Уравнения Навье – Стокса - Navier–Stokes equations

В физике , в уравнения Навье-Стокса ( / п æ v J ы т к с / ) определенные частичные дифференциальные уравнения , описывающие движение вязкой жидкости веществ, названный в честь французского инженера и физика Навье и англо Ирландский физик и математик Джордж Габриэль Стоукс . Они развивались в течение нескольких десятилетий постепенного построения теорий, с 1822 года (Навье) до 1842–1850 годов (Стокса).

Уравнения Навье – Стокса математически выражают сохранение импульса и массы для ньютоновских жидкостей . Иногда они сопровождаются уравнением состояния, связывающим давление , температуру и плотность . Они возникают в результате применения второго закона Исаака Ньютона к движению жидкости вместе с предположением, что напряжение в жидкости является суммой диффундирующего вязкого члена (пропорционального градиенту скорости) и члена давления - следовательно, описывающего вязкое течение . Разница между ними и тесно связанными уравнениями Эйлера состоит в том, что уравнения Навье – Стокса учитывают вязкость, тогда как уравнения Эйлера моделируют только невязкое течение . В результате уравнения Навье – Стокса представляют собой параболическое уравнение и, следовательно, обладают лучшими аналитическими свойствами за счет меньшей математической структуры (например, они никогда не могут быть полностью интегрируемыми ).

Уравнения Навье – Стокса полезны, потому что они описывают физику многих явлений, представляющих научный и технический интерес. Их можно использовать для моделирования погоды, океанских течений , потока воды в трубе и потока воздуха вокруг крыла . Уравнения Навье – Стокса в их полной и упрощенной формах помогают при проектировании самолетов и автомобилей, изучении кровотока, проектировании электростанций, анализе загрязнения и многом другом. Вместе с уравнениями Максвелла их можно использовать для моделирования и изучения магнитогидродинамики .

Уравнения Навье – Стокса также представляют большой интерес в чисто математическом смысле. Несмотря на широкий диапазон их практического использования, еще не доказано, всегда ли гладкие решения существуют в трех измерениях, т. Е. Они бесконечно дифференцируемы (или даже просто ограничены) во всех точках области . Это называется проблемой существования и гладкости Навье – Стокса . Математический институт Клея назвал это один из семи наиболее важных открытых проблем математики и предложил США $ 1 млн приз за решением или контрпример.

Скорость потока

Решение уравнений - это скорость потока . Это векторное поле - в каждую точку жидкости в любой момент временного интервала оно дает вектор, направление и величина которого соответствуют скорости жидкости в этой точке пространства и в данный момент времени. Обычно он изучается в трех пространственных измерениях и одном временном измерении, хотя двух (пространственные) измерения и стационарные случаи часто используются в качестве моделей, а многомерные аналоги изучаются как в чистой, так и в прикладной математике. После расчета поля скорости другие представляющие интерес величины, такие как давление или температура, могут быть найдены с помощью динамических уравнений и соотношений. Это отличается от того, что обычно наблюдается в классической механике , где решения обычно представляют собой траектории положения частицы или отклонения континуума . Изучение скорости вместо положения имеет больше смысла для жидкости, хотя для целей визуализации можно вычислить различные траектории . В частности, линии тока векторного поля, интерпретируемые как скорость потока, представляют собой пути, по которым будет перемещаться безмассовая частица жидкости. Эти пути представляют собой интегральные кривые , производная которых в каждой точке равна векторному полю, и они могут визуально представлять поведение векторного поля в определенный момент времени.

Общие уравнения континуума

Уравнение импульса Навье – Стокса может быть получено как частный вид уравнения импульса Коши , общая конвективная форма которого имеет вид

устанавливая тензор напряжений Коши σ как сумму члена вязкости τ ( девиаторное напряжение ) и члена давления - p I (объемное напряжение), мы получаем
Уравнение импульса Коши (конвективная форма)

куда

В этой форме очевидно, что в предположении невязкой жидкости - отсутствия девиаторного напряжения - уравнения Коши сводятся к уравнениям Эйлера .

Предполагая сохранение массы, мы можем использовать уравнение неразрывности массы (или просто уравнение неразрывности),

прийти к сохранению формы уравнений движения. Об этом часто пишут:
Уравнение импульса Коши (форма сохранения)

где - внешний продукт :

Левая часть уравнения описывает ускорение и может состоять из зависящих от времени и конвективных компонентов (а также эффектов неинерциальных координат, если они есть). Правая часть уравнения представляет собой сумму гидростатических эффектов, расхождения девиаторного напряжения и массовых сил (таких как сила тяжести).

