Неравенство Коши – Шварца - Cauchy–Schwarz inequality

${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle v.}$

Приведенная выше форма, пожалуй, самая легкая для понимания неравенства, поскольку квадрат косинуса может быть не более 1, что происходит, когда векторы находятся в одном или противоположных направлениях. Его также можно переформулировать в терминах векторных координат как ${\ displaystyle v_ {1}, v_ {2}, u_ {1}, {\ text {и}} u_ {2}}$

$${\ displaystyle \ left (u_ {1} v_ {1} + u_ {2} v_ {2} \ right) ^ {2} \ leq \ left (u_ {1} ^ {2} + u_ {2} ^ { 2} \ right) \ left (v_ {1} ^ {2} + v_ {2} ^ {2} \ right),}$$

${\ displaystyle \ left (u_ {1}, u_ {2} \ right)}$

${\ displaystyle \ left (v_ {1}, v_ {2} \ right),}$

ℝ ⁿ - n -мерное евклидово пространство

В евклидовом пространстве со стандартным внутренним произведением, которое является

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

$${\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} u_ {i} v_ {i} \ right) ^ {2} \ leq \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} u_ {i} ^ {2} \ right) \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} v_ {i} ^ {2} \ right).}$$

Неравенство Коши – Шварца в этом случае можно доказать, используя только идеи элементарной алгебры. Рассмотрим следующий квадратичным полиномом ин${\ displaystyle x}$

$${\ displaystyle 0 \ leq \ left (u_ {1} x + v_ {1} \ right) ^ {2} + \ cdots + \ left (u_ {n} x + v_ {n} \ right) ^ {2} = \ left (\ sum _ {i} u_ {i} ^ {2} \ right) x ^ {2} +2 \ left (\ sum _ {i} u_ {i} v_ {i} \ right) x + \ сумма _ {i} v_ {i} ^ {2}.}$$

Поскольку он неотрицателен, он имеет не более одного действительного корня, поэтому его

${\ displaystyle x,}$

$${\ displaystyle \ left (\ sum _ {i} u_ {i} v_ {i} \ right) ^ {2} - \ left (\ sum _ {i} {u_ {i} ^ {2}} \ right) \ left (\ sum _ {i} {v_ {i} ^ {2}} \ right) \ leq 0,}$$

откуда следует неравенство Коши – Шварца.

ℂ ⁿ - n -мерное комплексное пространство

Если с и (где и ) и если внутреннее произведение в векторном пространстве является каноническим комплексным внутренним произведением (определяемым тем, где для

${\ displaystyle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ in \ mathbb {C} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ mathbf {u} = \ left (u_ {1}, \ ldots, u_ {n} \ right)}$

${\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ left (v_ {1}, \ ldots, v_ {n} \ right)}$

${\ displaystyle u_ {1}, \ ldots, u_ {n} \ in \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n} \ in \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$

${\ displaystyle \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle: = u_ {1} {\ overline {v_ {1}}} + \ cdots + u_ {n} {\ overline {v_ {n} }},}$

$${\ displaystyle \ left | \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle \ right | ^ {2} = \ left | \ sum _ {k = 1} ^ {n} u_ {k} {\ bar {v}} _ {k} \ right | ^ {2} \ leq \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {u} \ rangle \ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {v} \ rangle = \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} u_ {k} {\ bar {u}} _ {k} \ right) \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} v_ {k } {\ bar {v}} _ {k} \ right) = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left | u_ {j} \ right | ^ {2} \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left | v_ {k} \ right | ^ {2}.}$$

То есть,

$${\ displaystyle \ left | u_ {1} {\ bar {v}} _ {1} + \ cdots + u_ {n} {\ bar {v}} _ {n} \ right | ^ {2} \ leq \ left (\ left | u_ {1} \ right | ^ {2} + \ cdots + \ left | u_ {n} \ right | ^ {2} \ right) \ left (\ left | v_ {1} \ right | ^ {2} + \ cdots + \ left | v_ {n} \ right | ^ {2} \ right).}$$

L ²

Для пространства скалярного произведения комплекснозначных

$${\ displaystyle \ left | \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (x) {\ overline {g (x)}} \, dx \ right | ^ {2} \ leq \ int _ { \ mathbb {R} ^ {n}} | f (x) | ^ {2} \, dx \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} | g (x) | ^ {2} \, dx .}$$

Неравенство Гельдера является обобщением этого.

