Однородное дифференциальное уравнение - Homogeneous differential equation

Дифференциальное уравнение может быть однородным в любом из двух отношений.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным , если оно может быть записано

{\ Displaystyle е (х, у) \, dy = г (х, у) \, dx,}

где $f$ и $g$ - однородные функции одной степени от $x$ и $y$ . В этом случае замена переменной $y = ux$ приводит к уравнению вида

{\ displaystyle {\ frac {dx} {x}} = h (u) \, du,}

что легко решить путем объединения двух элементов.

В противном случае дифференциальное уравнение является однородным, если оно является однородной функцией неизвестной функции и ее производных. В случае линейных дифференциальных уравнений это означает отсутствие постоянных членов. Решения любого линейного обыкновенного дифференциального уравнения любого порядка могут быть выведены интегрированием из решения однородного уравнения, полученного удалением постоянного члена.

История

Термин однородный был впервые применен к дифференциальным уравнениям Иоганном Бернулли в разделе 9 его статьи 1726 года De integrationionibus aequationum DPF (Об интегрировании дифференциальных уравнений).

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка в виде:

{\ Displaystyle М (х, y) \, dx + N (x, y) \, dy = 0}

является однородным типом, если обе функции $M (x, y)$ и $N (x, y)$ являются однородными функциями одной степени $n$ . То есть, умножая каждую переменную на параметр $λ$ , находим

{\ Displaystyle M (\ lambda x, \ lambda y) = \ lambda ^ {n} M (x, y) \ quad {\ text {and}} \ quad N (\ lambda x, \ lambda y) = \ lambda ^ {п} N (х, у) \ ,.}

Таким образом,

{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {M (\ lambda x, \ lambda y)} {N (\ lambda x, \ lambda y)}} = {\ frac {M (x, y)} {N (x, y) }} \ ,.}

Метод решения

В факторе можно положить $t$ $=$ ${\ textstyle {\ гидроразрыва {M (tx, ty)} {N (tx, ty)}} = {\ frac {M (x, y)} {N (x, y)}}}$ $.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} 1 / Икс$ чтобы упростить это частное до функции $f$ единственной переменной $y / Икс$ :

{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {M (x, y)} {N (x, y)}} = {\ frac {M (tx, ty)} {N (tx, ty)}} = {\ frac {M (1, y / x)} {N (1, y / x)}} = f (y / x) \ ,.}

То есть

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = - f (y / x).}

Введем замену переменных $y = ux$ ; дифференцировать с помощью правила продукта :

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {d (ux)} {dx}} = x {\ frac {du} {dx}} + u {\ frac {dx} {dx} } = x {\ frac {du} {dx}} + u.}

Это преобразует исходное дифференциальное уравнение в отделимую форму

{\ displaystyle x {\ frac {du} {dx}} = - f (u) -u,}

или же

{\ displaystyle {\ frac {1} {x}} {\ frac {dx} {du}} = {\ frac {-1} {f (u) + u}},}

которое теперь можно проинтегрировать напрямую: $ln x$ равно первообразной правой части (см. обыкновенное дифференциальное уравнение ).

Особый случай

Дифференциальное уравнение первого порядка вида ( $a$ , $b$ , $c$ , $e$ , $f$ , $g$ - постоянные)

{\ displaystyle \ left (ax + by + c \ right) dx + \ left (ex + fy + g \ right) dy = 0}

где $af \neq be$ может быть преобразован в однородный тип линейным преобразованием обеих переменных ( $α$ и $β$ - константы):

{\ Displaystyle т = х + \ альфа; \; \; г = у + \ бета \ ,.}

Однородные линейные дифференциальные уравнения.

Линейное дифференциальное уравнение является однородным, если оно является однородным линейным уравнением относительно неизвестной функции и ее производных. Отсюда следует , что, если $φ (х)$ является решением, так $Сф (х)$ , для любого (не ноль) постоянной $с$ . Для выполнения этого условия каждый ненулевой член линейного дифференциального уравнения должен зависеть от неизвестной функции или любой ее производной. Линейное дифференциальное уравнение, не удовлетворяющее этому условию, называется неоднородным.

Линейное дифференциальное уравнение может быть представлено в виде линейного оператора , действующего на $у (х)$ где $х$ , как правило , независимой переменной , и $у$ является зависимой переменной. Следовательно, общий вид линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид

{\ Displaystyle L (y) = 0}

где $L$ - дифференциальный оператор , сумма производных (определяющая "0-ю производную" как исходную, недифференцированную функцию), каждая из которых умножена на функцию $f i$ от $x$ :

{\ displaystyle L = \ sum _ {i = 0} ^ {n} f_ {i} (x) {\ frac {d ^ {i}} {dx ^ {i}}} \ ,,}

где $f i$ может быть постоянным, но не все $f i$ могут быть нулевыми.

Например, следующее линейное дифференциальное уравнение является однородным:

{\ displaystyle \ sin (x) {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + 4 {\ frac {dy} {dx}} + y = 0 \ ,,}

в то время как следующие два неоднородны:

{\ displaystyle 2x ^ {2} {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + 4x {\ frac {dy} {dx}} + y = \ cos (x) \ ,; }

{\ displaystyle 2x ^ {2} {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} - 3x {\ frac {dy} {dx}} + y = 2 \ ,.}

Существование постоянного члена является достаточным условием для неоднородности уравнения, как в приведенном выше примере.

Смотрите также

Разделение переменных

Ноты

использованная литература

Бойс, Уильям Э .; ДиПрима, Ричард К. (2012), Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи (10-е изд.), Wiley, ISBN 978-0470458310 . (Это хороший вводный справочник по дифференциальным уравнениям.)
Инс, Э.Л. (1956), Обыкновенные дифференциальные уравнения , Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 0486603490 . (Это классический справочник по ODE, впервые опубликованный в 1926 году.)
Андрей Д. Полянин; Валентин Федорович Зайцев (15 ноября 2017 г.). Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: точные решения, методы и задачи . CRC Press. ISBN 978-1-4665-6940-9 .
Мэтью Р. Булкинс; Джек Л. Голдберг; Мерл К. Поттер (5 ноября 2009 г.). Дифференциальные уравнения с линейной алгеброй . Издательство Оксфордского университета. С. 274–. ISBN 978-0-19-973666-9 .

Languages

In other projects