Все нерелятивистские уравнения баланса, такие как уравнения Навье – Стокса, можно получить, начав с уравнений Коши и задав тензор напряжений через определяющее соотношение . Выражая тензор девиаторных (сдвиговых) напряжений через вязкость и градиент скорости жидкости и предполагая постоянную вязкость, приведенные выше уравнения Коши приведут к приведенным ниже уравнениям Навье – Стокса.

Конвективное ускорение

Пример конвекции. Хотя поток может быть постоянным (не зависящим от времени), жидкость замедляется по мере движения вниз по расширяющемуся каналу (предполагая несжимаемый или дозвуковой сжимаемый поток), следовательно, происходит ускорение над положением.

Важной особенностью уравнения Коши и, следовательно, всех других уравнений континуума (включая Эйлера и Навье – Стокса) является наличие конвективного ускорения: эффект ускорения потока по отношению к пространству. Хотя отдельные частицы жидкости действительно испытывают зависящее от времени ускорение, конвективное ускорение поля потока является пространственным эффектом, одним из примеров которого является ускорение жидкости в сопле.

Сжимаемый поток

Замечание: здесь тензор напряжений Коши обозначается σ (вместо τ, как это было в общих уравнениях сплошной среды и в сечении несжимаемого потока ).

Уравнение сжимаемого импульса Навье – Стокса получается из следующих предположений о тензоре напряжений Коши:

  • напряжение является инвариантом Галилея : оно не зависит напрямую от скорости потока, а только от пространственных производных скорости потока. Таким образом, переменная напряжения - это градиент тензора u .
  • напряжение линейно по этой переменной: σ (∇ u ) = C  : (∇ u ) , где C - тензор четвертого порядка, представляющий константу пропорциональности, называемую тензором вязкости или упругости , и: - произведение с двумя точками .
  • предполагается, что жидкость изотропна , как в случае с газами и простыми жидкостями, и, следовательно, V - изотропный тензор; кроме того, поскольку тензор напряжений является симметричным, с помощью разложения Гельмгольца он может быть выражен через два скалярных параметра Ламе , объемную вязкость λ и динамическую вязкость μ , как это обычно бывает при линейной упругости :
    Материальное уравнение линейного напряжения (выражение, используемое для упругого твердого тела)

    где I - тождественный тензор, ε (∇ u ) ≡1/2u +1/2(∇ u ) T - тензор скорости деформации, а ∇ ⋅ u - скорость расширения потока. Таким образом, это разложение можно явно определить как:

Поскольку след тензора скорости деформации в трех измерениях равен:

След тензора напряжений в трех измерениях принимает следующий вид:

Таким образом, альтернативно разложив тензор напряжений на изотропную и девиаторную части, как обычно в гидродинамике:

Вводя вторую вязкость ζ ,

мы приходим к линейному материальному уравнению в форме, обычно применяемой в теплогидравлике :

Основное уравнение линейного напряжения (выражение, используемое для жидкостей)

И вторая вязкость ζ, и динамическая вязкость μ не обязательно должны быть постоянными - как правило, они зависят от плотности, друг от друга (вязкость выражается в давлении), а в сжимаемых потоках также от температуры. Любое уравнение, которое явно выражает один из этих коэффициентов переноса в переменных сохранения, называется уравнением состояния .

Наиболее общие уравнения Навье – Стокса становятся

Уравнение импульса Навье – Стокса ( конвективная форма )

В большинстве случаев вторую вязкость ζ можно считать постоянной. Эффект объемной вязкости ζ заключается в том, что механическое давление не эквивалентно термодинамическому давлению :

обычно вводится модифицированное давление
удалить член, соответствующий второй вязкости. Этой разницей обычно пренебрегают, иногда явно предполагая ζ = 0 , но она может повлиять на звукопоглощение и затухание, а также на ударные волны. При таком упрощении уравнения Навье – Стокса принимают вид
Уравнение импульса Навье – Стокса ( конвективная форма )

Если также предполагается, что динамическая вязкость μ постоянна, уравнения можно упростить. Путь вычисления дивергенции тензора напряжений, так как дивергенции тензора U является 2 U и дивергенция тензора (∇ U ) T является ∇ (∇ ⋅ U ) , один , наконец , поступает к сжимаемому (наиболее общем) навьему Уравнение импульса Стокса:

Уравнение импульса Навье – Стокса ( конвективная форма )

куда D/Dtэто материал производной . Левая часть меняет форму сохранения уравнения импульса Навье – Стокса:

Уравнение импульса Навье – Стокса ( форма сохранения )

Объемная вязкость считается постоянной, в противном случае ее не следует вычитать из последней производной. Член конвективного ускорения можно также записать как

где вектор (∇ × u ) × u известен как вектор Лэмба .

В частном случае несжимаемого потока давление ограничивает поток, так что объем жидких элементов остается постоянным: изохорический поток приводит к соленоидальному полю скорости с ∇ ⋅ u = 0 .