Приложения

Анализ

В любом внутреннем пространстве продукта , то неравенство треугольника является следствием неравенства Коши-Шварца, так как теперь показано:

$${\ Displaystyle {\ begin {alignat} {4} \ | \ mathbf {u} + \ mathbf {v} \ | ^ {2} & = \ langle \ mathbf {u} + \ mathbf {v}, \ mathbf { u} + \ mathbf {v} \ rangle && \\ & = \ | \ mathbf {u} \ | ^ {2} + \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle + \ langle \ mathbf { v}, \ mathbf {u} \ rangle + \ | \ mathbf {v} \ | ^ {2} ~ && ~ {\ text {where}} \ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {u} \ rangle = {\ overline {\ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle}} \\ & = \ | \ mathbf {u} \ | ^ {2} +2 \ operatorname {Re} \ langle \ mathbf { u}, \ mathbf {v} \ rangle + \ | \ mathbf {v} \ | ^ {2} && \\ & \ leq \ | \ mathbf {u} \ | ^ {2} +2 | \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle | + \ | \ mathbf {v} \ | ^ {2} && \\ & \ leq \ | \ mathbf {u} \ | ^ {2} +2 \ | \ mathbf {u} \ | \ | \ mathbf {v} \ | + \ | \ mathbf {v} \ | ^ {2} && \\ & = (\ | \ mathbf {u} \ | + \ | \ mathbf { v} \ |) ^ {2}. && \ end {alignat}}}$$

Извлечение квадратного корня дает неравенство треугольника:

$${\ displaystyle \ | \ mathbf {u} + \ mathbf {v} \ | \ leq \ | \ mathbf {u} \ | + \ | \ mathbf {v} \ |.}$$

Неравенство Коши – Шварца используется для доказательства того, что скалярное произведение является непрерывной функцией по отношению к топологии, индуцированной самим скалярным произведением.

Геометрия

Неравенство Коши-Шварца позволяет расширить понятие «угол между двумя векторами» на любое реальное внутреннее пространство продукта путем определения:

$${\ displaystyle \ cos \ theta _ {\ mathbf {u} \ mathbf {v}} = {\ frac {\ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle} {\ | \ mathbf {u} \ | \ | \ mathbf {v} \ |}}.}$$

Неравенство Коши – Шварца доказывает разумность этого определения, показывая, что правая часть лежит в интервале [−1, 1], и оправдывает понятие, что (действительные) гильбертовы пространства являются просто обобщениями евклидова пространства . Его также можно использовать для определения угла в сложных пространствах внутреннего продукта , взяв абсолютное значение или действительную часть правой части, как это делается при извлечении метрики из квантовой точности .

Теория вероятности

Пусть и -

${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle Y}$

$${\ displaystyle \ operatorname {Var} (Y) \ geq {\ frac {\ operatorname {Cov} (Y, X) ^ {2}} {\ operatorname {Var} (X)}}.}$$

После определения внутреннего продукта на множестве случайных величин с использованием математического ожидания их продукта,

$${\ Displaystyle \ langle X, Y \ rangle: = \ OperatorName {E} (XY),}$$

$${\ displaystyle | \ operatorname {E} (XY) | ^ {2} \ leq \ operatorname {E} (X ^ {2}) \ operatorname {E} (Y ^ {2}).}$$

