркина, вычислительных методов и прикладной математики, Том 17 (3), 351-357.
^ .Elishakoff, I., Julius Kaplunov, Elizabeth Kaplunov, 2020, «Метод Галеркина не был разработан Ритцем, вопреки утверждению Тимошенко», в Нелинейной динамике дискретных и непрерывных систем (А. Абрамян, И. Андрианов и В. Gaiko, eds.), Стр. 63-82, Springer, Berlin.

внешние ссылки

[ErnGuermond-1] А. Эрн, Дж. Л. Гермонд, Теория и практика конечных элементов , Springer, 2004, ISBN 0-387-20574-8

[Birthday-2] «Георгий Иванович Петров (к 100-летию со дня рождения)», Fluid Dynamics, май 2012 г., том 47, выпуск 3, стр. 289-291, DOI 10.1134 / S0015462812030015

[BrennerScott-3] С. Бреннер, Р.Л. Скотт, Математическая теория методов конечных элементов , 2-е издание, Springer, 2005, ISBN 0-387-95451-1

[Ciarlet-4] PG Ciarlet, Метод конечных элементов для эллиптических задач , Северная Голландия, 1978, ISBN 0-444-85028-7

[Saad-5] Y. Саад , Итерационные методы для разреженных линейных систем , 2-е издание, SIAM, 2003, ISBN 0-89871-534-2

[6] Элишаков И., Марко Амато, Пракаш Анкита Арван и Алессандро Марзани, 2021 г. «Строгая реализация метода Галеркина для ступенчатых структур требует обобщенных функций», Journal of Sound and Vibration, Vol. 490, артикул 115708

[7] Элишаков И., Марко Амато и Алессандро Марцани, 2021, «Метод Галеркина пересмотрен и исправлен в проблеме Яворского и Доуэлла», Механические системы и обработка сигналов, Vol. 156, статья 107604

[8] Elishakoff И. и Марко Amato, 2021, «флаттер пучка в сверхзвуковом потоке: усеченный вариант уравнения Тимошенко-эренфестовского достаточно», Международный журнал механики и материалов вдизайна, в прессе.

[9] Marco Amato, Elishakoff И. и JN Reddy, 2021, «флаттер многокомпонентного пучка в сверхзвуковом потоке», AIAA Journal, в прессе.

[10] Галеркин Б.Г., 1915, Стержни и пластины, ряды, встречающиеся в различных вопросах, касающихся упругого равновесия стержней и пластин, Вестник Инженеров и Техников, (Бюллетень инженеров и технологов), т. 19, 897-908 (на русском языке), (английский перевод: 63-18925, Clearinghouse Fed. Sci. Tech. Info, 1963).

[11] "Le destin douloureux de Walther Ritz (1878-1909)", (Жан-Клод Пон, редактор), Cahiers de Vallesia, 24, (2012), ISBN 978-2-9700636-5-0

[12] Генки Г., 1927, Eine Важная Vereinfachung дер Methode фон цур Ritz angennäherten Behandlung фон Variationproblemen, ZAMM: Zeitschrift für Angewandte Mathematik унд Mechanik, Vol. 7, 80-81 (на немецком языке).

[13] Дункан, У. Дж., 1937, Метод Галеркина в механике и дифференциальных уравнениях, Отчеты и меморандумы Комитета по авиационным исследованиям, № 1798.

[14] Дункан, WJ, 1938, Принципы метода Галеркина, Отчет и меморандумы об авиационных исследованиях, № 1894.

[15] С.Г. Михлин, "Вариационные методы в математической физике", Pergamon Press, 1964

[16] Leipholz HHE, 1976, Использование метода Галеркина для проблем с вибрацией, Shock and Vibration Digest, Vol. 8, 3-18

[17] Leipholz HHE, 1967, Über умирают Wahl дер Ansatzfunktionen BEI дер Durchfuchrung де Verfahrens фон ГАЛЕРКИНА, Acta Mech., Vol. 3, 295-317 (на немецком языке).

[18] Leipholz HHE, 1967, Über умирают Befreiung дер Anzatzfunktionen де Ritzschen унд Galerkinschen Verfahrens Фон ден Randbedingungen, Ing. Arch., Vol. 36, 251-261 (на немецком языке).

[19] Leipholz, HHE, 1976, Использование метода Галеркина для проблем с вибрацией, The Shock and Vibration Digest Vol. 8, 3-18, 1976.

[20] Elishakoff И., Ли, LHN, 1986, О Эквивалентность Галеркина и Фурье методов серии для одного класса задач, журнал звука и вибрации, Vol. 109, 174–177.

[21] Elishakoff И., Zingales, М., 2003, Совпадение Бубнова-Галеркина и точное решение в прикладной механики Проблема, Журнал прикладной механики, Vol. 70, 777-779.

[22] Elishakoff И., Zingales М., 2004, Конвергенция Бубнова-ГалеркинаПРИМЕРЕ, АИАА Journal, Vol. 42 (9), 1931-1933.

[23] Сингер Дж., 1962, Об эквивалентности методов Галеркина и Рэлея-Ритца, Журнал Королевского авиационного общества, Vol. 66, No. 621, p.592.

[24] Гандер, MJ, Ваннер, Г., 2012, От Эйлера, Ритца и Галеркина до современных вычислений, SIAM Review, Vol. 54 (4), 627-666.

[25] ] Репин С., 2017, Сто лет метода Галеркина, вычислительных методов и прикладной математики, Том 17 (3), 351-357.

[26] .Elishakoff, I., Julius Kaplunov, Elizabeth Kaplunov, 2020, «Метод Галеркина не был разработан Ритцем, вопреки утверждению Тимошенко», в Нелинейной динамике дискретных и непрерывных систем (А. Абрамян, И. Андрианов и В. Gaiko, eds.), Стр. 63-82, Springer, Berlin.

Languages

In other projects