Несжимаемый поток

Уравнение Несжимаемого импульса Навье – Стокса получается из следующих предположений о тензоре напряжений Коши:

  • напряжение является инвариантом Галилея : оно не зависит напрямую от скорости потока, а только от пространственных производных скорости потока. Таким образом, переменная напряжения - это градиент тензора u .
  • предполагается, что жидкость изотропна , как в случае с газами и простыми жидкостями, и, следовательно, τ - изотропный тензор; кроме того, поскольку тензор девиаторных напряжений может быть выражен через динамическую вязкость μ :
    Основное уравнение напряжения Стокса (выражение, используемое для несжимаемых упругих тел)

    куда

    - тензор скорости деформации . Таким образом, это разложение можно сделать явным:
    Основное уравнение напряжения Стокса (выражение, используемое для несжимаемых вязких жидкостей)

Динамическая вязкость μ не обязательно должна быть постоянной - в несжимаемых потоках она может зависеть от плотности и давления. Любое уравнение, которое явно выражает один из этих транспортных коэффициентов в консервативных переменных , называется уравнением состояния .

Дивергенция девиаторного напряжения определяется по формуле:

поскольку ∇ ⋅ u = 0 для несжимаемой жидкости.

Несжимаемость исключает волны плотности и давления, такие как звуковые или ударные волны , поэтому это упрощение бесполезно, если эти явления представляют интерес. Предположение о несжимаемом потоке обычно хорошо работает со всеми жидкостями при низких числах Маха (скажем, примерно до 0,3 Маха), например, для моделирования воздушного ветра при нормальных температурах. уравнения несжимаемой жидкости Навье – Стокса лучше всего визуализировать путем деления на плотность:

Несжимаемые уравнения Навье – Стокса ( конвективная форма )

Если плотность постоянна во всей области жидкости, или, другими словами, если все элементы жидкости имеют одинаковую плотность , то мы имеем

Несжимаемые уравнения Навье – Стокса ( конвективная форма )

где 𝜈 =μ/ρ 0называется кинематической вязкостью .

Пример ламинарного потока

Профиль скорости (ламинарный поток):

для направления y упростим уравнение Навье – Стокса:

Проинтегрируйте дважды, чтобы найти профиль скорости с граничными условиями y = h , u = 0 , y = - h , u = 0 :

Из этого уравнения подставьте два граничных условия, чтобы получить два уравнения:

Сложите и решите для B :

Подставим и решим вместо A :

Наконец, это дает профиль скорости:

Стоит понаблюдать за смыслом каждого члена (сравните с уравнением импульса Коши ):

Член высшего порядка, а именно дивергенция касательного напряжения ∇ ⋅ τ , просто сводится к векторному члену лапласиана μ2 u . Этот лапласовский член можно интерпретировать как разницу между скоростью в точке и средней скоростью в небольшом окружающем объеме. Это означает, что для ньютоновской жидкости вязкость действует как диффузия количества движения во многом так же, как и теплопроводность . Фактически, пренебрегая членом конвекции, уравнения Навье – Стокса для несжимаемой жидкости приводят к уравнению векторной диффузии (а именно уравнениям Стокса ), но в целом член конвекции присутствует, поэтому уравнения Навье – Стокса для несжимаемой жидкости относятся к классу уравнений конвекции – диффузии .

В обычном случае, когда внешнее поле является консервативным полем :

путем определения гидравлического напора :

наконец, можно сконденсировать весь источник в одном члене, придя к несжимаемому уравнению Навье – Стокса с консервативным внешним полем:

Несжимаемые уравнения Навье – Стокса с консервативным внешним полем являются фундаментальным уравнением гидравлики . Область для этих уравнений обычно представляет собой 3 или менее евклидово пространство , для которого обычно устанавливается ортогональная система координат, чтобы явить систему скалярных уравнений в частных производных, которая должна быть решена. В 3-х мерных ортогональных системах координат есть 3: декартова , цилиндрическая и сферическая . Выражение векторного уравнения Навье – Стокса в декартовых координатах довольно просто и не сильно зависит от количества измерений используемого евклидова пространства, как и для членов первого порядка (таких как вариационные и конвективные) также в недекартовы ортогональные системы координат. Но для членов более высокого порядка (двух, возникающих из-за дивергенции девиаторного напряжения, которые отличают уравнения Навье – Стокса от уравнений Эйлера) требуется некоторое тензорное исчисление для вывода выражения в не декартовых ортогональных системах координат.