Чтобы доказать ковариационное неравенство с помощью неравенства Коши – Шварца, пусть, а затем ${\ displaystyle \ mu = \ operatorname {E} (X)}$${\ Displaystyle \ Nu = \ OperatorName {E} (Y),}$

$${\ Displaystyle {\ begin {align} | \ OperatorName {Cov} (X, Y) | ^ {2} & = | \ OperatorName {E} \ left ((X- \ mu) (Y- \ nu) \ right ) | ^ {2} \\ & = | \ langle X- \ mu, Y- \ nu \ rangle | ^ {2} \\ & \ leq \ langle X- \ mu, X- \ mu \ rangle \ langle Y - \ nu, Y- \ nu \ rangle \\ & = \ operatorname {E} \ left ((X- \ mu) ^ {2} \ right) \ operatorname {E} \ left ((Y- \ nu) ^ {2} \ right) \\ & = \ operatorname {Var} (X) \ operatorname {Var} (Y), \ end {align}}}$$

${\ displaystyle \ operatorname {Var}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Cov}}$

Доказательства

Существует много различных доказательств неравенства Коши – Шварца, помимо приведенных ниже. При обращении к другим источникам часто возникают два источника путаницы. Во-первых, некоторые авторы определяют ⟨⋅, ⋅⟩ как линейные по второму аргументу, а не по первому. Во-вторых, некоторые доказательства действительны только тогда, когда поле есть, а не${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$

В этом разделе приведены доказательства следующей теоремы:

Более того, если это равенство выполнено и если то${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ neq \ mathbf {0}}$${\ displaystyle \ mathbf {u} = {\ frac {\ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle} {\ | \ mathbf {v} \ | ^ {2}}} \ mathbf {v} .}$

Во всех приведенных ниже доказательствах доказательство в тривиальном случае, когда хотя бы один из векторов равен нулю (или, что то же самое, в случае, когда ), одинаково. Он представлен сразу ниже только один раз, чтобы уменьшить повторение. Он также включает простую часть доказательства - вышеупомянутую

${\ Displaystyle \ | \ mathbf {u} \ | \ | \ mathbf {v} \ | = 0}$

${\ displaystyle \ mathbf {u}}$

${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

${\ displaystyle {\ big |} \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle {\ big |} = \ | \ mathbf {u} \ | \ | \ mathbf {v} \ |.}$

Доказательство тривиальных частей: случай, когда вектор и одно направление характеризации равенства${\ displaystyle \ mathbf {0}}$

По определению и линейно зависимы тогда и только тогда, когда один является скалярным кратным другому. Если где - какой-то скаляр, то ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ Displaystyle \ mathbf {и} = с \ mathbf {v}}$${\ displaystyle c}$ $${\ displaystyle \ left | \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle \ right | = \ left | \ langle c \ mathbf {v}, \ mathbf {v} \ rangle \ right | = \ left | c \ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {v} \ rangle \ right | = \ left | c \ right | \ | \ mathbf {v} \ | \ | \ mathbf {v} \ | = \ | c \ mathbf {v} \ | \ | \ mathbf {v} \ | = \ | \ mathbf {u} \ | \ | \ mathbf {v} \ |}$$ что показывает, что равенство выполняется в неравенстве Коши-Шварца . Случай, когда для некоторого скаляра очень похож, с основным отличием между комплексным сопряжением :${\ Displaystyle \ mathbf {v} = с \ mathbf {u}}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle c}$ $${\ displaystyle \ left | \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle \ right | = \ left | \ langle \ mathbf {u}, c \ mathbf {u} \ rangle \ right | = \ left | {\ overline {c}} \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {u} \ rangle \ right | = \ left | {\ overline {c}} \ right | \ | \ mathbf {u} \ | \ | \ mathbf {u} \ | = \ left | c \ right | \ | \ mathbf {u} \ | \ | \ mathbf {u} \ | = \ | \ mathbf {u} \ | \ | c \ mathbf { u} \ | = \ | \ mathbf {u} \ | \ | \ mathbf {v} \ |.}$$ Если хотя бы один из и является нулевым вектором, тогда и обязательно линейно зависимы (просто скалярно умножьте ненулевой вектор на число, чтобы получить нулевой вектор; например, if then let so that ), что доказывает обратное к этой характеристике в этот частный случай; то есть, это показывает, что если хотя бы одно из и является, то характеристика равенства выполняется. ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle 0}$${\ Displaystyle \ mathbf {u} = \ mathbf {0}}$${\ displaystyle c = 0}$${\ Displaystyle \ mathbf {и} = с \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {0}}$ Если это происходит тогда и только тогда, и так, в частности, неравенство Коши-Шварца выполняется, потому что обе его стороны равны . Доказательство в случае идентично. ${\ Displaystyle \ mathbf {u} = \ mathbf {0},}$${\ Displaystyle \ | \ mathbf {u} \ | = 0,}$${\ Displaystyle \ | \ mathbf {u} \ | \ | \ mathbf {v} \ | = 0}$${\ Displaystyle \ left | \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle \ right | = \ left | \ langle \ mathbf {0}, \ mathbf {v} \ rangle \ right | = | 0 | = 0}$${\ displaystyle 0.}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {0}}$

