Формальная схема - Formal scheme

В математике , особенно в алгебраической геометрии , формальная схема - это тип пространства, которое включает данные о его окружении. В отличие от обычной схемы , формальная схема включает бесконечно малые данные, которые, по сути, указывают направление от схемы. По этой причине формальные схемы часто появляются в таких темах, как теория деформации . Но это понятие также используется для доказательства такой теоремы, как теорема о формальных функциях , которая используется для вывода интересующих теорем для обычных схем.

Локально нётерова схема - это локально нётерова формальная схема каноническим образом: формальное завершение по самой себе. Другими словами, категория локально нётеровых формальных схем содержит все локально нётеровы схемы.

Формальные схемы были мотивированы и обобщают теорию формальных голоморфных функций Зарисского .

Алгебраическая геометрия, основанная на формальных схемах, называется формальной алгебраической геометрией .

Определение

Формальные схемы обычно определяются только в нетеровском случае. Хотя существует несколько определений нётеровых формальных схем, они сталкиваются с техническими проблемами. Следовательно, мы будем определять только локально нётеровы формальные схемы.

Все кольца будем считать коммутативными с единицей . Пусть A - (нетерово) топологическое кольцо , то есть кольцо A, которое является топологическим пространством , в котором операции сложения и умножения непрерывны. Является линейно топологизировано , если нуль имеет базу , состоящую из идеалов . Идеал определения для линейно топологизировано кольца является открытым идеалом таким , что для любого открытых окрестностей V 0, существует положительное целое число п такое , что . Линейно топологизированное кольцо допустимо, если оно допускает идеал определения, и допустимо, если оно также полно . (По терминологии Бурбаки это «законченное и отделенное».) ${\ displaystyle {\ mathcal {J}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {J}} ^ {п} \ substeq V}$

Предположим, что A допустима, и пусть - идеал определения. Простой идеал открыт тогда и только тогда, когда он содержит . Множество открытых простых идеалов А , или , что эквивалентно множество простых идеалов , является топологическим пространством формального спектра от А , обозначенного Spf . Spf A имеет структурный пучок, который определяется с помощью структурного пучка спектра кольца . Пусть - базис окрестностей нуля, состоящий из идеалов определения. Все спектры имеют одно и то же основное топологическое пространство, но разный структурный пучок. Структурный пучок Spf A является проективным пределом . ${\ displaystyle {\ mathcal {J}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {J}}}$${\ Displaystyle A / {\ mathcal {J}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {J}} _ {\ lambda}}$${\ displaystyle A / {\ mathcal {J}} _ {\ lambda}}$${\ displaystyle \ varprojlim _ {\ lambda} {\ mathcal {O}} _ {{\ text {Spec}} A / {\ mathcal {J}} _ {\ lambda}}}$

Можно показать, что если f ∈ A и D _f - множество всех открытых простых идеалов A, не содержащих f , то , где - завершение локализации A _f . ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {{\ text {Spf}} A} (D_ {f}) = {\ widehat {A_ {f}}}}$${\ displaystyle {\ widehat {A_ {f}}}}$

Наконец, локально нетерова формальная схема - это топологически окольцованное пространство (то есть окольцованное пространство , пучок колец которого является пучком топологических колец) такое, что каждая точка имеет открытую окрестность, изоморфную (как топологически окольцованные пространства) формальному спектру нётерского кольца. ${\ Displaystyle ({\ mathfrak {X}}, {\ mathcal {O}} _ {\ mathfrak {X}})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {X}}}$

Морфизмы между формальными схемами

Морфизм локально нётеровы формальных схем морфизм их как локально окольцованные пространства таким образом, что индуцированное отображение является непрерывным гомоморфизмом топологических колец для любого аффинного открытого подмножества U . ${\ displaystyle f: {\ mathfrak {X}} \ to {\ mathfrak {Y}}}$${\ displaystyle f ^ {\ #}: \ Gamma (U, {\ mathcal {O}} _ {\ mathfrak {Y}}) \ to \ Gamma (f ^ {- 1} (U), {\ mathcal { O}} _ {\ mathfrak {X}})}$

е называется адическими или является -адической формальной схемой , если существует идеал определения такого , что является идеальным для определения . Если f адический, то это свойство выполняется для любого идеала определения. ${\ displaystyle {\ mathfrak {X}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {Y}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$${\ displaystyle f ^ {*} ({\ mathcal {I}}) {\ mathcal {O}} _ {\ mathfrak {X}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {X}}}$

Примеры

Для любого идеала I и кольца A мы можем определить I-адическую топологию на A , определяемую его базисом, состоящим из множеств вида a + I ⁿ . Это preadmissible, и допустим , если это я -adically завершена. В этом случае Spf A - это топологическое пространство Spec A / I с пучком колец вместо . ${\ displaystyle {\ text {lim}} _ {n} {\ mathcal {O}} _ {{\ text {Spec}} A / I ^ {n}} = \ lim _ {n} {\ widetilde {A / I ^ {n}}}}$${\ displaystyle {\ widetilde {A / I}}}$

1. A = k [[t]] и I = (t) . Тогда A / I = k, так что пространство Spf A представляет собой единственную точку (t), на которой его структурный пучок принимает значение k [[t]] . Сравните это Spec A / I , структура которого пучок принимает значение K в этой точке: это пример той идеи , что Spf является «формальным утолщение» из А о I .
2. Формальное завершение закрытой подсхемы. Рассмотрим замкнутую подсхему X аффинной плоскости над k , определяемую идеалом I = (y ² -x ³ ) . Обратите внимание, что A ₀ = k [x, y] не является I -адически полным; напишите A для его I -адического завершения. В этом случае Spf A = X как пространства и его структурный пучок . Его глобальные разделы , в отличие от X , чьи глобальные секции A / I .${\ displaystyle \ lim _ {n} {\ widetilde {k [x, y] / I ^ {n}}}}$

Смотрите также

• формальная голоморфная функция
• Теория деформации
• Теорема Шлезингера

использованная литература

• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). "Algébrique Éléments de géométrie: I. Le langage des schémas" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 4 . DOI : 10.1007 / bf02684778 . Руководство по ремонту  0217083 .

внешние ссылки

• формальное завершение