Уравнение несжимаемой жидкости Навье – Стокса является составным и представляет собой сумму двух ортогональных уравнений:

где Π S и Π I - соленоидальные и безвихревые проекционные операторы, удовлетворяющие условию Π S + Π I = 1, а f S и f I - неконсервативные и консервативные части объемной силы. Этот результат следует из теоремы Гельмгольца (также известной как основная теорема векторного исчисления). Первое уравнение является определяющим уравнением для скорости без давления, а второе уравнение для давления является функционалом скорости и связано с уравнением Пуассона для давления.

Явный функциональный вид оператора проектирования в 3D находится из теоремы Гельмгольца:

с аналогичной структурой в 2D. Таким образом, основное уравнение представляет собой интегродифференциальное уравнение, подобное закону Кулона и Био – Савара , которое неудобно для численных расчетов.

Эквивалентная слабая или вариационная форма уравнения, которая, как было доказано, дает то же решение для скорости, что и уравнение Навье – Стокса, задается следующим образом:

для бездивергентных пробных функций w, удовлетворяющих подходящим граничным условиям. Здесь проекции достигаются за счет ортогональности соленоидального и безвихревого функциональных пространств. Дискретная форма этого в высшей степени подходит для расчета методом конечных элементов бездивергентного потока, как мы увидим в следующем разделе. Там можно будет ответить на вопрос «Как определить задачи, связанные с давлением (Пуазейля), с помощью управляющего уравнения без давления?».

Отсутствие сил давления в основном уравнении скорости показывает, что это уравнение не является динамическим, а скорее кинематическим уравнением, в котором условие отсутствия дивергенции играет роль уравнения сохранения. Казалось бы, все это опровергает частые утверждения о том, что несжимаемое давление обеспечивает условие отсутствия расходимости.

Вариационная форма уравнений Навье – Стокса несжимаемой жидкости.

Сильная форма

Рассмотрим несжимаемые уравнения Навье – Стокса для ньютоновской жидкости постоянной плотности ρ в области

с границей
являются Γ D и Γ N частями границы, к которым применяются граничные условия Дирихле и Неймана соответственно ( Γ D ∩ Γ N = ∅ ):
u - скорость жидкости, p - давление жидкости, f - заданный фактор воздействия, - направленный наружу единичный вектор нормали кΓ N , а σ ( u , p )-тензор вязких напряжений,определяемый как:
Пусть μ является динамическая вязкость жидкости, я второго порядка единичный тензор и ε ( U ) на тензор скорости деформации определяется как:
Функции g и h задаются граничными данными Дирихле и Неймана, а u 0 является начальным условием . Первое уравнение представляет собой уравнение баланса количества движения, а второе представляет собой уравнение сохранения массы , а именно уравнение неразрывности . Предполагая постоянную динамическую вязкость, используя векторную идентичность
и используя сохранение массы, расходимость тензора полного напряжения в уравнении импульса также может быть выражена как:
Кроме того, обратите внимание, что граничные условия Неймана можно переформулировать как:

Слабая форма

Чтобы найти вариационную форму уравнений Навье – Стокса, сначала рассмотрим уравнение импульса

умножьте его на пробную функцию v , определенную в подходящем пространстве V , и проинтегрируйте оба члена по области Ω :
Встречное интегрирование по частям диффузионного члена и члена давления и с использованием теоремы Гаусса:

Используя эти отношения, получаем:

Таким же образом уравнение неразрывности умножается на пробную функцию q, принадлежащую пространству Q, и интегрируется в области Ω :
Космические функции выбираются следующим образом:
Учитывая, что пробная функция v обращается в нуль на границе Дирихле, и учитывая условие Неймана, интеграл на границе можно переписать как:
Имея это в виду, слабая формулировка уравнений Навье – Стокса выражается как:

Дискретная скорость

При разбиении проблемной области и определении базисных функций на разбитой области дискретная форма основного уравнения имеет вид

Желательно выбирать базисные функции, отражающие существенную особенность несжимаемого течения - элементы должны быть недивергентными. Хотя скорость представляет собой интересующую нас переменную, существование функции тока или векторного потенциала необходимо по теореме Гельмгольца. Кроме того, чтобы определить поток жидкости в отсутствие градиента давления, можно указать разность значений функции тока в двухмерном канале или линейный интеграл тангенциальной составляющей векторного потенциала вокруг канала в трехмерном пространстве, при этом поток задается по теореме Стокса . Далее обсуждение будет ограничено 2D.

Далее мы ограничиваем обсуждение непрерывными конечными элементами Эрмита, которые имеют степени свободы не менее первой производной. С его помощью можно извлечь большое количество потенциальных треугольных и прямоугольных элементов из литературы по гибке пластин . Эти элементы имеют производные как компоненты градиента. В 2D градиент и ротор скаляра явно ортогональны, что определяется выражениями:

Принятие непрерывных элементов изгиба пластины, замена производных степеней свободы и изменение знака соответствующей дает множество семейств элементов функции тока.