Следовательно, неравенство Коши-Шварца должно быть доказано только для ненулевых векторов, а также должно быть показано только нетривиальное направление характеризации равенства .

Для реальных внутренних пространств продуктов

Позвольте быть реальным внутренним пространством продукта. Рассмотрим произвольную пару и функцию, определенную как Поскольку внутренний продукт является положительно определенным, принимает только неотрицательные значения. С другой стороны, можно расширить, используя билинейность внутреннего продукта и тот факт, что для реальных внутренних продуктов: ${\ Displaystyle (В, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}$${\ displaystyle u, v \ in V}$${\ Displaystyle p: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle p (t) = \ langle tu + v, tu + v \ rangle.}$${\ displaystyle p (t)}$${\ displaystyle p (t)}$${\ displaystyle \ langle u, v \ rangle = \ langle v, u \ rangle}$

$${\ displaystyle p (t) = \ Vert u \ Vert ^ {2} t ^ {2} + t \ left [\ langle u, v \ rangle + \ langle v, u \ rangle \ right] + \ Vert v \ Vert ^ {2} = \ Vert u \ Vert ^ {2} t ^ {2} + 2t \ langle u, v \ rangle + \ Vert v \ Vert ^ {2}.}$$

${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle 2}$

${\ displaystyle u = 0,}$

${\ displaystyle p}$

$${\ Displaystyle \ Delta = 4 \ left (\ langle u, v \ rangle ^ {2} - \ Vert u \ Vert ^ {2} \ Vert v \ Vert ^ {2} \ right) \ leqslant 0.}$$

Для случая равенства обратите внимание, что это происходит тогда и только тогда, когда If then и, следовательно,${\ displaystyle \ Delta = 0}$${\ displaystyle p (t) = (t \ Vert u \ Vert + \ Vert v \ Vert) ^ {2}.}$${\ displaystyle t_ {0} = - \ Vert v \ Vert / \ Vert u \ Vert,}$${\ displaystyle p (t_ {0}) = \ langle t_ {0} u + v, t_ {0} u + v \ rangle = 0,}$${\ displaystyle v = -t_ {0} u.}$

Доказательство скалярного произведения

Неравенство Коши-Шварца в случае, когда скалярное произведение является скалярным произведением на , теперь доказано. Неравенство Коши-Шварца может быть переписано как или эквивалентно, для чего расширяется до: ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle \ left | {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} \ right | ^ {2} \ leq \ left \ | {\ vec {a}} \ right \ | ^ {2} \, \ left \ | {\ vec {b}} \ right \ | ^ {2}}$${\ displaystyle \ left ({\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} \ right) ^ {2} \ leq \ left ({\ vec {a}} \ cdot {\ vec {a}} \ right) \, \ left ({\ vec {b}} \ cdot {\ vec {b}} \ right)}$${\ displaystyle {\ vec {a}}: = \ left (a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \ right), {\ vec {b}}: = \ left (b_ {1}, \ ldots , b_ {n} \ right) \ in \ mathbb {R} ^ {n},}$

$${\ displaystyle \ left (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + \ cdots + a_ {n} ^ {2} \ right) \ left (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + \ cdots + b_ {n} ^ {2} \ right) \ geq \ left (a_ {1} b_ {1} + a_ {2} b_ {2} + \ cdots + a_ {n} b_ {n} \ right) ^ {2}.}$$