Взятие ротора скалярных элементов функции тока дает бездивергентные элементы скорости. Требование, чтобы элементы функции тока были непрерывными, гарантирует, что нормальная составляющая скорости является непрерывной на границах раздела элементов, все, что необходимо для устранения расхождения на этих границах раздела.

Граничные условия применить просто. Функция тока постоянна на непроточных поверхностях с условиями скорости прилипания на поверхностях. Различия потоковых функций в открытых каналах определяют поток. На открытых границах не требуется никаких граничных условий, хотя для некоторых задач могут использоваться согласованные значения. Все это условия Дирихле.

Решаемые алгебраические уравнения просты в установке, но, конечно, они нелинейны , что требует повторения линеаризованных уравнений.

Аналогичные соображения применимы к трехмерным измерениям, но расширение из 2D не является немедленным из-за векторной природы потенциала, и не существует простой связи между градиентом и изгибом, как это было в случае с 2D.

Восстановление давления

Восстановить давление из поля скорости легко. Дискретное слабое уравнение для градиента давления:

где функции тест / вес являются безвихревыми. Может использоваться любой соответствующий скалярный конечный элемент. Однако поле градиента давления также может представлять интерес. В этом случае для давления можно использовать скалярные элементы Эрмита. Для функций испытания / веса g i следует выбрать элементы вектора безвихрения, полученные из градиента элемента давления.

Неинерциальная система отсчета

Вращающаяся система отсчета вводит некоторые интересные псевдосилы в уравнения через член материальной производной . Рассмотрим стационарную инерциальную систему отсчета K и неинерциальную систему отсчета K ′ , которая поступает со скоростью U ( t ) и вращается с угловой скоростью Ω ( t ) относительно неподвижной системы отсчета. Уравнение Навье – Стокса, наблюдаемое в неинерциальной системе отсчета, при этом принимает вид

Уравнение импульса Навье – Стокса в неинерциальной системе отсчета

Здесь x и u измеряются в неинерциальной системе отсчета. Первый член в скобках представляет ускорение Кориолиса , второй член обусловлен центробежным ускорением , третий член обусловлен линейным ускорением K ' относительно K, а четвертый член обусловлен угловым ускорением K' относительно K .

Другие уравнения

Уравнения Навье – Стокса представляют собой строгое утверждение баланса количества движения. Чтобы полностью описать поток жидкости, требуется дополнительная информация, в зависимости от сделанных предположений. Эта дополнительная информация может включать граничные данные ( отсутствие проскальзывания , поверхность капилляра и т. Д.), Сохранение массы, баланс энергии и / или уравнение состояния .

Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости.

Независимо от предположений о потоке, обычно необходимо заявление о сохранении массы . Это достигается с помощью уравнения неразрывности массы , представленного в наиболее общем виде как:

или, используя производную по существу :

Для несжимаемой жидкости плотность вдоль линии потока остается постоянной во времени,

Следовательно, дивергенция скорости всегда равна нулю:

Функция потока для несжимаемой 2D жидкости

Использование ротора несжимаемого уравнения Навье – Стокса приводит к устранению давления. Это особенно легко увидеть, если предполагается двумерный декартов поток (как в вырожденном трехмерном случае с u z = 0 и никакой зависимости чего-либо от z ), где уравнения сводятся к:

Дифференцирование первого по y , второго по x и вычитание полученных уравнений устранит давление и любую консервативную силу . Для несжимаемого потока определение функции тока ψ через

приводит к безусловному удовлетворению непрерывности массы (при условии, что функция тока непрерывна), и тогда несжимаемый ньютоновский 2D импульс и сохранение массы сжимаются в одно уравнение:

где 4 является 2D бигармонической оператора и ν представляет собой кинематическая вязкость , ν =μ/ρ. Мы также можем выразить это компактно, используя определитель Якоби :

Это единственное уравнение вместе с соответствующими граничными условиями описывает двухмерный поток жидкости, принимая в качестве параметра только кинематическую вязкость. Обратите внимание, что уравнение для ползучего потока получается, когда левая сторона считается нулевой.

В осесимметричном потоке другая формулировка функции тока, называемая функцией тока Стокса , может использоваться для описания компонентов скорости несжимаемого потока с помощью одной скалярной функции.

Несжимаемое уравнение Навье – Стокса - это дифференциально-алгебраическое уравнение , имеющее неудобную особенность, заключающуюся в отсутствии явного механизма увеличения давления во времени. Следовательно, было затрачено много усилий на то, чтобы полностью или частично устранить нагрузку на вычислительный процесс. Формулировка функции тока исключает давление, но только в двух измерениях и за счет введения более высоких производных и исключения скорости, которая является основной переменной, представляющей интерес.

Характеристики

Нелинейность

Уравнения Навье – Стокса в общем случае являются нелинейными уравнениями в

частных производных и поэтому остаются почти в каждой реальной ситуации. В некоторых случаях, таких как одномерный поток и поток Стокса (или ползущий поток), уравнения могут быть упрощены до линейных уравнений. Нелинейность затрудняет или делает невозможным решение большинства проблем и является основным фактором турбулентности , моделируемой уравнениями.

Нелинейность возникает из-за конвективного ускорения, которое представляет собой ускорение, связанное с изменением скорости при изменении положения. Следовательно, любой конвективный поток, турбулентный или нет, будет иметь нелинейность. Примером конвективного, но ламинарного (нетурбулентного) потока может быть прохождение вязкой жидкости (например, нефти) через небольшое сужающееся сопло . Такие потоки, независимо от того, разрешимы они или нет, часто можно досконально изучить и понять.

Турбулентность

Турбулентность - это зависящее от времени хаотическое поведение, наблюдаемое во многих потоках жидкости. Обычно считается, что это происходит из-за инерции жидкости в целом: кульминация зависящего от времени и конвективного ускорения; следовательно, потоки, в которых инерционные эффекты малы, имеют тенденцию быть ламинарными (число Рейнольдса количественно определяет, насколько поток подвержен влиянию инерции). Считается, хотя и не известно с уверенностью, что уравнения Навье – Стокса правильно описывают турбулентность.

Численное решение уравнений Навье – Стокса для турбулентного потока чрезвычайно сложно, и из-за существенно различных масштабов длины смешения, которые присутствуют в турбулентном потоке, устойчивое решение этого требует такого мелкого разрешения сетки, что время вычислений становится значительным. невозможно для расчета или прямого численного моделирования . Попытки решить турбулентный поток с использованием ламинарного решателя обычно приводят к нестабильному во времени решению, которое не может сходиться надлежащим образом. Чтобы противостоять этому, усредненные по времени уравнения, такие как усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье – Стокса (RANS), дополненные моделями турбулентности, используются в практических приложениях вычислительной гидродинамики (CFD) при моделировании турбулентных течений. Некоторые модели включают модели Спаларта – Аллмараса , k - ω , k - ε и SST , которые добавляют множество дополнительных уравнений для замыкания уравнений RANS. Моделирование крупных вихрей (LES) также можно использовать для численного решения этих уравнений. Этот подход является более дорогостоящим в вычислительном отношении - по времени и по объему памяти компьютера - чем RANS, но дает лучшие результаты, поскольку он явно разрешает большие турбулентные масштабы.

Применимость

Вместе с дополнительными уравнениями (например, сохранения массы) и хорошо сформулированными граничными условиями уравнения Навье – Стокса, похоже, точно моделируют движение жидкости; даже турбулентные потоки кажутся (в среднем) согласующимися с наблюдениями в реальном мире.

Уравнения Навье – Стокса предполагают, что исследуемая жидкость представляет собой континуум (она бесконечно делима и не состоит из таких частиц, как атомы или молекулы) и не движется с релятивистскими скоростями . В очень малых масштабах или в экстремальных условиях реальные жидкости, состоящие из дискретных молекул, будут давать результаты, отличные от результатов сплошных жидкостей, моделируемых уравнениями Навье – Стокса. Например, капиллярность внутренних слоев жидкостей проявляется при течении с большими градиентами. При большом числе Кнудсена в задаче уравнение Больцмана может быть подходящей заменой. В противном случае, возможно, придется прибегнуть к молекулярной динамике или различным гибридным методам.

Еще одно ограничение - это просто сложный характер уравнений. Существуют проверенные временем формулировки для обычных семейств жидкостей, но применение уравнений Навье – Стокса к менее распространенным семействам имеет тенденцию приводить к очень сложным формулировкам и часто открывать исследовательские проблемы. По этой причине эти уравнения обычно записываются для ньютоновских жидкостей, где модель вязкости является линейной ; По-настоящему общих моделей течения других жидкостей (например, крови) не существует.

Применение к конкретным проблемам

Уравнения Навье – Стокса, даже если они написаны явно для конкретных жидкостей, носят довольно общий характер, и их правильное применение к конкретным задачам может быть очень разнообразным. Частично это связано с тем, что существует огромное множество проблем, которые можно смоделировать, от таких простых, как распределение статического давления, до таких сложных, как многофазный поток, вызываемый поверхностным натяжением .

Как правило, применение к конкретным проблемам начинается с некоторых предположений о потоке и формулировки начальных / граничных условий, за этим может следовать масштабный анализ для дальнейшего упрощения проблемы.