Для упрощения пусть

$${\ displaystyle {\ begin {align} A & = a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + \ cdots + a_ {n} ^ {2}, \\ B & = b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + \ cdots + b_ {n} ^ {2} \\ D & = a_ {1} b_ {1} + a_ {2} b_ {2} + \ cdots + a_ {n} b_ {n} \\\ конец {выровнено}}}$$

${\ Displaystyle AB \ geq D ^ {2},}$

${\ displaystyle D ^ {2} -AB \ leq 0.}$

${\ displaystyle Ax ^ {2} + 2Dx + B}$

${\ displaystyle 4D ^ {2} -4AB.}$

Следовательно, для завершения доказательства достаточно доказать, что эта квадратичная либо не имеет действительных корней, либо имеет ровно один действительный корень, поскольку это будет означать:

$${\ Displaystyle 4 \ влево (D ^ {2} -AB \ вправо) \ leq 0.}$$

Подстановка значений в дает: ${\ displaystyle A, B, D}$${\ displaystyle Ax ^ {2} + 2Dx + B}$

$${\ displaystyle {\ begin {alignat} {4} Ax ^ {2} + 2Dx + B & = \ left (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + \ cdots + a_ {n} ^ {2} \ right) x ^ {2} +2 \ left (a_ {1} b_ {1} + a_ {2} b_ {2} + \ cdots + a_ {n} b_ {n} \ right) x + \ left (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + \ cdots + b_ {n} ^ {2} \ right) \\ & = \ left (a_ {1} ^ {2} x ^ {2} + 2a_ {1} b_ {1} x + b_ {1} ^ {2} \ right) + \ left (a_ {2} ^ {2} x ^ {2} + 2a_ {2} b_ {2} x + b_ {2} ^ {2} \ right) + \ cdots + \ left (a_ {n} ^ {2} x ^ {2} + 2a_ {n} b_ {n} x + b_ {n } ^ {2} \ right) \\ & = \ left (a_ {1} x + b_ {1} \ right) ^ {2} + \ left (a_ {2} x + b_ {2} \ right) ^ {2} + \ cdots + \ left (a_ {n} x + b_ {n} \ right) ^ {2} \\ & \ geq 0 \ end {alignat}}}$$

${\ Displaystyle \, \ geq 0 \,}$

${\ Displaystyle г ^ {2} \ geq 0}$

${\ displaystyle r \ in \ mathbb {R}.}$

${\ displaystyle a_ {i} x = -b_ {i}}$

$${\ displaystyle \ left (a_ {1} x + b_ {1} \ right) ^ {2} + \ left (a_ {2} x + b_ {2} \ right) ^ {2} + \ cdots + \ left (a_ {n} x + b_ {n} \ right) ^ {2} \ geq 0,}$$

${\ displaystyle \ blacksquare}$

Для произвольных векторных пространств

Доказательство 1

Особый случай было доказано выше , так что в дальнейшем предполагается , что , как теперь показано, Коши-Шварца

${\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {0}}$

${\ displaystyle \ mathbf {v} \ neq \ mathbf {0}.}$

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {1} {\ | \ mathbf {v} \ | ^ {2}}} \ left \ | \ | \ mathbf {v} \ | ^ {2} \ mathbf {u} - \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle \ mathbf {v} \ right \ | ^ {2} = \ | \ mathbf {u} \ | ^ {2} \ | \ mathbf {v} \ | ^ {2} - \ left | \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle \ right | ^ {2}}$

( Уравнение 1 )

что легко проверяется элементарным расширением (через определение нормы), а затем упрощением. ${\ Displaystyle \ left \ | \ | \ mathbf {v} \ | ^ {2} \ mathbf {u} - \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle \ mathbf {v} \ right \ | ^ {2}}$

Заметив, что левая часть уравнения 1 неотрицательно (что делает то же самое и для правой части) доказывает то, из чего следует

${\ displaystyle \ left | \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle \ right | ^ {2} \ leq \ | \ mathbf {u} \ | ^ {2} \ | \ mathbf {v} \ | ^ {2},}$

${\ displaystyle \ left | \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle \ right | = \ | \ mathbf {u} \ | \ | \ mathbf {v} \ |}$

${\ displaystyle 0,}$

${\ Displaystyle \ | \ mathbf {v} \ | ^ {2} \ mathbf {u} - \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle \ mathbf {v} = \ mathbf {0}}$

${\ displaystyle \ mathbf {u} = {\ frac {\ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle} {\ | \ mathbf {v} \ | ^ {2}}} \ mathbf {v} ,}$

${\ displaystyle \ mathbf {u}}$

${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

${\ displaystyle \ blacksquare}$

Подробности элементарного расширения России теперь даны для заинтересованного читателя. Пусть и так то и тогда ${\ Displaystyle \ left \ | \ | \ mathbf {v} \ | ^ {2} \ mathbf {u} - \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle \ mathbf {v} \ right \ | ^ {2}}$${\ Displaystyle V = \ | \ mathbf {v} \ | ^ {2}}$${\ Displaystyle с = \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle}$${\ displaystyle {\ overline {c}} c = \ left | c \ right | ^ {2} = \ left | \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle \ right | ^ {2}}$${\ displaystyle {\ overline {c}} = {\ overline {\ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle}} = \ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {u} \ rangle.}$

$${\ Displaystyle {\ begin {alignat} {4} \ left \ | \ | \ mathbf {v} \ | ^ {2} \ mathbf {u} - \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle \ mathbf {v} \ right \ | ^ {2} & = \ left \ | V \ mathbf {u} -c \ mathbf {v} \ right \ | ^ {2} = \ left \ langle V \ mathbf {u } -c \ mathbf {v}, V \ mathbf {u} -c \ mathbf {v} \ right \ rangle && ~ {\ text {По определению нормы}} \\ & = \ left \ langle V \ mathbf {u}, V \ mathbf {u} \ right \ rangle - \ left \ langle V \ mathbf {u}, c \ mathbf {v} \ right \ rangle - \ left \ langle c \ mathbf {v}, V \ mathbf {u} \ right \ rangle + \ left \ langle c \ mathbf {v}, c \ mathbf {v} \ right \ rangle && ~ {\ text {Expand}} \\ & = V ^ {2} \ left \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {u} \ right \ rangle -V {\ overline {c}} \ left \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ right \ rangle -cV \ left \ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {u} \ right \ rangle + c {\ overline {c}} \ left \ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {v} \ right \ rangle && ~ {\ text { Вытяните скаляры (обратите внимание, что}} V: = \ | \ mathbf {v} \ | ^ {2} {\ text {is real)}} \\ & = V ^ {2} \ | \ mathbf {u} \ | ^ {2} ~~ -V {\ overline {c}} c ~~~~~~~~~ -cV {\ overline {c}} ~~~~~~~~~ + c {\ overline { c}} V && ~ {\ t ext {Используйте определения}} c: = \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle {\ text {and}} V \\ & = V ^ {2} \ | \ mathbf {u} \ | ^ {2} ~~ -V {\ overline {c}} c ~ = ~ V \ left [V \ | \ mathbf {u} \ | ^ {2} - {\ overline {c}} c \ right] && ~ {\ text {Simplify}} \\ & = \ | \ mathbf {v} \ | ^ {2} \ left [\ | \ mathbf {u} \ | ^ {2} \ | \ mathbf {v} \ | ^ {2} - \ left | \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle \ right | ^ {2} \ right] && ~ {\ text {Перепишите в терминах}} \ mathbf {u } {\ текст {и}} \ mathbf {v}. \\\ конец {выровненный}}}$$