Визуализация (а) параллельного потока и (б) радиального потока.

Параллельный поток

Предположим установившийся, параллельный, одномерный, неконвективный поток под давлением между параллельными пластинами, результирующая масштабная (безразмерная) краевая задача будет следующей:

Граничным условием является условие прилипания . Эта проблема легко решается для поля течения:

С этого момента можно легко получить больше интересующих величин, таких как сила вязкого сопротивления или чистый расход.

Радиальный поток

Сложности могут возникнуть, когда проблема немного усложнится. На первый взгляд скромным поворотом в параллельном потоке выше был бы радиальный поток между параллельными пластинами; это связано с конвекцией и, следовательно, с нелинейностью. Поле скорости может быть представлено функцией f ( z ), которая должна удовлетворять:

Это обыкновенное дифференциальное уравнение получается, когда записываются уравнения Навье – Стокса и применяются предположения о потоке (дополнительно вычисляется градиент давления). Нелинейное слагаемое делает это очень трудная задачу решить аналитический (длительное неявное решение может быть найдено , который включает в себя эллиптические интегралы и корни кубических многочленов ). Проблемы с фактическим существованием решений возникают при R > 1,41 (приблизительно; это не 2 ), где параметр R представляет собой число Рейнольдса с соответствующим образом выбранным масштабом. Это пример предположений о потоках, теряющих свою применимость, и пример трудности потоков с "высокими" числами Рейнольдса.

Конвекция

Тип естественной конвекции, которую можно описать уравнением Навье – Стокса, - это конвекция Рэлея – Бенара . Это одно из наиболее часто изучаемых явлений конвекции из-за его аналитической и экспериментальной доступности.

Точные решения уравнений Навье – Стокса.

Существуют некоторые точные решения уравнений Навье – Стокса. Примеры вырожденных случаев-с нелинейными членами в уравнениях Навье-Стокса равны нулю-в течение Пуазейля , Куэтта и колебательное стоксово пограничный слой . А кроме того , более интересных примеров, решение полных нелинейных уравнений, существует, например, поток Джефри-Гамель , Кармана закрученного потока , поток точки торможения , Ландау-Squire струи , и Тейлор Зеленый вихря . Обратите внимание, что существование этих точных решений не означает, что они устойчивы: турбулентность может развиваться при более высоких числах Рейнольдса.

При дополнительных предположениях составные части можно разделить.

Двумерный пример

Например, в случае неограниченной плоской области с двумерным потоком - несжимаемым и стационарным - в полярных координатах ( r , φ ) компоненты скорости ( u r , u φ ) и давления p равны:

где A и B - произвольные постоянные. Это решение справедливо в области r ≥ 1 и при A <−2 ν .

В декартовых координатах, когда вязкость равна нулю ( ν = 0 ), это:

Трехмерный пример

Например, в случае неограниченной евклидовой области с трехмерным - несжимаемым, стационарным и с нулевой вязкостью ( ν = 0 ) - радиальным потоком в декартовых координатах ( x , y , z ) вектор скорости v и давление p равны :

Есть особенность при x = y = z = 0 .

Трехмерное стационарное вихревое решение

Проволочная модель линий тока вдоль расслоения Хопфа .

Стационарный пример без особенностей получается из рассмотрения потока вдоль линий расслоения Хопфа . Пусть r будет постоянным радиусом внутренней катушки. Один набор решений представлен:

для произвольных констант A и B . Это решение в невязком газе (сжимаемой жидкости), плотность, скорость и давление которого стремятся к нулю вдали от начала координат. (Обратите внимание, что это не решение проблемы Clay Millennium, потому что это относится к несжимаемым жидкостям, где ρ - постоянная величина, и не имеет отношения к уникальности уравнений Навье – Стокса в отношении каких-либо свойств турбулентности .) Это также стоит того. указывая на то, что компоненты вектора скорости в точности совпадают с компонентами четверной параметризации

Пифагора . Другой выбор плотности и давления возможен с тем же полем скорости:
Другие варианты плотности и давления

Другой выбор давления и плотности с тем же вектором скорости выше - это тот, где давление и плотность падают до нуля в начале координат и достигают максимальных значений в центральном контуре при z = 0 , x 2 + y 2 = r 2 :

На самом деле, в общем случае существуют простые решения для любой полиномиальной функции f с плотностью:

Вязкие трехмерные периодические решения.

В разделе описаны два примера периодических полностью трехмерных вязких решений. Эти решения определены на трехмерном торе и характеризуются соответственно положительной и отрицательной

спиральностью . Решение с положительной спиральностью дается выражением:
где - волновое число, а компоненты скорости нормированы так, чтобы средняя кинетическая энергия на единицу массы была при . Поле давления получается из поля скорости как (где и - опорные значения для полей давления и плотности соответственно). Поскольку оба решения относятся к классу
течения Бельтрами , поле завихренности параллельно скорости и для случая положительной спиральности определяется выражением . Эти решения можно рассматривать как обобщение в трех измерениях классического двумерного вихря Тейлора-Грина Тейлора-Грина .