Это расширение не обязательно должно быть ненулевым; однако он должен быть ненулевым, чтобы разделить обе части на и вывести из него неравенство Коши-Шварца. Свопинг и приводит к: ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ Displaystyle \ | \ mathbf {v} \ | ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

$${\ displaystyle \ left \ | \ | \ mathbf {u} \ | ^ {2} \ mathbf {v} - {\ overline {\ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle}} \ mathbf { u} \ right \ | ^ {2} = \ | \ mathbf {u} \ | ^ {2} \ left [\ | \ mathbf {u} \ | ^ {2} \ | \ mathbf {v} \ | ^ {2} - \ left | \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle \ right | ^ {2} \ right]}$$

$${\ Displaystyle {\ begin {alignat} {4} \ | \ mathbf {u} \ | ^ {2} \ | \ mathbf {v} \ | ^ {2} \ left [\ | \ mathbf {u} \ | ^ {2} \ | \ mathbf {v} \ | ^ {2} - \ left | \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle \ right | ^ {2} \ right] & = \ | \ mathbf {u} \ | ^ {2} \ left \ | \ | \ mathbf {v} \ | ^ {2} \ mathbf {u} - \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle \ mathbf {v} \ right \ | ^ {2} \\ & = \ | \ mathbf {v} \ | ^ {2} \ left \ | \ | \ mathbf {u} \ | ^ {2} \ mathbf {v } - {\ overline {\ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle}} \ mathbf {u} \ right \ | ^ {2}. \ blacksquare \\\ end {alignat}}}$$

Доказательство 2

Частный случай был доказан выше, поэтому в дальнейшем предполагается, что Пусть ${\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {0}}$${\ displaystyle \ mathbf {v} \ neq \ mathbf {0}.}$

$${\ displaystyle \ mathbf {z}: = \ mathbf {u} - {\ frac {\ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle} {\ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {v} \ rangle}} \ mathbf {v}.}$$

Из линейности внутреннего продукта в его первом аргументе следует, что:

$${\ displaystyle \ langle \ mathbf {z}, \ mathbf {v} \ rangle = \ left \ langle \ mathbf {u} - {\ frac {\ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle} { \ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {v} \ rangle}} \ mathbf {v}, \ mathbf {v} \ right \ rangle = \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle - { \ frac {\ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle} {\ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {v} \ rangle}} \ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {v} \ rangle = 0.}$$

Таким образом, вектор ортогонален вектору ( В самом деле, является

${\ displaystyle \ mathbf {z}}$

${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

${\ displaystyle \ mathbf {z}}$

${\ displaystyle \ mathbf {u}}$

${\ displaystyle \ mathbf {v}.}$

$${\ displaystyle \ mathbf {u} = {\ frac {\ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle} {\ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {v} \ rangle}} \ mathbf { v} + \ mathbf {z}}$$

$${\ displaystyle \ | \ mathbf {u} \ | ^ {2} = \ left | {\ frac {\ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle} {\ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {v} \ rangle}} \ right | ^ {2} \ | \ mathbf {v} \ | ^ {2} + \ | \ mathbf {z} \ | ^ {2} = {\ frac {| \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle | ^ {2}} {(\ | \ mathbf {v} \ | ^ {2}) ^ {2}}} \, \ | \ mathbf {v} \ | ^ {2} + \ | \ mathbf {z} \ | ^ {2} = {\ frac {| \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle | ^ {2}} {\ | \ mathbf {v} \ | ^ {2}}} + \ | \ mathbf {z} \ | ^ {2} \ geq {\ frac {| \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle | ^ {2}} {\ | \ mathbf {v} \ | ^ {2}}}.}$$

Неравенство Коши – Шварца следует умножением на и извлечением квадратного корня. Более того, если отношение в приведенном выше выражении на самом деле является равенством, то и, следовательно, определение then устанавливает отношение линейной зависимости между и . Обратное было доказано в начале этого раздела, так что доказательство завершено.${\ Displaystyle \ | \ mathbf {v} \ | ^ {2}}$${\ displaystyle \ geq}$${\ Displaystyle \ | \ mathbf {z} \ | ^ {2} = 0}$${\ Displaystyle \ mathbf {z} = \ mathbf {0};}$${\ displaystyle \ mathbf {z}}$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}.}$${\ displaystyle \ blacksquare}$

Обобщения

Существуют различные обобщения неравенства Коши – Шварца. Неравенство Гёльдера обобщает его на нормы. В более общем смысле его можно интерпретировать как частный случай определения нормы линейного оператора в

${\ Displaystyle L ^ {p}}$

Внутреннее произведение можно использовать для определения положительного линейного функционала . Например, если гильбертова пространство будучи конечной мерой, стандартное скалярное произведение порождает положительный функционал по Наоборот, каждому положительному линейному функционалу на может быть использована для определения скалярного произведения , где представляет собой

${\ displaystyle L ^ {2} (м), м}$

${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle \ varphi (g) = \ langle g, 1 \ rangle.}$

${\ displaystyle \ varphi}$

${\ Displaystyle L ^ {2} (м)}$

${\ displaystyle \ langle f, g \ rangle _ {\ varphi}: = \ varphi \ left (g ^ {*} f \ right),}$

${\ displaystyle g ^ {*}}$

${\ displaystyle g.}$

$${\ displaystyle \ left | \ varphi \ left (g ^ {*} f \ right) \ right | ^ {2} \ leq \ varphi \ left (f ^ {*} f \ right) \ varphi \ left (g ^ {*} g \ right),}$$

дословно продолжается до положительных функционалов на C * -алгебрах:

Следующие две теоремы являются дополнительными примерами из операторной алгебры.

Это расширяет тот факт, когда - линейный функционал. Случай, когда является самосопряженным, то есть иногда известен как

${\ displaystyle \ varphi \ left (a ^ {*} a \ right) \ cdot 1 \ geq \ varphi (a) ^ {*} \ varphi (a) = | \ varphi (a) | ^ {2},}$

${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle a = a ^ {*},}$

Неравенство Коши-Шварца  (модифицированное неравенство Шварца для 2-положительных отображений)  -  для 2-положительного отображения между C * -алгебрами для всех в его области ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle a, b}$

$${\ displaystyle \ varphi (a) ^ {*} \ varphi (a) \ leq \ Vert \ varphi (1) \ Vert \ varphi \ left (a ^ {*} a \ right), {\ text {and}} }$$

$${\ displaystyle \ Vert \ varphi \ left (a ^ {*} b \ right) \ Vert ^ {2} \ leq \ Vert \ varphi \ left (a ^ {*} a \ right) \ Vert \ cdot \ Vert \ varphi \ left (b ^ {*} b \ right) \ Vert.}$$

Другое обобщение - это уточнение, полученное интерполяцией между обеими частями неравенства Коши-Шварца:

Неравенство Каллебаут  -  для реальных${\ Displaystyle 0 \ leqslant s \ leqslant т \ leqslant 1,}$

$${\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i} \ right) ^ {2} ~ \ leqslant ~ \ left (\ sum _ {i = 1} ^ { n} a_ {i} ^ {1 + s} b_ {i} ^ {1-s} \ right) \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {1-s} b_ {i} ^ {1 + s} \ right) ~ \ leqslant ~ \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {1 + t} b_ {i} ^ {1- t} \ right) \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {1-t} b_ {i} ^ {1 + t} \ right) ~ \ leqslant ~ \ left ( \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {2} \ right) \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} ^ {2} \ right). }$$

Эту теорему можно вывести из неравенства Гёльдера . Существуют также некоммутативные версии для операторов и тензорных произведений матриц.

Смотрите также

• Неравенство Бесселя
• Неравенство Гёльдера  - Неравенство между интегралами в пространствах Lp
• Неравенство Йенсена  - Теорема о выпуклых функциях
• Неравенство Куниты – Ватанабе
• Неравенство Минковского
• Неравенство Пэли – Зигмунда.

Примечания

Цитаты

использованная литература

внешние ссылки

• Самое раннее использование: статья о неравенстве Коши-Шварца содержит некоторую историческую информацию.
• Пример применения неравенства Коши – Шварца для определения линейно независимых векторов Учебное пособие и интерактивная программа.