Диаграммы Вильда

Диаграммы Вильда - это бухгалтерские графики, которые соответствуют уравнениям Навье – Стокса через разложение по

возмущениям фундаментальной механики сплошной среды . Подобно диаграммам Фейнмана в квантовой теории поля , эти диаграммы являются расширением техники Келдыша для неравновесных процессов в гидродинамике. Другими словами, эти диаграммы назначают графики (часто) турбулентным явлениям в турбулентных жидкостях, позволяя коррелированным и взаимодействующим частицам жидкости подчиняться случайным процессам, связанным с псевдослучайными функциями в распределениях вероятностей .

Представления в 3D

Обратите внимание, что формулы в этом разделе используют однострочную запись для частных производных, где, например, означает частную производную

u по x и означает частную производную второго порядка f θ по y .

Декартовы координаты

Исходя из общей формы уравнения Навье – Стокса, с вектором скорости, разложенным как u = ( u x , u y , u z ) , иногда соответственно называемым u , v , w , мы можем записать векторное уравнение в явном виде:

Обратите внимание, что гравитация учитывалась как объемная сила, и значения g x , g y , g z будут зависеть от ориентации силы тяжести относительно выбранного набора координат.

Уравнение неразрывности гласит:

Когда поток несжимаемый, ρ не изменяется ни для одной жидкой частицы, и его материальная производная обращается в нуль:/Dt= 0 . Уравнение неразрывности сводится к:

Таким образом, для несжимаемой версии уравнения Навье – Стокса вторая часть вязких членов отпадает (см. Несжимаемый поток ).

Эта система из четырех уравнений представляет собой наиболее часто используемую и изучаемую форму. Несмотря на то, что это сравнительно более компактное представление, чем другие представления, это все же нелинейная система уравнений в

частных производных, для которой трудно получить решения.

Цилиндрические координаты

Замена переменных в декартовых уравнениях приведет к следующим уравнениям импульса для r , φ и z

Компоненты силы тяжести обычно не будут постоянными, однако для большинства приложений либо координаты выбираются так, чтобы составляющие силы тяжести были постоянными, либо предполагается, что сила тяжести противодействует полю давления (например, поток в горизонтальной трубе обрабатывается нормально без силы тяжести и без вертикального градиента давления). Уравнение неразрывности:

Это цилиндрическое представление уравнений Навье – Стокса для несжимаемой жидкости является вторым наиболее часто встречающимся (первое - декартово выше). Цилиндрические координаты выбраны, чтобы воспользоваться преимуществом симметрии, так что компонент скорости может исчезнуть. Очень распространенный случай - осесимметричный поток в предположении отсутствия тангенциальной скорости ( u φ = 0 ), а остальные величины не зависят от φ :

Сферические координаты

| В сферических координатах , в г , ф , а & thetas ; уравнениях импульса является (обратите внимание на используемые конвенции: & thetas ; это полярный угол, или коширота , 0 & le ; & thetas ; & le ; л ):

Массовая преемственность будет читать:

Эти уравнения могут быть (слегка) сжаты, например, факторингом 1/r 2от вязких сроков. Однако это приведет к нежелательным изменениям структуры лапласиана и других величин.

Использование уравнений Навье – Стокса в играх

Уравнения Навье – Стокса широко используются в видеоиграх для моделирования самых разных природных явлений. Моделирование мелкомасштабных газообразных сред, таких как огонь и дым, часто основывается на основополагающей статье «Динамика жидкости в реальном времени для игр» Джоса Стэма , в которой разрабатывается один из методов, предложенных в более ранней, более известной статье Стама «Стабильный Жидкости »от 1999 года. Стам предлагает моделирование стабильной жидкости с использованием метода решения Навье – Стокса из 1968 года в сочетании с безусловно устойчивой полулагранжевой схемой

адвекции , впервые предложенной в 1992 году.

Более поздние реализации, основанные на этой работе, работают на графическом процессоре (ГП) игровых систем, а не на центральном процессоре (ЦП), и достигают гораздо более высокой степени производительности. Было предложено множество улучшений к оригинальной работе Стама, которая по своей сути страдает от высокой числовой диссипации как скорости, так и массы.

Введение в интерактивное моделирование жидкости можно найти в курсе 2007 ACM SIGGRAPH , Моделирование жидкости для компьютерной анимации.

Смотрите также

Цитаты

Общие ссылки

внешние ссылки